1、第 6 讲 三角函数的图象与性质考情分析 高考对三角函数的图象的考查有：利用“五点法”作出图象、图象变换、由三角函数的图象研究三角函数的性质、由三角函数的部分图象确定解析式等三角函数的性质是高考的一个重要考点，它既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题，常通过三角变换将其转化为 yAsin(x)的形式，再研究其性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性).热点题型分析热点 1 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系1.利用三角函数的定义时应注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关.2.应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限的符号，利用同角三角函数的关系化简时要遵
2、循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.3.已知 tan 的值，求关于 sin 与 cos 的齐 n 次分式的值：分子、分母同除以 cosn，转化为关于 tan 的式子求解.1.若 tan34，则 cos22sin2 等于()A.6425B.4825C1 D.1625答案 A解析 tan34，则 cos22sin2cos22sin2cos2sin2 14tan1tan26425.2.(2017北京高考)在平面直角坐标系 xOy 中，角 与角 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y 轴对称若 sin13，则 cos()_.答案 79解析 由题意知 2k(kZ)，2k(kZ)，si
3、nsin，coscos.又 sin13，cos()coscossinsincos2sin22sin21219179.第 1 题中易忽略 sin2cos21 的应用，想不到将所求式子的分母看作“1”，利用代换后转化为“切”，然后求解第 2 题易错点有二：一是不能把角 与角 的终边关于 y 轴对称正确转化出角 与角 的关系；二是由 2k(kZ)不能利用诱导公式正确得出角 与角 的正余弦之间的关系.热点 2 三角函数的图象与解析式1.已知函数 yAsin(x)(A0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求 A；由函数的周期确定；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，
4、一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找到第一个零点的位置.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换周期变换只是相对于自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.题型 1 三角函数的图象与变换(2017全国卷)已知曲线 C1：ycosx，C2：ysin2x23，则下面结论正确的是()A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2C.把 C1 上
5、各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2答案 D解析 解法一：因为 C2：ysin2x23 cos2x23 2 cos2x6，把C1：ycosx 图象上各点的横坐标变为原来的12，得到 ycos2x，再把 ycos2x 图象上各点的横坐标向左平移 12个单位得到 C2.故选 D.解法二：因为 C2：ysin2x23 cos2x23 2 cos2x6，把 C1：ycosx 图象上各点的横坐标向左平移6个单位得到 ycosx6，再把 y
6、cosx6图象上各点的横坐标变为原来的12得到 C2.故选 D.变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数如本题易错点有二：一是不改变函数名直接伸缩，平移而出错；二是解法一中先伸缩后平移的改变量出错.题型 2 利用三角函数图象求解析式已知函数 f(x)2sin(x)0，|2 的部分图象如图所示，将函数 f(x)的图象向左平移 12个单位长度后，所得图象与函数 yg(x)的图象重合，则()Ag(x)2sin2x3B.g(x)2sin2x6C.g(x)2sin2xD.g(x)2sin2x3答案 A解析 根据函数 f(x)2sin(x)0，|2 的部分图象，可得34T342
7、23 12，2，利用 f 12 0，可得 12 2 12 0，6，故 f(x)2sin2x6，将函数 f(x)的图象向左平移 12个单位长度后，所得图象与函数 yg(x)的图象重合，故 g(x)2sin2x66 2sin2x3，故选 A.本题易错点有二：一是不能由图象得出34T 的值，从而不能正确得出；二是判断不准零点 x 12对应的是 x0 还是 x，从而影响 的正确得出一般地，利用零点时，图象上升时与 x 轴的交点：x0；图象下降时与 x轴的交点：x.如果求出的 值不在指定范围内，可以通过加减2 的整数倍达到目的.热点 3 三角函数的性质(高频考点)求解函数 yAsin(x)的性质问题的三
8、种意识：(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为 f(x)Asin(x)的形式.(2)整体意识：类比 ysinx 的性质，只需将 yAsin(x)中的“x”看成 ysinx 中的 x，采用整体代换求解.令 xk2(kZ)，可求得对称轴方程；令 xk(kZ)，可求得对称中心的横坐标；将 x 看作整体，可求得 yAsin(x)的单调区间，注意 的符号.(3)讨论意识：当 A 为参数时，求最值应分情况讨论 A0，A0)若 f(x)f4 对任意的实数x 都成立，则 的最小值为_.答案 23解析 f(x)f4 对任意的实数 x 都成立，f4 cos46 1 得46 2k(kZ)，238k(kZ)
9、，0，的最小值为23.2.(2017全国卷)函数 f(x)sin2x 3cosx34x0，2 的最大值是_.答案 1解析 f(x)1cos2x 3cosx34cosx 3221.x0，2，cosx0,1，当 cosx 32 时，f(x)取得最大值，最大值为 1.第 2 题易错点有二：一是变换的目标不明确，不能化为“一角一函数”的形式进而求解；二是换元之后忽略新元定义域而导致出错.题型 2 三角函数的单调性(2019汕头一模)函数 f(x)sin(x)0，|2 在区间4，2 内是增函数，则()A.f4 1 Bf(x)的周期为2C.的最大值为 4 Df34 0答案 C解析 解法一：由题知，24T2
10、，又 T2，4，即141，4，C 正确故选 C.解法二：当 1，0 时，函数 f(x)sin(x)sinx 在区间4，2 上单调递增，此时 f4 22 1，排除 A；f(x)的最小正周期为 2，排除 B；f34 220，排除 D.故选 C.本题对 yAsin(x)的单调区间求法不熟易导致无从下手.题型 3 三角函数的奇偶性、周期性、对称性(2019青岛模拟)若函数 f(x)sin2x6 的图象向左平移6个单位后，得到 yg(x)的图象，则下列说法错误的是()A.yg(x)的最小正周期为 B.yg(x)的图象关于直线 x6对称C.yg(x)在6，3 上单调递增D.yg(x)的图象关于点512，0
11、答案 C解析 把函数 f(x)sin2x6 的图象向左平移6个单位后，得到 yg(x)sin2x6 的图象，故 g(x)的最小正周期为 T22，故 A 正确；令 x6可得 g(x)1，为最大值，故 yg(x)的图象关于直线 x6对称，故 B 正确；在6，3 上2x66，56，故 yg(x)在6，3 上没有单调性，故 C 错误；由 x512，可得 g(x)0，故 yg(x)的图象关于点512，0 对称，故 D 正确故选 C.本题易错点有两个：一是平移规则不熟悉而导致 g(x)解析式错求为 g(x)sin2x；二是不会利用 yAsin(x)性质的整体代换意识解决此类问题.真题自检感悟1.(2019
12、全国卷)已知 0，2，2sin2cos21，则 sin()A.15B.55C.33D.2 55答案 B解析 由 2sin2cos21，得 4sincos2cos2.又 0，2，tan12，sin 55.故选 B.2.(2018全国卷)若 f(x)cosxsinx 在a，a是减函数，则 a 的最大值是()A.4B.2C.34D答案 A解析 f(x)cosxsinx 2cosx4，由 2kx42k(kZ)得42kx34 2k(kZ)，a，a4，34，aa，a4，a34，0a4，从而 a 的最大值为4，故选 A.3.(2017全国卷)设函数 f(x)cosx3，则下列结论错误的是()A.f(x)的一
13、个周期为2B.yf(x)的图象关于直线 x83 对称C.f(x)的一个零点为 x6D.f(x)在2，单调递减答案 D解析 A 项，因为 f(x)cosx3 的周期为 2k(kZ)，所以 f(x)的一个周期为2，A 项正确B 项，因为 f(x)cosx3 图象的对称轴为直线 xk3(kZ)，所以 yf(x)的图象关于直线 x83 对称，B 项正确C 项，f(x)cosx43.令 x43 k2(kZ)，得 xk56，当 k1 时，x6，所以 f(x)的一个零点为 x6，C 项正确D 项，因为 f(x)cosx3 的递减区间为2k3，2k23(kZ)，递增区间为2k23，2k53(kZ)，所以2，2
14、3 是减区间，23，是增区间，D 项错误故选 D.4.(2018江苏高考)已知函数 ysin(2x)22 的图象关于直线 x3对称，则 的值是_.答案 6解析 由题意可得 sin23 1，所以23 2k，6k(kZ)，因为20)两个相邻的极值点，则()A.2 B.32C1 D.12答案 A解析 由题意及函数 ysinx 的图象与性质可知，12T34 4，T，2，2.故选 A.5.(2019全国卷)函数 f(x)2sinxsin2x 在0,2的零点个数为()A.2 B3 C4 D5答案 B解析 令 f(x)0，得 2sinxsin2x0，即 2sinx2sinxcosx0，2sinx(1cosx
15、)0，sinx0 或 cosx1.又 x0,2，由 sinx0 得 x0，或 2，由 cosx1 得 x0 或 2.故函数 f(x)的零点为 0，2，共 3 个故选 B.6.(2019衡水联考)将函数 f(x)2sin4x3 的图象向左平移6个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到函数 yg(x)的图象，则下列关于函数 yg(x)的说法错误的是()A.最小正周期为 B.图象关于直线 x 12对称C.图象关于点12，0 对称D.初相为3答案 C解析 易求得 g(x)2sin2x3，其最小正周期为，初相为3，即 A，D 正确，而 g12 2sin22.故函数 yg(x)的图象关于直线
16、x 12对称，即 B 正确，C错误故选 C.7.(2019天津高考)已知函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)是奇函数，将 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 g(x)若 g(x)的最小正周期为 2，且 g4 2，则 f38()A.2 B 2C.2D2答案 C解析 因为 f(x)是奇函数(显然定义域为 R)，所以 f(0)Asin0，所以 sin0.又|，所以 0.由题意得 g(x)Asin12x，且 g(x)最小正周期为 2，所以121，即 2.所以 g(x)Asinx，所以 g4 Asin4 22 A 2，所以 A2.所以 f(x
17、)2sin2x，所以 f38 2.故选 C.8.(2017天津高考)设函数 f(x)2sin(x)，xR，其中 0，|.若 f582，f1180，且 f(x)的最小正周期大于 2，则()A.23，12B23，1112C.13，1124D13，724答案 A解析 f58 2，f1180，且 f(x)的最小正周期大于 2，f(x)的最小正周期为 4118 58 3，2323，f(x)2sin23x.2sin2358 2，得 2k 12，kZ.又|，取 k0，得 12.故选 A.9(2019长郡中学、衡阳八中联考)函数 f(x)sin(x)0，|2 的部分图象如图所示，已知 A512，1，B1112
18、，1，则 f(x)图象的对称中心为()A.k2 56，0(kZ)B.k56，0(kZ)C.k2 6，0(kZ)D.k6，0(kZ)答案 C解析 T21112 512 2，2，因此 f(x)sin(2x)由五点作图法知 A512，1 是第二点，得 25122，251222k(kZ)，32k(kZ)，又|0)，已知 f(x)在0,2有且仅有5 个零点，下述四个结论：f(x)在(0,2)有且仅有 3 个极大值点；f(x)在(0,2)有且仅有 2 个极小值点；f(x)在0，10 单调递增；的取值范围是125，2910.其中所有正确结论的编号是()A.BC.D答案 D解析 已知 f(x)sinx5(0)
19、在0,2有且仅有 5 个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在a，b)上，此时 f(x)在(0,2)有且仅有 3 个极大值点，但 f(x)在(0,2)可能有 2 或 3 个极小值点，所以正确，不正确；当 x0,2时，x55，25，由 f(x)在0,2有且仅有 5 个零点可得 5256，得 的取值范围是125，2910，所以正确；当 x0，10 时，5x5105491002，所以 f(x)在0，10 单调递增，所以正确故选 D.二、填空题11.已知 sin2 cos72 1225，且 04，则 sin_，cos_.答案 35 45解析 由诱导公式得 sin2 cos72 cos(sin)，即sin
20、cos1225.又00)的图象向左平移02 个单位，所得的部分函数图象如图所示，则 的值为_.答案 12解析 由题图知，T21112 512，2T 2，f(x)2cos2x，f(x)2cos(2x2)，则由图象知，f512 2cos56 2 2.56 22k(kZ)，则 12k(kZ).又 02，所以 12.13.(2019枣庄模拟)已知 f(x)sinxcosx23，若函数 f(x)图象的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都不属于区间(，2)，则 的取值范围是_(结果用区间表示)答案 34，78解析 f(x)sinxcosx 2sinx4，函数 f(x)图象的任何一条对称轴与 x 轴交点的
21、横坐标都不属于区间(，2)，则T22，1，231.令 x42k(kZ)，解得 x34k(kZ).34k 且34k12(kZ)，34k 且 k12 38(kZ)，k0.此时，34且 78.综上，3478.14.(2019广东省际名校联考)将函数 f(x)12 3cos2x(sinxcosx)2 的图象向左平移3个单位，得到函数 yg(x)的图象，若 x2，2，则函数 g(x)的单调递增区间是_.答案 512，12解析 f(x)12 3cos2x(sinxcosx)2sin2x 3cos2x 32sin2x3 3，g(x)2sin2x3 3 32sin2x3 3，由22k2x322k(kZ)，得512kx 12k(kZ)，x2，2，函数 g(x)在2，2 上的单调递增区间是512，12.