1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-第 2 讲 数形结合思想思想方法解读 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想体现了数与形之间的沟通与转化，它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面数形结合的实质是把抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，即将代数问题几何化、几何问题代数化数形结合思想常用来解决函数零点问题、方程根与不等式问题、参数范围问题、立体几何模型研究代数问题，以及解析几何中的斜率、截距、距离等模型问题热点题型探究热点 1数形结合化解方程问题例 1(1)(2019聊城市高三一模)已知函数 f(x)xx1
2、，x0，ln xx，x0，若关于 x 的方程 f(x)xa 无实根，则实数 a 的取值范围为()A(，0)1e，1B(1,0)C.0，1eD(0,1)答案 B解析 因为函数 f(x)xx1，x0，ln xx，x0，所以关于 x 的方程 f(x)xa 无实根等价于函数 yf(x)的图象与直线 yxa 无交点，设直线 yxa 与 f(x)ln xx(x0)切于点 P(x0，y0)，由 f(x)1ln xx2，由已知得1ln x0 x201，解得 x01，则 P(1,0)，则切线方程为 yx1，作出函数 f(x)与直线 yxa的图象如图所示高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-2-由图
3、知函数 yf(x)的图象与直线 yxa 无交点时实数 a 的取值范围为1a0，故选 B.(2)已知函数 f(x)2x1x0，fx1x0，若方程 f(x)xa 有且只有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为()A(，0B0,1)C(，1)D0，)答案 C解析 函数 f(x)2x1x0，fx1x0的图象如图所示，当 a1 时，函数 yf(x)的图象与函数 yxa 的图象有两个交点，即方程 f(x)xa 有且只有两个不相等的实数根用图象法讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解(或函数零点)的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表
4、达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解(或函数零点)的个数高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-3-1(2019泰安市高三质量检测)已知函数 f(x)|x22x1|t 有四个不同的零点 x1，x2，x3，x4，且 x1x2x3x4，则 2(x4x1)(x3x2)的取值范围是()A(8,4 5B(8,6 2)C(6 2，4 5D(6 2，4 5)答案 A解析 由 f(x)|x22x1|t0，得|x22x1|t，作出 y|x22x1|的图象如图，要使 f(x)有四个不同的零点，则 0t0，得22t12t0，
5、得22t 12t，两边平方，得 42t 12t，得 84t2t，得 5t6，即 0t65，此时 h(t)为增函数，由 h(t)0，得65t2，此时 h(t)为减函数，故当 t65时，h(t)取得极大值，极大值为 h65 4 26522654165 24516 554 55 4 5，h(0)6 2，h(2)8，又 80，且x1，x2R(x1x2)，f(x1)f(x2)2fx1x22，则下列选项中不一定正确的一项是()Af(2)f(e)f()Bf()f(e)f(2)Cf(2)f(2)f(3)f(3)Df(3)f(3)f(2)0，所以 f(x)在 R 上单调递增x1，x2R(x1x2)，恒有f(x1
6、)f(x2)2fx1x22，即fx1fx22fx1x22，所以 yf(x)的图象是向上凸起的，如图所示所以 f(2)f(e)f()，故 A 正确；因为 f(x)反映了函数 f(x)图象上各点处的切线的斜率，由图象可知，随着 x 的增大，f(x)的图象越来越平缓，即切线的斜率越来越小，所以 f()f(e)f(2)，故 B 正确；因为 f(3)f(2)f3f232，表示点A(2，f(2)与 B(3，f(3)连线的斜率，由图可知 f(3)kAB0，b0)，若双曲线的渐近线被圆 M：x2y210 x0 所截得的两条弦长之和为 12，已知ABP的顶点 A，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点 P 在双曲线
7、上，则|sinP|sinAsinB|的值等于()A.35B 73C53D 7答案 C解析 双曲线的一条渐近线方程为 ybax，双曲线的渐近线被圆 M：x2y210 x0 即(x5)2y225 所截得的两条弦高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-11-长之和为 12，设圆心到渐近线的距离为 d，则 d 2594.5ba2b24，即5b4c，b45c.a2c2b2 925c2，a35c，A，B 分别为双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线上，|APBP|2a，根据正弦定理可得 APsinB BPsinA ABsinP2R，sinBAP2R，sinABP2R，sinP2c2R，|sinP
8、|sinAsinB|2c2RBP2RAP2R2c2a53，故选 C.(2)已知 A(1,1)为椭圆x29y251 内一点，F1 为椭圆的左焦点，P 为椭圆上一动点，求|PF1|PA|的最大值和最小值解 由x29y251 可知 a3，b 5，c2，左焦点 F1(2，0)，右焦点 F2(2,0)由椭圆定义，知|PF1|2a|PF2|6|PF2|，|PF1|PA|6|PF2|PA|6|PA|PF2|.如图，由|PA|PF2|AF2|212012 2，知 2|PA|PF2|2.当点 P 在 AF2 的延长线上的点 P2 处时，取右“”，当点 P 在 AF2 的反向延长线上的点 P1 处时，取左“”，即
9、|PA|PF2|的最大、最小值分别为 2，2.于是|PF1|PA|的最大值是 6 2，最小值是 6 2.与圆锥曲线有关的最值问题，通常是利用函数的观点，建立函数表达式求解但一味的强调函数观点，有时使思维陷入僵局，此时若能合理利用圆锥曲线的定义，以形助数，会使问题变得特别简单高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-12-1椭圆x25y241 的左焦点为 F，直线 xm 与椭圆相交于点 M，N，当FMN的周长最大时，FMN 的面积是()A.55B6 55C8 55D4 55答案 C解析 如图，设椭圆的右焦点为 F，连接 MF，NF.因为|MF|NF|MF|NF|MF|NF|MN|，所以
10、当直线 xm 过椭圆的右焦点时，FMN的周长最大此时|MN|2b2a 8 55，又 c a2b2 541，所以此时FMN 的面积 S1228 55 8 55.故选 C.2(2019四川省成都市第七中学高三下学期三诊)已知双曲线 C：x2a24y21(a0)的右顶点到其一条渐近线的距离等于 34，抛物线 E：y22px 的焦点与双曲线 C 的右焦点重合，则抛物线 E 上的动点 M 到直线 l1：4x3y60 和 l2：x1 的距离之和的最小值为()A1B2C3D4答案 B解析 由双曲线方程x2a24y21(a0)可得，双曲线的右顶点为(a,0)，渐近线方程为 y 12ax，即 x2ay0.双曲线的右顶点到渐近线的距离等于 34，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-13-a14a2 34，解得 a234，双曲线的方程为4x23 4y21，双曲线的焦点为(1,0)又抛物线 E：y22px 的焦点与双曲线 C 的右焦点重合，p2，抛物线的方程为 y24x，焦点坐标为 F(1,0)如图，设点 M 到直线 l1 的距离为|MA|，到直线 l2 的距离为|MB|，则|MB|MF|，|MA|MB|MA|MF|.结合图形可得当 A，M，F 三点共线时，|MA|MB|MA|MF|最小，且最小值为点 F 到直线l1 的距离 d|416|4232 2.故选 B.
