1、课时作业15利用导数研究函数的极值、最值基础达标一、选择题1函数yf(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A(1,3)为函数yf(x)的单调递增区间B(3,5)为函数yf(x)的单调递减区间C函数yf(x)在x0处取得极大值D函数yf(x)在x5处取得极小值2函数f(x)2x39x22在4,2上的最大值和最小值分别是()A25，2B50,14C50，2D50，143已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a等于()A4B2C4D24若函数f(x)x33bx3b在(0,1)内有极小值，则()A0b1Bb0Db52021武昌区高三年级调研考试已知函数f(x)xexlnxx2，g
2、(x)lnxx的最小值分别为a，b，则()AabBabDa，b的大小关系不确定二、填空题6函数f(x)x2x2lnx的最小值为_7已知函数f(x)x33axb的单调递减区间为(1,1)，其极小值为2，则f(x)的极大值是_8函数f(x)(x2x1)ex(e2.718是自然对数的底数)的极值点是_；极大值为_三、解答题9若函数yf(x)在xx0处取得极大值或极小值，则称x0为函数yf(x)的极值点已知a，b是实数，1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点(1)求a，b的值(2)设函数g(x)的导数g(x)f(x)2，求g(x)的极值点10.2021广东五校联考已知函数f(x)axlnx，其
3、中a为常数(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值能力挑战112021南昌市高三年级摸底测试卷若函数f(x)(x1)exax(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A.B(，0)C.D(0，)122021安徽省部分重点校高三联考试题已知函数f(x)axlnx，x1，e的最小值为3，若存在x1，x2，xn1，e，使得f(x1)f(x2)f(xn1)f(xn)，则正整数n的最大值为()A2B3C4D5132021开封市高三模拟考试设点P为函数f(x)lnxx3的图象上任意一点，点Q为直线2xy20上任意一点，则P，Q两点距离的最
4、小值为_课时作业151解析：由函数yf(x)的导函数的图象可知，当x1或3x5时，f(x)5或1x0，yf(x)单调递增，所以函数yf(x)的单调递减区间为(，1)，(3,5)，单调递增区间为(1,3)，(5，)，函数yf(x)在x1,5处取得极小值，在x3处取得极大值，故选项C错误，故选C.答案：C2解析：f(x)2x39x22，f(x)6x218x.当x4，3)或x(0,2时，f(x)0，f(x)为增函数当x(3,0)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x(2,2)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以a2.答案：D4解析：f(x)在(0,1)内有极小值，则f(x)3x23b在(0
5、,1)上先负后正，f(0)3b0.f(1)33b0，b1.综上，b的取值范围为0b1，故选A.答案：A5解析：令h(x)exx1，则h(x)ex1，因为x0时，0ex0)，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)1.答案：7解析：因为f(x)的单调递减区间为(1,1)，所以a0，由f(x)3x23a3(x)(x)，可得a1，由f(x)x33axb在x1处取得极小值2，可得13b2，故b4.所以f(x)x33x4的极大值为f(1)(1)33(1)46.答案：68解析：由已知得f(x)(x2x12x1)ex(x2x2)ex(x2)(x1)ex，因为ex0
6、，令f(x)0，可得x2或x1，当x0，即函数f(x)在(，2)上单调递增；当2x1时，f(x)1时，f(x)0，即函数f(x)在区间(1，)上单调递增故f(x)的极值点为2或1，且极大值为f(2).答案：1或29解析：(1)由题设知f(x)3x22axb，且f(1)32ab0，f(1)32ab0，解得a0，b3.(2)由(1)知f(x)x33x，则g(x)f(x)2(x1)2(x2)，所以g(x)0的根为x1x21，x32，即函数g(x)的极值点只可能是1或2.当x2时，g(x)0，当2x0，x2是g(x)的极值点当x1时，g(x)0，所以1不是g(x)的极值点g(x)的极值点是2.10解析
7、：(1)易知f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)xln x，f(x)1，令f(x)0，得x1.当0x0；当x1时，f(x)0.所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数所以f(x)maxf(1)1.所以当a1时，函数f(x)在(0，)上的最大值为1.(2)f(x)a，x(0，e，.若a，则f(x)0，从而f(x)在(0，e上是增函数，所以f(x)maxf(e)ae10，不符合题意；若a0得a0，结合x(0，e，解得0x，令f(x)0得a0，结合x(0，e，解得xe.从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，所以f(x)maxf1ln.令1ln3，得ln2，即ae2，因为e
8、2，所以ae2为所求故实数a的值为e2.11解析：由题意得f(x)exxa，因为函数f(x)ex(x1)ax有两个极值点，所以f(x)0有两个不等根，即aexx有两个不等根，所以直线ya与yexx的图象有两个不同的交点令g(x)exx，则g(x)ex(x1)当x1时，g(x)1时，g(x)0，所以函数g(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，当x1时，g(x)取得最小值，且最小值为.当x0时，g(x)0时，g(x)0，则可得函数g(x)的大致图象，如图所示，则a0，故选A.答案：A12解析：f(x)a，x1，e，.当a时，f(x)0，所以f(x)在1，e上单调递减，所以f(x)min
9、f(e)ae13，解得a，不合题意，舍去；当a1时，令f(x)0得x，当1x时，f(x)0，当0，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf1ln3，解得ae2，不合题意，舍去；当a1时，f(x)0，所以f(x)在1，e上单调递增，所以f(x)minf(1)a31，符合题意综上可知，a3.所以f(x)3xln x，x1，e，所以f(x)maxf(e)3e1，f(x)minf(1)3.要想存在x1，x2，x3，xn1，e，使得f(x1)f(x2)f(xn1)f(xn)，且正整数n最大，则f(x1)f(x2)f(xn1)f(x)min，f(xn)f(x)max，则3(n1)3e1，解得ne，又nN*，所以n3，从而n的最大值为3，故选B.答案：B13解析：由题意知，当函数f(x)的图象在点P(x0，y0)处的切线l1与直线l2：2xy20平行，且PQl2时，P，Q两点之间的距离最小因为f(x)ln xx3，所以f(x)3x2，所以3x2，解得x01，所以y01，故切线l1的方程为2xy10.由两平行直线之间的距离公式可得切线l1与直线l2之间的距离d，故P，Q两点距离的最小值为.答案：