1、综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y=4sin 2x(xR)是()A.周期为2的奇函数B.周期为2的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数解析周期为22=,因为定义域为R,以-x替换x,得4sin(-2x)=-4sin2x,可知函数为奇函数.答案C2.sin 140cos 10+cos 40sin 350=()A.12B.-12C.32D.-32解析依题意,原式=sin40cos10-cos40sin10=sin(40-10)=sin30=12,故选A.答案A3.已知0,
2、2,2sin 2=cos 2+1,则sin =()A.55B.15C.33D.255解析2sin2=cos2+1,4sincos=2cos2,0,2,cos0,sin0,2sin=cos.又sin2+cos2=1,sin=55.故选A.答案A4.在边长为2的菱形ABCD中,BAD=60,E是BC的中点,则ACAE=()A.3+33B.92C.3D.9解析由题意知ABC=120,BABC=22cos120=-2,ACAE=(BC-BA)(BE-BA)=(BC-BA)12BC-BA=12BC2-32BABC+BA2=1222-32(-2)+22=9.故选D.答案D5.函数f(x)=sin(2x+)
3、(0)的图像如图所示,为了得到g(x)=sin 2x的图像,可将f(x)的图像()A.向右平移6个单位B.向右平移12个单位C.向左平移12个单位D.向左平移6个单位解析因为f(x)=sin(2x+)(00,则ABC为锐角三角形B.若ab=0,则ABC为直角三角形C.若ab=cb,则ABC为等腰三角形D.若ca+c2=0,则ABC为直角三角形解析在ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,若ab0,则BCA是钝角,ABC是钝角三角形,选项A错误;若ab=0,则BCCA,ABC为直角三角形,选项B正确;若ab=cb,则b(a-c)=0,即CA(BC-AB)=0;CA(BC+BA)=0,取AC的中点
4、D,则CA2BD=0,所以BA=BC,即ABC为等腰三角形,选项C正确;因为ca+c2=ABBC+AB2=AB(BC+AB)=0,所以ABAC=0,所以ABAC,即选项D正确.故选B,C,D.答案BCD12.对于函数f(x)=12cos2x-2,给出下列结论,其中正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)在6,2上的值域是34,12C.函数f(x)在4,34上单调递减D.函数f(x)的图像关于点-2,0对称解析由诱导公式可得:f(x)=12cos2x-2=12sin2x,所以T=2=22=2,选项A错误;若x6,2,则2x3,12sin2x0,12,故函数f(x)在6,2上的
5、值域是0,12,选项B错误;令2+2k2x32+2k(kZ),即4+kx34+k(kZ),函数f(x)在4+k,34+k(kZ)上单调递减,当k=0时,函数f(x)在4,34上单调递减,选项C正确;令2x=k(kZ),则x=k2(kZ),函数f(x)=12sin2x的对称中心为k2,0(kZ),当k=-1时,函数f(x)的图像关于点-2,0对称,选项D正确.答案CD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若sin2=45,且sin 0,则是第象限角.解析由倍角公式得cos=1-2sin22=1-2452=-7250,又sin0,因此,是第三象限角.答案三14.设为锐角,若cos+
6、6=45,则sin2+12的值为.解析设=+6,则sin=35,sin2=2sincos=2425,cos2=2cos2-1=725,因此sin2+12=sin2+3-4=sin2-4=sin2cos4-cos2sin4=17250.答案1725015.已知平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=1,|c-(a+b)|a-b|,则|c|的最大值为.解析当|c|为定值时,|c-(a+b)|当且仅当c与a+b同向时取最小值,此时|c-(a+b)|=|c|-|a+b|a-b|,所以|c|a+b|+|a-b|.因为|a|=|b|=1,所以(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)=4,所以(|a+
7、b|+|a-b|)2=(a+b)2+(a-b)2+2|a+b|a-b|2(a+b)2+(a-b)2=8,所以|c|a+b|+|a-b|22,当且仅当ab且c与a+b同向时取等号.答案2216.函数y=cos2x-4sin x的最小值为,最大值为.解析y=cos2x-4sinx=1-sin2x-4sinx=-(sinx+2)2+5,因为sinx-1,1,所以当sinx=-1时,ymax=-1+5=4;当sinx=1时,ymin=-9+5=-4.答案-44四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知f(a)=sin2(-a)cos(2-a)tan
8、(-+a)sin(-+a)tan(-a+3).(1)化简f(a);(2)若f(a)=18,且4a2,求cos a-sin a的值.解(1)f(a)=sin2(-a)cos(2-a)tan(-+a)sin(-+a)tan(-a+3)=sin2acosatana-sina(-tana)=sinacosa=12sin2a.(2)由(1)知,f(a)=12sin2a=18,得sin2a=14,所以(cosa-sina)2=1-sin2a=34,因为4a2,所以cosa-sina)的终边分别与单位圆交于A,B两点,点A的坐标为45,35.(1)若点B的坐标为513,1213,求cos(+)的值;(2)若
9、OAOB=31010,求sin .解(1)因为、是锐角,且A45,35,B513,1213在单位圆上,所以sin=35,cos=45,sin=1213,cos=513,故cos(+)=coscos-sinsin=45513-351213=-1665.(2)因为OAOB=31010,所以|OA|OB|cos(-)=31010,且|OA|=|OB|=1,所以cos(-)=31010,可得sin(-)=1010(),且cos=45,sin=35,故sin=sin+(-)=sincos(-)+cossin(-)=3531010+451010=131050.20.(12分)已知函数f(x)=sin(-x
10、)cos x+cos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标变为原来的12,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,求函数g(x)在区间0,16上的最小值.解(1)因为f(x)=sin(-x)cosx+cos2x,所以f(x)=sinxcosx+1+cos2x2=12sin2x+12cos2x+12=22sin2x+4+12.由于0,依题意得22=,所以=1.(2)由(1)知f(x)=22sin2x+4+12,所以g(x)=f(2x)=22sin4x+4+12.当0x16时,44x+42,所以22sin4x+41.因此1g(x)1+22.故g(x)在
11、区间0,16上的最小值为1.21.(12分)向量a=cos x,-12,b=(3sin x,cos 2x),xR,设函数f(x)=ab.(1)求f(x)的表达式并化简;(2)求出f(x)的最小正周期并在下图中画出函数f(x)在区间0,内的简图;(3)若方程f(x)-m=0在0,上有两个根,求m的取值范围及+的值.解(1)f(x)=3sinxcosx-12cos2x=32sin2x-12cos2x=sin2x-6.(2)f(x)的最小正周期T=.(3)由图可知,当m-1,-12时,+2=56,即+=53;当m-12,1时,+2=3,即+=23;所以m的取值范围为-1,-12-12,1,且+=53
12、或23.22.(12分)已知向量OA=cos3x2,sin3x2,OB=cosx2,-sinx2,且x-4,4.(1)若f(x)=OAOB,求函数f(x)关于x的解析式;(2)求f(x)的值域;(3)设t=2f(x)+a的值域为D,且函数g(t)=12t2+t-2在D上的最小值为2,求a的值.解(1)f(x)=OAOB=cos3x2cosx2-sin3x2sinx2=cos3x2+x2=cos2x.(2)由(1)知f(x)=cos2x,x-4,4,2x-2,2,cos2x0,1.故函数f(x)的值域为0,1.(3)由(2)知2f(x)+aa,a+2,即D=a,a+2.由题可得,g(t)对称轴为t=-1,且当t-1时,g(t)单调递减;当t-1时,g(t)单调递增.当a+2-1,即a-3时,g(t)min=g(a+2)=12(a+2)2+(a+2)-2=2,解得a=-6或a=0(舍).当a-1a+2,即-3a-1时,g(t)min=g(-1)=12-1-2=-52,不符合题意.当a-1时,g(t)min=g(a)=12a2+a-2=2,解得a=2或a=-4(舍).综上所述,a=2或a=-6.