1、6.4.3余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理素养目标定方向素养目标学法指导1理解余弦定理的推导过程，掌握余弦定理及其推论.(逻辑推理)2能用余弦定理解三角形.(数学运算)1进一步感受向量三角形法则与数量积运算的价值，体会向量数量积运算在解决长度问题中的特点.2通过特殊化与一般化感受勾股定理与余弦定理的关系，并加深对勾股定理的理解.必备知识探新知知识点1余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和_减去_这两边与它们的夹角的余弦的积的_两_倍符号语言在ABC中，a2_b2c22bccos A_，b2_c2a22cacos B_，c2_a2b22abcos C_推论在ABC中，co
2、s A_，cos B_cos C_知识点2解三角形一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的_元素_.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_解三角形_.微提醒(1)利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题已知两边及其夹角，解三角形；已知三边，解三角形.(2)余弦定理和勾股定理的关系在ABC中，由余弦定理得c2a2b22abcos C，若角C90，则cosC0，于是c2a2b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.关键能力攻重难题型探究题型一已知两边及一角解三角形典例1(1)在ABC中，已知b60 cm，c60 cm，A，则a_60_cm；(2)在
3、ABC中，若AB，AC5，且cos C，则BC_4或5_.分析(1)由余弦定理可直接求第三边；(2)先由余弦定理建立方程，从中解出BC的长.解析(1)由余弦定理得：a60(cm).(2)由余弦定理得：()252BC225BC，所以BC29BC200，解得BC4或BC5归纳提升已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解.(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角.【对点练习】(1)在ABC中，已知a4，b6，C120，则边c的值是(D)A8B2C6D2(2)在ABC中，a2，
4、c，B45，解这个三角形.解析(1)根据余弦定理，c2a2b22abcos C1636246cos 12076，c2.(2)由余弦定理得b2a2c22accos B(2)2()222()cos 458，b2，又cos A，A60，C180(AB)75.题型二已知三边解三角形典例2在ABC中，abc357，求其最大内角.分析由已知条件知角C为最大角，然后利用余弦定理求解.解析由于abc357，不妨设a3k，b5k，c7k(k0).因此c是最大边，其所对角C为最大内角.由余弦定理推论得：cos C，0C，2a1是三边长中最长的边，设其所对角为，2a1，a,2a1是钝角三角形的三边，cos0，即0，
5、解得a2a1，即a2，而不是a.正解2a1，a,2a1是三角形的三边，解得a，此时2a1最大.要使2a1，a,2a1表示三角形的三边，还需a(2a1)2a1，解得a2设最长边2a1所对的角为，则cos0，解得a8a的取值范围是(2,8).名师点津由于余弦定理及公式的变形较多，且涉及平方和开方等运算，可能会因不细心而导致错误.在利用余弦定理求出三角形的三边时，还要判断一下三边能否构成三角形.【对点练习】在钝角三角形ABC中，a1，b2，ct，且C是最大角，求t的取值范围.解析因为a，b，c是ABC的三边，所以bacab，所以21t123，所以1t3又ABC是钝角三角形，且C是最大角，所以90C180.所以cos C0，所以cos C5又t0，所以t.所以t的取值范围为(，3).
