1、吉林省白城市四校2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.从2021名学生中选取50名学生参与一项调查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2021人中剔除21人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A.不全相等 B.均不相等 C.都相等，且为 D.都相等，且为 3.如图，在 中， ， 是 的中点，若 ，则实数 的值是（ ） A. B.1 C.
2、 D.4.如图，正方形 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ） A. B.1 C. D.5.已知 若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D.6.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A.甲地：总体平均数为3，中位数为4B.乙地：总体平均数为1，总体方差大于0C.丙地：中位数为2，众数为3D.丁地：总体平均数为2，总体方差为37.已知 ， ， ，则 的形状是（ ） A.钝角三角形 B.锐角三角形
3、 C.直角三角形 D.等边三角形8.设偶函数 的定义域为R，当 时 是增函数，则 的大小关系是（ ） A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A.若 ， ，则 B.若 ， ，则 C.若 ， ， ，则 D.若 ， ，则 10.下列函数中是偶函数，且在 上为增函数的有（ ） A.B.C.D.11.下列说法错误的是（ ） A.若 ， ，则 B.若 ，则存在唯一实数 使得 C.若 ，且 ，则 D.两
4、个非零向量 ， ，若 ，则 与 共线且反向12.已知在正三棱锥 中，底面 的边长为4， 为 的中点， ， ，下列结论正确的为（ ） A.正三棱锥 的体积为 B.三棱锥 的外接球的表面积为 C.D. 与 所成角的正切值为 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设集合 ， ，则 _ 14.从集合 中任取两个不同的数 ， ，则 的概率为_ 15.已知向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是_ 16.如图， 为正方体，下面结论中正确的是_（把你认为正确的结论都填上） 平面 ； 平面 ； 与平面 所成角的正切值是 ；过点 与异面直线 与 成 角的直线有2条四、解答题（本大
5、题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知：复数 ，其中 为虚数单位 （1）求 及 ； （2）若 ，求实数 ， 的值 18.已知向量 ， 满足 ， ， （1）求 与 的夹角 ； （2）求 19.已知 ， （1）若 ，求实数 的值； （2）若 ： ， ： ，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围 20.某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长 （单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率 （1）求图中 的值； （2）在 ， 这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，
6、再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率 21.如图，已知四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， ， 平面 ， 为 的中点 求证：（1）若 ，证明： 平面 （2） 平面 ； 22.若向量 ， ， 的最大值为 （1）求 的值及函数的对称中心； （2）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围 答案解析部分一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在复平面内，复数 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 A 【考点】复数的基本概念，复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式
7、的混合运算 【解析】【解答】解 ：设 ， 则其共轭复数为 ， 表示的点为 ， 位于第一象限 故答案为：A 【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义及几何意义求解即可.2.从2021名学生中选取50名学生参与一项调查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2021人中剔除21人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（ ） A.不全相等B.均不相等C.都相等，且为 D.都相等，且为 【答案】 C 【考点】概率的应用 【解析】【解答】解：在系统抽样中,若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，本题要先剔除21人，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等
8、，所以每个个体被抽到包括两个过程：一是不被剔除，二是被选中；又这两个过程相互之间没有影响，所以每个人入选的机会都相等,且为 故答案为：C 【分析】根据系统抽样的定义求解即可.3.如图，在 中， ， 是 的中点，若 ，则实数 的值是（ ） A.B.1C.D.【答案】 C 【考点】相等向量与相反向量，向量的共线定理，向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】解：B,P,N三点共线 存在实数，使得 又 ， 解得 故答案为：C 【分析】根据三点共线的性质，结合向量的线性运算以及相等向量的概念求解即可.4.如图，正方形 的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积为（ ） A.B.
9、1C.D.【答案】 A 【考点】空间几何体的直观图，斜二测画法直观图 【解析】【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图， 所以OB= ， 对应原图形平行四边形的高为 所以原图形的面积为: 故答案为：A 【分析】根据斜二测画法，结合平行四边形的面积公式求解即可.5.已知 若 ，则 的值为（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】同角三角函数间的基本关系，运用诱导公式化简求值 【解析】【解答】解：由题意得 由 得 故答案为：C 【分析】根据诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系求解即可.6.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起
10、大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ） A.甲地：总体平均数为3，中位数为4B.乙地：总体平均数为1，总体方差大于0C.丙地：中位数为2，众数为3D.丁地：总体平均数为2，总体方差为3【答案】 D 【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【解答】解：A选项:不妨通过构造特殊值法进行判断，对于甲地:0，0，0，0,4,4,4,4,4,10符合条件，但其第10天新增疑似病例超过7人,不符合题意，故A错误; B选项:对于乙地:0,0,0,0,0,0,0,0,10符合条件，但其第10天
11、新增疑似病例超过7人，故不符合题意，故B错误; C选项:对于丙地，0, 0, 1, 1, 2，2，3, 3，3，10符合条件，但其第10天新增疑似病例超过7人，故不符合题意，故C错误; D选项:对于丁地，当总体平均数是2时，若有一个数据超过7,则方差就超过了3，符合题意，因此，一定没有发生大规模群体感染的是丁地，故D正确. 故答案为：D 【分析】根据平均数，中位数，众数，方差的定义求解即可.7.已知 ， ， ，则 的形状是（ ） A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形【答案】 C 【考点】平面向量的坐标运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】解：由题意得 则A
12、BC是直角三角形 故答案为：C 【分析】根据平面向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求解即可.8.设偶函数 的定义域为R，当 时 是增函数，则 的大小关系是（ ） A.B.C.D.【答案】 A 【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】【解答】偶函数f（x）的定义域为R，当x 时f(x)是增函数，则可知在区间（-，0上f（x）是单调递减函数，f（-）=f（），f（）f（-3）f（-2）， 故答案为：A 【分析】由已知利用函数的单调性与奇偶性，得到f（x）在区间（-，0上是单调递减函数，即可比较大小.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求
13、全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9.设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A.若 ， ，则 B.若 ， ，则 C.若 ， ， ，则 D.若 ， ，则 【答案】 A,C,D 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，平面与平面垂直的性质 【解析】【解答】解：对于A，因为n/a，所以在a内必存在一条直线no ， 使得n/no， 又因为ma，所以mno ， 因此mn,，故A正确； 对于B，因为m/m，n/a，则m/a或 ， 故B错误； 对于C，因为m/n，n
14、，所以m， 又因为m/a，所以在a内存在mo/m， 由m得mo，所以a，故C正确； 对于D，根据直线与平面垂直的性质定理得，当m，n时，则m/n，故D正确. 故答案为：ACD 【分析】根据利用线面平行的性质和线面垂直的性质可判断A，利用空间直线与平面的位置关系可判断B，利用线面垂直的判定和线面平行的性质及面面垂直的判定可判断C，根据直线与平面垂直的性质定理可判断D.10.下列函数中是偶函数，且在 上为增函数的有（ ） A.B.C.D.【答案】 C,D 【考点】函数的单调性及单调区间，奇函数，偶函数 【解析】【解答】解：对于A，y=cosx在 上同时存在增区间与减区间，故A错误； 对于B，f(-
15、x)=(-x)3=-x3=-f(x)，则y=x3是奇函数，故B错误； 对于C，f(-x)=(-x)2+4=x2+4=f(x)，则y=x2+4是偶函数，且对称轴为x=0，开口向上，则y=x2+4在上为增函数 ，故C正确； 对于D，f(-x)=log2|-x|=log2|x|=f(x)，则f(x)=log2|x|是偶函数，且当x0时，f(x)=log2|x|=log2x在上为增函数 ，故D正确故答案为：CD 【分析】根据奇函数偶函数的定义，结合函数的单调性求解即可.11.下列说法错误的是（ ） A.若 ， ，则 B.若 ，则存在唯一实数 使得 C.若 ，且 ，则 D.两个非零向量 ， ，若 ，则
16、与 共线且反向【答案】 A,B,C 【考点】零向量，平行向量与共线向量，平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】解：对于A，当不共线，时，显然不符合，故A错误； 对于B，当 ， 时，显然不符合，故B错误； 对于C，当 ， ，显然不一定相等，故C错误； 对于D，设的夹角为，由 得 整理，得 解得cos=-1 又0, = 则 与共线且反向 故D正确 故答案为：ABC 【分析】根据共线向量，零向量，向量垂直的判定，以及向量的数量积及夹角公式逐项求解即可12.已知在正三棱锥 中，底面 的边长为4， 为 的中点， ， ，下列结论正确的为（ ） A
17、.正三棱锥 的体积为 B.三棱锥 的外接球的表面积为 C.D. 与 所成角的正切值为 【答案】 B,C 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，余弦定理的应用 【解析】【解答】解：对于A，因为ABCD，ABCE,CDCE=C， ， 所以AB平面ACD，结合正棱锥的结构特征得，AD平面ABC，AC平面ABD, 所以这个正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，又因为底面边长为4,所以侧棱长为 ， 所以体积为 ， 故A错误； 对于B，因为这个正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱长为 ， 所以外接球的半径为 ， 所以外接球表面积为S=4r2=24，故B正确； 对于C，前面
18、已经证出AD平面ABC，又 ， 所以ADBC，故C正确； 对于D，易得,CE= ， CD=4, DE= ， 显然ECD为锐角， 所以 所以 故D错误 故答案为：BC 【分析】根据直线与平面垂直的判定定理，结合棱锥的体积公式可判断A，根据正三棱锥与外接球的结构特征，结合球的表面积公式即可判断B，根据直线与平面垂直的性质定理可判断C，根据余弦定理，结合同角三角函数间的基本关系可判断D三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设集合 ， ，则 _ 【答案】【考点】交集及其运算，一元二次不等式的解法 【解析】【解答】解：N=x|x2-3x0=x|0x-1 又当同向时，但夹角为0，不是锐角
19、，所以当2k=2，即k=1时，同向不符合题意，则k1 综上， 实数的取值范围是且 故答案为： 且 【分析】根据向量的夹角，向量的数量积，以及共线向量等概念求解即可.16.如图， 为正方体，下面结论中正确的是_（把你认为正确的结论都填上） 平面 ； 平面 ； 与平面 所成角的正切值是 ；过点 与异面直线 与 成 角的直线有2条【答案】 【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角 【解析】【解答】解：对于，易得BD平面ACC1A1 ， 可得AC1BD，根据直线与平面垂直的判定定理易知错误； 对于，易得AC平面BDD1 ， 则BD1AC，同理可得BD
20、1B1C，而ACB1C=C，则BD1平面ACB1 ， 故正确; 对于，易知BC1是BD1在底面BCC1B1上的投影，则C1BD1是BD1与底面BCC1B1所成角，易知 ， 故错误； 对于，AD/CB， 则AD与CB1所成角为45，则过点A1与异面直线AD与CB1成60角的直线有2条，故正确. 故答案为： 【分析】根据直线与平面垂直的判定定理可判断，根据直线与平面垂直的性质定理与判定定理可判断，根据直线与平面所成角可判断，根据异面直线所成角可判断.四、解答题（本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知：复数 ，其中 为虚数单位 （1）求 及 ； （2）若
21、，求实数 ， 的值 【答案】 （1） ， （2）由 得： ，即 ，所以 ，解之得 【考点】复数的基本概念，复数相等的充要条件，复数代数形式的混合运算，复数求模 【解析】【分析】（1）根据复数的运算，结合复数的模求解即可； （2）根据复数的运算，结合共轭复数以及相等复数的概念求解即可.18.已知向量 ， 满足 ， ， （1）求 与 的夹角 ； （2）求 【答案】 （1）设 与 的夹角 ， 因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 （2） ， 因为 ， ， ，所以 ，所以 【考点】向量的模，平面向量数量积的运算，数量积表示两个向量的夹角 【解析】【分析】（1）根据向量的运算，结合向量的数量积求
22、解即可； （2）根据向量的运算，结合向量的模求解即可.19.已知 ， （1）若 ，求实数 的值； （2）若 ： ， ： ，若 是 的充分条件，求实数 的取值范围 【答案】 （1）解：已知 ， 解得： ， ，解得： 因为 ，若 ，则： 即： 所以 （2）若 ： ， ： ， 是 的充分条件， 即： ，所以 或 ，即： 或 【考点】子集与真子集，交、并、补集的混合运算，充分条件，一元二次不等式的解法 【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，结合补集及交集的运算求解即可； （2）根据充分条件的判断，结合子集的运算求解即可.20.某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用
23、随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长 （单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率 （1）求图中 的值； （2）在 ， 这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率 【答案】 （1）依题意， ， 解得 （2）在 内抽取 人， 记为 ， ， ， ，在 内抽取2人，记为 ， ，则6人中抽取2人的取法有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共15种等可能的取法；其中抽取的2人恰在同一组的有： ， ， ， ， ， ， ，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率 【考点】分层抽样方
24、法，频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式 【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可； （2）根据分层抽样，运用列举法，根据古典概型的解法求解即可.21.如图，已知四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， ， 平面 ， 为 的中点 求证：（1）若 ，证明： 平面 （2） 平面 ； 【答案】 （1）若 ，则 是等腰三角形， ，又 ， ， 平面 ， 平面 ， ，又 ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， ，又 ， ， ， 平面 ， 平面 （2）证明：取 的中点 ，连接 ， ，1分 是 的中点， ，且 ，又 ， ， 且 ，四边形 是平行四边形， ，又 平面 ， 平面 ， 平面 【
25、考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质 【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理求证即可； （2）根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理求证即可.22.若向量 ， ， 的最大值为 （1）求 的值及函数的对称中心； （2）若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围 【答案】 （1） ， 的最大值为 ， ， ；由 （ ）得： ， ， 的对称中心为 ， （2） ， ， ， ，即 ，不等式 在 上恒成立， ，即 ，解得 ， 的取值范围为 【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，正弦函数的奇偶性与对称性，函数最值的应用，正弦函数的零点与最值 【解析】【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算，结合函数y=Asin(x+)的性质求解即可； （2）根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数在 上的最值问题，再结合一元二次不等式的解法求解即可.