1、专题02 乘法公式阅读与思考乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：1熟悉每个公式的结构特征；2正用 即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；3逆用 即将公式反过来逆向使用；4变用 即能将公式变换形式使用；5活用 即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式例题与求解【例1】 1，2，3，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是 （全国初中数字联赛试题）解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整
2、除【例2】（1）已知满足等式，则的大小关系是( )A B C D（山西省太原市竞赛试题）（2）已知满足，则的值等于（ ）A2 B3 C4 D5（河北省竞赛试题）解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑【例3】计算下列各题：（1） ；（天津市竞赛试题）（2）；（“希望杯”邀请赛试题）（3）解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征【例4】设，求的值 （西安市竞赛试题）解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相
3、关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果【例5】观察：（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）（黄冈市竞赛试题）解题思路：从特殊情况入手，观察找规律【例6】设满足求：（1）的值；（2）的值（江苏省竞赛试题）解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用能力训练A级1已知是一个多项式的平方，则 （广东省中考试题）2数能被30以内的两位偶数整除的是 3已知那么 （天津市竞赛试题）4若则 5已知满足则的值为 （河北省竞赛试题）6若满足则等于 7等于（ ）A B C D8若，则的值是（ ）A正数 B负数 C非负数 D可
4、正可负9若则的值是（ ）A4B19922 C21992 D41992（“希望杯”邀请赛试题）10某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列问原长方形队列有多少名同学？ （“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）11设，证明：是37的倍数 （“希望杯”邀请赛试题）12观察下面各式的规律：写出第2003行和第行的式子，并证明你的结论B级1展开式中的系数，当1，2，3时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为 （学习报公开赛试题）112113311464115101
5、051 3913第2题图2 如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为，则的值为 （天津市竞赛试题）3已知满足等式则 4一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为 （全国初中数学联赛试题）5已知，则多项式的值为（ ）A0B1C2D36把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（ ）A16种B14种C12种D10种（北京市竞赛试题）7若正整数满足，则这样的正整数对的个数是（ ）A1B2C3D4（山东省竞赛试题）8已知，则的值是（ ）A3B9C27D81 （“希望杯”邀请赛试题）9满足等式
6、的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由10 数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数 （天津市竞赛试题）11若，且， 求证：12 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如因此4，12，20这三个数都是神秘数（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？ （浙江省中考试题）专题02 乘法公式例1 73 提示：满足条件的整数是奇
7、数或是4的倍数例2 （1）B xy（4aa）（8b16）0，xy（2）B 3个等式相加得：0，a3，b1，c1abc3113例3 （1） （2）4 （3）5050例4 提示：由ab1，2得ab，利用（）（ab)ab()可分别求得，例5 （1）设n为自然数，则n（n1)(n2)(n3）1（2）由得，20002001200220031例6（1）设，得abbcac，3abc（abc）（abbcac），abc（）（abc）（abbcac）31（2）（2）将式两边平方，得4242A级10或6 226，28 32 440 534 60 7D 8A 9C10. 原有136或904名学生设m，n均为正整数，且
8、mn，得（mn）（mn）240，都是8的倍数，则m，n能被4整除，mn，mn均能被4整除得或，或8x120904或8x12013611. 因为a2（1）（1）999 999 99937（381），而999 999 9999111 111 1119337 037 03727371 001 00137（271 001 001）所以37|999 999 999，且37|37（381），因此a是37的倍数12. 第2003行式子为：第n行式子为：证明略B级11094276 提示：由13a9b3c得ab4，bc6，ca10313 4156 5D6. C 提示：（xy）（xy）20097741有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：故（x，y）共有12组不同的表示7B 8C9提示：不存在符合条件的整数对（m，n），因为1954不能被4整除10设所求两位数为，由已知得（k为整数），得而得或解得或，即所求两位数为65，5611. 设, 则由得 , 得, 即 或分别与联立解得或12. (1) , 故28和2012都是神秘数（2）为4的倍数（3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数. ,故两个连续奇数的平方差不是神秘数