1、章末综合检测(三)(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1给出下列四个命题：“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；“当 x 为某一实数时，可使 x20”是不可能事件；“明天天津市要下雨”是必然事件；“从 100 个灯泡(含有 10 个次品)中取出 5 个，5 个全是次品”是随机事件其中正确命题的个数是()A0B1C2D3解析：选 C.正确2从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A至少有 1 个黑球与都是红球B至少有
2、 1 个黑球与都是黑球C至少有 1 个黑球与至少有 1 个红球D恰有 1 个黑球与恰有 2 个黑球解析：选 D.A 中的两个事件是对立事件，不符合要求；B 中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，不符合要求；C 中的两个事件都包含“一个黑球、一个红球”这一事件，不是互斥事件；D 中是互斥而不对立的两个事件故选 D.3利用计算机产生 01 之间的均匀随机数 m，则事件“3m20”发生的概率为()A.13B.23C.12D.25解析：选 A.因为事件 3m20 发生的概率为 P1231013，故选 A.4某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为 40 秒若一名行人来到该路口遇到红灯
3、，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为()A.710B.58C.38D.310解析：选 B.记“至少需要等待 15 秒才出现绿灯”为事件 A，则 P(A)254058.5为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.13B.12C.23D.56解析：选 C.从红、黄、白、紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2种花种在另一个花坛中，共有 6 种选法红色和紫色的花不在同一花坛的有 4 种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为4623.故选 C.6有 3 个
4、兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A.13B.12C.23D.34解析：选 A.因为两位同学参加兴趣小组的所有的结果有 9 个，其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有 3 个，所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为3913.7任取一个三位正整数 N，则对数 log2N 是一个正整数的概率是()A.1225B.3899C.1300D.1450解析：选 C.三位正整数有 100999，共 900 个，而满足 log2N 为正整数的 N 有 27，28，29，共 3 个，故所求事件的概率为 3900 1300.
5、8在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C.现作一矩形，邻边长分别等于线段 AC，CB的长，则该矩形面积大于 20 cm2 的概率为()A.16B.13C.23D.45解析：选 C.设|AC|x cm，0 x12，则|CB|(12x)cm，要使矩形面积大于 20 cm2，只要 x(12x)20，则 x212x200，2x10，所以所求概率为 P10212 23，故选 C.9小明通过做游戏的方式来确定周末的活动，他随机往单位圆内投掷一颗弹珠(大小忽略)，若弹珠到圆心的距离大于12，则周末去逛公园；若弹珠到圆心的距离小于14，则去踢足球；否则，在家看书则小明周末不在家看书的概率为()A.1
6、2B.16C.1316D.512解析：选 C.由题意画出示意图，如图所示表示小明在家看书的区域如图中阴影部分所示，则他在家看书的概率为（12）2（14）2 316，因此他不在家看书的概率为 1 3161316，故选 C.10小莉与小明一起用 A，B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6)玩游戏，以小莉掷的 A 立方体朝上的数字为 x，小明掷的 B 立方体朝上的数字为 y，来确定点 P(x，y)，那么他们各掷一次所确定的点 P(x，y)落在已知抛物线 yx24x 上的概率为 ()A.16B.19C.112D.118解析：选 C.根据题意，两人各掷立方体一次，每
7、人都有 6 种可能性，则(x，y)的情况有36 种，即 P 点有 36 种可能，而 yx24x(x2)24，即(x2)2y4，易得在抛物线上的点有(2，4)，(1，3)，(3，3)共 3 个，因此满足条件的概率为 336 112.11如果从不包括大、小王的一堆扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心牌(事件 A)的概率为14，取到方片牌(事件 B)的概率是13，则取到红色牌(事件 C)的概率和取到黑色牌(事件D)的概率分别是()A.712，512B.512，712C.12，12D.34，23解析：选 A.因为 CAB，且 A，B 不会同时发生，即 A，B 是互斥事件，所以 P(C)P(A)P(B)1
8、413 712.又 C，D 是互斥事件，且 CD 是必然事件，所以 C，D 互为对立事件，则 P(D)1P(C)1 712 512.12从装有 3 个红球、2 个白球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是()A.110B.310C.35D.910解析：选 D.记 3 个红球分别为 a1，a2，a3，2 个白球分别为 b1，b2.从 3 个红球、2 个白球中任取 3 个，则所包含的基本事件有a1，a2，a3，a1，a2，b1，a1，a2，b2，a1，a3，b1，a1，a3，b2，a2，a3，b1，a2，a3，b2，a1，b1，b2，a2，b1，b2，a3，b1，b2
9、，共 10 个由于每个基本事件发生的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的 用 A 表示“所取的 3 个球中至少有 1 个白球”，则其对立事件 A 表示“所取的 3 个球中没有白球”，则事件 A 包含的基本事件有 1 个：a1，a2，a3 所以 P(A)110.故 P(A)1P(A)1 110 910.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13在区间2，4上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|m 的概率为56，则 m_解析：显然 m2，由几何概型知56m（2）6，得 m3.答案：314在边长为 2 的正方形中作其内切圆，然后向正方形中随机撒一把芝麻，用随机模拟的方法来估计圆周率 的
10、值如果撒了 1 000 粒芝麻，落在圆内的芝麻总数是 776 粒，那么这次模拟中 的估计值是_解析：由于芝麻落在正方形内任意位置的可能性相等，由几何概型的概率计算公式知S内切圆S正方形 7761 000，即1222 7761 000，解得 3.104.答案：3.10415若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为_解析：甲，乙，丙站成一排有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共 6 种 甲，乙相邻而站有(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)，共 4 种 所以甲，乙两人相邻而站的概率为4623.
11、答案：2316袋中含有大小相同的总数为 5 个的黑球、白球，若从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 910，则从中任意摸出 2 个球，得到的都是白球的概率为_解析：因为袋中装有大小相同的总数为 5 个的黑球、白球，若从袋中任意摸出 2 个球，共有 10 种情况，没有得到白球的概率为 110，设白球个数为 x，则黑球个数为 5x，那么，可知白球有 3 个，黑球有 2 个，因此可知从中任意摸出 2 个球，得到的都是白球的概率为 310.答案：310三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)随机地排列数字 1，5，6 得到一个三位数，计算下列事件
12、的概率(1)所得的三位数大于 400；(2)所得的三位数是偶数解：1，5，6 三个数字可以排成 156，165，516，561，615，651，共 6 个不同的三位数(1)大于 400 的三位数的个数为 4，所以 P4623.(2)三位数为偶数的有 156，516，共 2 个，所以相应的概率为 P2613.18(本小题满分 12 分)在区间，内随机取两个数分别记为 a，b，求使得函数 f(x)x22axb2 有零点的概率解：因为 a，b 为，内的两个随机数，所以(a，b)在边长为 2 的正方形边上及内部 要使函数 f(x)x22axb2 有零点，需 4a24b240，即 a2b2，a2b2 表
13、示以原点为圆心，为半径的圆的圆周及外部，且在正方形的内部，所以其面积为 42232，所以函数有零点的概率为324234.19(本小题满分 12 分)某河流上的一座水力发电站，每年 6 月份的发电量 y(单位：万千瓦时)与该河上游在 6 月份的降雨量 x(单位：mm)有关据统计，当 x70 时，y460；x每增加 10，y 增加 5.已知近 20 年 x 的值为 140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160.(1)完成如下的频率分布表：近 20 年 6 月份降雨量频率分布表降雨量701
14、10140160200220频率0.050.20.1(2)将频率视为概率，试估计今年 6 月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概率解：(1)在所给数据中，降雨量为 110 mm 的有 3 个，为 160 mm 的有 7 个，为 200 mm的有 3 个故近 20 年 6 月份降雨量频率分布表为：降雨量70110140160200220 频率0.050.150.20.350.150.1(2)由已知可得 y0.5 x425，记“发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时”为事件 A，则 P(A)P(y530)P(x210)P(x70)P(x110)P(
15、x220)0.050.150.1 0.3.因此估计今年 6 月份该水力发电站的发电量低于 490 万千瓦时或超过 530 万千瓦时的概率为 0.3.20(本小题满分 12 分)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)参加书法社团未参加书法社团 参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同学 B1，B2，B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1 被选
16、中且 B1 未被选中的概率解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有 30 人，故至少参加上述一个社团的共有 453015(人)，所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为 P154513.(2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A5，B1，A5，B2，A5，B3，共 15 个 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的 事件“A1 被选中且 B1 未被选中”所
17、包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共 2 个 因此 A1 被选中且 B1 未被选中的概率为 P 215.21(本小题满分 12 分)城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求，为此，某市公交公司在某站台 60 名候车乘客中随机抽取 15 人，将他们的候车时间作为样本分成 5 组，如下表所示(单位：min)：组别候车时间人数 一0，5)2二5，10)6三10，15)4四15，20)2五20，251(1)求这 15 名乘客的平均候车时间；(2)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 min 的人数；(3)若从上表第三、四组的 6 人中选 2 人作进一步调查，求抽到的
18、 2 人恰好来自不同组的概率解：(1)115(2.527.5612.5417.5222.51)115157.510.5，故这 15 名乘客的平均候车时间为 10.5 min.(2)由频率估计概率，可知侯车时间少于 10 min 的概率为2615 815，故这 60 名乘客中候车时间少于 10 min 的人数约为 60 81532.(3)记第三组的 4 名乘客为 a1，a2，a3，a4，第四组的 2 名乘客为 b1，b2.从 6 人中选 2 人的所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b
19、2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共 15 种，其中 2人恰好来自不同组的情况为(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，共 8 种，故所求概率为 815.22(本小题满分 12 分)设 O 为坐标原点，点 P 的坐标为(x2，xy)(1)在一个盒子中，放有标号为 1，2，3 的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽取两张卡片，其标号分别记为 x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；(2)若利用计算机随机在0，3上先后取
20、两个数分别记为 x，y，求 P 点在第一象限的概率解：(1)记抽到的卡片标号为(x，y)，所有的情况分别为，(x，y)(1，1)(1，2)(1，3)(2，1)(2，2)P(x2，xy)(1，0)(1，1)(1，2)(0，1)(0，0)|OP|12510(x，y)(2，3)(3，1)(3，2)(3，3)P(x2，xy)(0，1)(1，2)(1，1)(1，0)|OP|1521 所以|OP|的最大值为 5.设事件 A 为“|OP|取到最大值”，则满足事件 A 的(x，y)有(1，3)，(3，1)两种情况，所以 P(A)29.(2)设事件 B 为“P 点在第一象限”若0 x3，0y3，则其所表示的区域面积为 339.由题意可得事件 B 满足0 x3，0y3，x20，xy0.即如图所示的阴影部分，其区域面积为 13121152，所以 P(B)529 518.
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