1、第2课时等差数列习题课关键能力合作学习类型一an与Sn的关系及应用(数学运算、逻辑推理)【典例】若数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=.(1)求证:是等差数列.(2)求数列an的通项公式.四步内容理解题意条件:数列an的前n项和为Sn;an+2SnSn-1=0(n2),a1=.结论:是等差数列;求数列an的通项公式.思路探求(1)将已知等式变形,证明-为常数.(2)利用an与Sn的关系求通项公式.书写表达(1)当n2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以-=2,又=2,故是首项为2,公差为2的等差数列.(2)由(1)可得=2
2、n,所以Sn=.当n2时an=Sn-Sn-1=-=-.当n=1时,a1=不适合上式.故an=注意书写的规范性:明确变形目标,进行恰当变形是解题的关键;an与Sn的关系要理解全面;表达形式要准确.题后反思已知前n项和Sn求通项an,一方面由n=1时,a1=S1求得a1,另一方面由n2时,an=Sn-Sn-1求得an,并注意验证a1是否符合an,若符合则统一用一个解析式表示,不符合则分段表示.1.由Sn求通项公式an的步骤第一步:令n=1,则a1=S1,求得a1;第二步:令n2,则an=Sn-Sn-1;第三步:验证a1与an的关系:(1)若a1适合an,则an=Sn-Sn-1.(2)若a1不适合a
3、n,则an= 2.Sn与an的关系式的应用Snan(1)“和”变“项”.首先根据题目条件,得到新式(与条件所给项的和相邻),然后作差将“和”转化为“项”之间的关系,最后求通项公式.(2)“项”变“和”.首先将an转化为Sn-Sn-1,得到Sn与Sn-1的关系式,然后求Sn.已知数列an的前n项和Sn=3n2+2n.(1)求an的通项公式;(2)判断an是否为等差数列?【解析】(1)因为Sn=3n2+2n,所以当n2时Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1,所以an=Sn-Sn-1=(3n2+2n)-(3n2-4n+1)=6n-1.又a1=S1=5,满足an=6n-1,所以数列
4、an的通项公式是an=6n-1.(2)由(1)知,an+1-an=6(n+1)-1-(6n-1)=6,所以an是等差数列.【补偿训练】设正项数列an的前n项和为Sn,并且对于任意nN*,an与1的等差中项等于,求数列an的通项公式.【解析】由题意知,=,得Sn=,所以a1=S1=1,又因为an+1=Sn+1-Sn=(an+1+1)2-(an+1)2,所以(an+1-1)2-(an+1)2=0.即(an+1+an)(an+1-an-2)=0,因为an0,所以an+1-an=2,所以an是以1为首项,2为公差的等差数列,所以an=2n-1.类型二等差数列前n项和的实际应用(数学建模)【典例】1.算
5、法统宗是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用,是东方古代数学的名著.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为an,则a1=()A.23B.32C.35D.382.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处沿同一直线同时相向运动,甲第1分钟走2 m,以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续
6、每分钟比前1分钟多走1 m,乙继续每分钟走5 m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?【思路导引】1.儿子的岁数成等差数列,问题是知道公差及前9项和,求首项.2.(1)依据甲、乙两物体的路程之和为70 m列方程,其中甲的路程可以依据等差数列的前n项和公式表示;(2)依据甲、乙两物体的路程之和为370 m列方程.【解析】1.选C.由题意可得儿子的岁数成等差数列,设公差为d,其中公差d=-3,S9=207,即S9=9a1+(-3)=207,解得a1=35.2.(1)设n分钟后第一次相遇,依题意有2n+5n=70,整理得n2+13n-140=0.解得n=7或n=-20(舍去).第一次相遇是在开始运动后7
7、分钟.(2)设n分钟后第二次相遇,依题意,有2n+5n=370,整理得n2+13n-670=0,解得n=15,n=-28(舍去).第二次相遇是在开始运动后15分钟.应用等差数列解决实际问题的一般思路(2020全国卷) 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B.3 474块C. 3 402块D.3 339块【解析】选C.设每一层
8、有n环,由题可知从内到外每环的扇面形石板数之间构成等差数列,且公差d=9,首项a1=9,由等差数列的性质可知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且-=n2d,由题意得9n2=729,所以n=9,则三层共有扇面形石板为S3n=S27=279+9=3 402(块).【补偿训练】朱世杰是历史上最伟大的数学家之一,他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多七人.”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人.”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为(
9、)A.9B.16C.18D.20【解析】选B.根据题意设每天派出的人数组成数列an,分析可得数列是首项a1=64,公差d=7的等差数列,该问题中的1 864人全部派遣到位的天数为n,则64n+7=1 864,依次将选项中的n值代入检验得,n=16满足方程.类型三数列求和问题(数学运算)角度1裂项求和与并项求和问题【典例】1.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+a100等于()A.0B.100C.-100D.10 2002.(2020大庆高一检测)已知等差数列an满足a3=7,a5+a7=26,an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn;(2)记Tn=+,求Tn.
10、【思路导引】1.先求出通项公式an,然后两项一组,即可求解数列的前100项的和.2.(1)根据题意列方程组求首项和公差,写出an及Sn;(2)对进行裂项,选择裂项相消法求和.【解析】1.选B.因为an=f(n)+f(n+1),所以由已知条件知an=即an=所以an=(-1)n(2n+1),所以an+an+1=2(n是奇数),所以a1+a2+a3+a100=(a1+a2)+(a3+a4)+(a99+a100)=2+2+2+2=100.2.(1)设等差数列an的公差为d,所以,所以,所以an=2n+1,Sn=n(n+2);(2)由(1)知:=,所以Tn=+=-.将本例1的条件改为“an=(-1)n
11、(3n-2)”,试求a1+a2+a10.【解析】a1+a2+a10=-1+4-7+10+(-1)10(310-2)=(-1+4)+(-7+10)+(-1)9(39-2)+(-1)10(310-2)=35=15.角度2求数列|an|的前n项的和【典例】等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式.(2)设bn=-2an+25,求数列|bn|的前n项和.【思路导引】(1)设等差数列的公差为d,由通项公式可得方程组,解方程组可得首项和公差,即可得到所求通项;(2)求bn=-2an+25,分析bn中的项何时为正,何时为负,分情况求和.【解析】(1)等差数列an的公差设为d,a
12、2=4,a4+a7=15,可得解得则an=n+2.(2)bn=-2an+25=21-2n,设bn的前n项和为Sn=n(19+21-2n)=20n-n2,当n10时,数列|bn|的前n项和为20n-n2;当n11时,数列|bn|的前n项和为S10-(Sn-S10)=2S10-Sn=200-20n+n2,综上可得数列|bn|的前n项和为Tn=1.裂项相消求和(1)适用数列:形如(bn-an=d,d为常数)的数列可以用裂项求和.(2)裂项形式:=.(3)规律发现:一是通项公式特征不明显的要对通项公式变形,如分离常数、有理化等;二是裂项后不是相邻项相消的,要写出前两组、后两组观察消去项、保留项.(4)
13、特殊裂项:=.=-.=.=1+.2.关于并项法求数列的和(1)适用形式:适用于形如an=(-1)nf(n)的摆动数列.项成周期变化的数列. (2)求和方法:形如an=(-1)nf(n)的数列用并项法把相邻项的一正一负两项并作一项,从而使通项降次,得以转化为等差数列求解.针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此在求数列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求原数列的前n项和.3.数列|an|的前n项和的三种类型的求解策略(1)等差数列an的各项都为非负数,这种情形中数列|an|就等于数列an,可以直接求解.(2)等差数列an中,a10,d0,这种数列只有前边有限项为非负
14、数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列an分成两段处理.(3)等差数列an中,a10,这种数列只有前边有限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.1.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S3=15,a5+a9=30.(1)求an及Sn.(2)若数列bn满足bn(Sn-n)=2(nN*),数列bn的前n项和为Tn,求证:Tn2.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由题意可得即解得则an=3+2(n-1)=2n+1,所以Sn=3n+=n2+2n.(2)由题意可得bn=2,所以Tn=b1+b2+bn=2=22.2.已知等差数列an中,记Sn是它的前n项和,若S2=16,S4=2
15、4,求数列|an|的前n项和Tn.【解析】由S2=16,S4=24得即解得所以等差数列an的通项公式为an=11-2n(nN*).当n5时Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=Sn=-n2+10n;当n6时Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+a5-a6-a7-an=2(a1+a2+a5)-(a1+a2+an)=2S5-Sn=2(-52+105)-(-n2+10n)=n2-10n+50,故Tn=【补偿训练】等差数列an的前n项和Sn=-n2+n,求数列|an|的前n项和Tn.【解析】a1=S1=101,当n2时,an=Sn-Sn-1=-n2+n-(n-1)2+(n-1
16、)=-3n+104,a1=S1=101也适合上式,所以an=-3n+104,令an=0,n34.7,故n35时,an0,所以对数列|an|,n34时,Tn=|a1|+|a2|+|an|=a1+a2+an=-n2+n,当n35时,Tn=|a1|+|a2|+|a34|+|a35|+|an|=a1+a2+a34-a35-an=2(a1+a2+a34)-(a1+a2+an)=2S34-Sn=n2-n+3 502,所以Tn=课堂检测素养达标1.已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2等于()A.4B.2C.1D.-2【解析】选A.在Sn=2(an-1)中,令n=1得S1=2(a1-1
17、),即a1=2(a1-1),故a1=2.所以S2=2(a2-1),即2+a2=2(a2-1),得a2=4.2.+=()A.B.C.D.【解析】选B.原式=+=.3.某第三方支付平台的会员每天登录该平台都能得到积分,第一天得1积分,以后只要连续登录每天所得积分都比前一天多1分.某会员连续登录两周,则他两周共得积分.【解析】依题意可得该会员这两周每天所得积分依次成等差数列,故他这两周共得=105积分.答案:1054.已知数列an的通项公式为an=2n-30,Sn是|an|的前n项和,则S10=.【解析】an=2n-30,令an0,得n15,即在数列an中,前14项均为负数,所以S10=-(a1+a2+a3+a10)=-(a1+a10)=-5(-28)+(-10)=190.答案:1905.(教材二次开发:例题改编)已知数列an的前n项和Sn=n2-9n.求这个数列的通项公式.【解析】因为Sn=n2-9n,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2-9(n-1)=2n-10.又n=1时,a1=S1=-8适合上式,所以数列an的通项公式an=2n-10.