1、新20版练B1数学人教A版第五章真题分类专练题组1利用三角函数定义式同角关系求值问题1.(福建高考)若sin =-513,且为第四象限角,则tan 的值等于()。A.125B.-125C.512D.-512答案：D解析：由sin =-513,且为第四象限角,得cos =1-sin2=1213,所以tan =sincos=-512,故选D。2.(四川高考)sin 750=。答案：12解析：sin 750=sin 30=12。3.(全国高考)已知是第四象限角,且sin+4=35,则tan-4=。答案：-43解析：由sin+4=35,知cos4-=35。因为为第四象限角,所以-为第一象限角,4-为第
2、一象限角或第二象限角。又因为cos4-=35,所以4-为第一象限角。所以tan4-=43,tan-4=-43。4.(2017北京高考)在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称。若sin =13,则sin =。答案：13 解析：sin =sin(-)=sin =13。5.(2019全国高考)tan 255=()。A.-2-3B.-2+3C.2-3D.2+3答案：D解析：由正切函数的周期性可知,tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(30+45)=33+11-33=2+3,故选D。题组2三角函数的图像变换问题6.(2017全国高考)已知曲线C1:
3、y=cos x,C2:y=sin2x+23,则下面结论正确的是()。A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移6个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移12个单位长度,得到曲线C2答案：D解析：曲线C1,即y=sinx+2,把其上各点的横坐标缩短到原来的12,纵坐标不变,得曲线y=sin2x+2
4、,再把该曲线向左平移12个单位长度,得y=sin2x+12+2=sin2x+23的图像。故选D。7.(四川高考)为了得到函数y=sinx+3的图像,只需把函数y=sin x的图像上所有的点()。A.向左平行移动3个单位长度B.向右平行移动3个单位长度C.向上平行移动3个单位长度D.向下平行移动3个单位长度答案：A解析：函数y=sin x的图像向左平行移动3个单位长度可得到y=sinx+3的图像。8.(全国高考)将函数y=2sin2x+6的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为()。A.y=2sin2x+4B.y=2sin2x+3C.y=2sin2x-4D.y=2sin2x-3答案：D解
5、析：函数y=2sin2x+6的周期为,所以将函数y=2sin2x+6的图像向右平移4个单位长度后,得到函数图像对应的解析式为y=2sin2x-4+6=2sin2x-3。故选D。9.(全国高考)已知函数f(x)=sin(x+)0,|2,x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在18,536单调,则的最大值为()。A.11B.9C.7D.5答案：B解析：因为x=-4为函数f(x)的零点,直线x=4为y=f(x)图像的对称轴,所以2=kT2+T4(kZ,T为周期),得T=22k+1(kZ)。又f(x)在18,536单调,所以T6,k112,又当k=5时,=11,=-4,
6、f(x)在18,536不单调;当k=4时,=9,=4,f(x)在18,536单调,满足题意,故=9,即的最大值为9。10.(全国高考)函数y=Asin(x+)的部分图像如图5-14所示,则()。图5-14A.y=2sin2x-6B.y=2sin2x-3C.y=2sinx+6D.y=2sinx+3答案：A解析：由题图易知A=2,因为周期T满足T2=3-6,所以T=,=2T=2。由x=3时,y=2可知23+=2+2k(kZ),所以=-6+2k(kZ),结合选项可知函数解析式为y=2sin2x-6。11.(山东高考)要得到函数y=sin4x-3的图像,只需将函数y=sin 4x的图像()。A.向左平
7、移12个单位B.向右平移12个单位C.向左平移3个单位D.向右平移3个单位答案：B解析：y=sin4x-3=sin 4x-12,故要将函数y=sin 4x的图像向右平移12个单位。故选B。题组3三角函数的性质问题12.(2017全国高考)函数f(x)=15sinx+3+cosx-6的最大值为()。A.65B.1C.35D.15答案：A解析：由诱导公式可得cosx-6=cos2-x+3=sinx+3,则f(x)=15sinx+3+sinx+3=65sinx+3,函数的最大值为65。13.(2017全国高考)函数f(x)=sin2x+3的最小正周期为()。A.4B.2C.D.2答案：C解析：由题意
8、T=22=,故选C。14.(2017天津高考)设函数f(x)=2sin(x+),xR,其中0,|0)。若f(x)f4对任意的实数x都成立,则的最小值为。答案：23解析：f(x)f4,当x=4时函数f(x)取最大值。cos4-6=1,4-6=2k(kZ),=8k+23(kZ)。0,当k=0时,取得最小值23。题组4三角函数图像与性质的综合问题16.(2018天津高考)将函数y=sin2x+5的图像向右平移10个单位长度,所得图像对应的函数()。A.在区间34,54上单调递增B.在区间34,上单调递减C.在区间54,32上单调递增D.在区间32,2上单调递减答案：A解析：将函数y=sin2x+5的
9、图像向右平移10个单位长度,得函数y=sin2x-10+5的图像,即y=sin 2x的图像,令2k-22x2k+2(kZ),解得k-4xk+4(kZ),取k=1,得34x54,所以函数y=sin 2x在区间34,54上单调递增,故选A。17.(2017全国高考)设函数f(x)=cosx+3,则下列结论错误的是()。A.f(x)的一个周期为-2B.y=f(x)的图像关于直线x=83对称C.f(x+)的一个零点为x=6D.f(x)在2,单调递减答案：D解析：A项,最小正周期T=2=2,则kT(kZ)也是f(x)的周期,故-2是f(x)的一个周期。B项,把x=83代入函数中,得f83=-1,故直线x
10、=83为y=f(x)图像的对称轴。C项,f6+=cos6+3=0,所以x=6为f(x+)的一个零点。D项,原函数相当于y=cos x的图像左移3个单位长度后所得图像对应的函数,在2,上先减后增,故错误。18.(2019全国高考)函数f(x)=sinx+xcosx+x2在-,的图像大致为()。图5-15答案：D解析：解法一显然f(x)=-f(-x),所以f(x)为奇函数,排除A;f2=1+222=4+221,观察题图可知D正确。故选D。解法二显然f(x)=-f(-x),所以f(x)为奇函数,排除A;易知当x0+时,f(x)0,排除C;f()=2-10,排除B。故选D19.(北京高考)将函数y=s
11、in2x-3的图像上的点P4,t向左平移s(s0)个单位长度得到点P。若P位于函数y=sin 2x的图像上,则()。A.t=12,s的最小值为6B.t=32,s的最小值为6C.t=12,s的最小值为3D.t=32,s的最小值为3答案：A解析：因为点P4,t在函数y=sin2x-3的图像上,所以t=sin24-3=sin 6=12。又P4-s,12在函数y=sin 2x的图像上,所以12=sin 24-s,则24-s=2k+6或24-s=2k+56,kZ,得s=-k+6或s=-k-6,kZ。又s0,故s的最小值为6。故选A。20.(2018全国高考)函数f(x)=cos3x+6在0,的零点个数为
12、。答案：3解析：0x,63x+6196,结合余弦函数的图像可得函数f(x)取零点时,3x+6=2或3x+6=32或3x+6=52,解得x=9或x=49或x=79。有3个零点。21.(2018江苏高考)已知函数y=sin(2x+)-22的图像关于直线x=3对称,则的值是。答案：-6解析：由函数y=sin(2x+)-22的图像关于直线x=3对称,得sin23+=1。又-22,则623+0,|0)个单位长度,得到y=g(x)的图像。若y=g(x)图像的一个对称中心为512,0,求的最小值。答案：由(1)知f(x)=5sin2x-6,得g(x)=5sin2x+2-6。因为函数y=sin x图像的对称中
13、心为(k,0),kZ,令2x+2-6=k,解得x=k2+12-,kZ。由于函数y=g(x)的图像关于点512,0成中心对称,所以令k2+12-=512,解得=k2-3,kZ。由0可知,当k=1时,取得最小值6。题组5三角恒等变换之求值化简问题24.(2019全国高考)已知0,2,2sin 2=cos 2+1,则sin =()。A.15B.55C.33D.255答案：B解析：解法一:依题意得4sin cos =2cos2,由0,2,知cos 0,所以2sin =cos 。又sin2 +cos2 =1,所以sin2 +4sin2 =1,即sin2=15。又0,2,所以sin =55,选B。解法二:
14、依题意得sin21+cos2=12,即tan =12,所以sin =sin2sin2+cos2=tan2tan2+1=55,选B。25.(2017全国高考)已知sin -cos =43,则sin 2=()。A.-79B.-29C.29 D.79答案：A解析：sin 2=2sin cos =(sin-cos)2-1-1=-79。26.(2017山东高考)已知cos x=34,则cos 2x=()。A.-14B.14C.-18D.18答案：D解析：由cos x=34得cos 2x=2cos2x-1=2342-1=18,故选D。27.(2018全国高考)若sin =13,则cos 2=()。A.89
15、B.79C.-79D.-89答案：B解析：sin =13,cos 2=1-2sin2=1-2132=1-29=79。故选B。28.(2017江苏高考)若tan-4=16,则tan =。答案：75 解析：tan =tan-4+4=tan-4+tan 41-tan-4tan 4=16+11-161=75。29.(四川高考)cos28-sin28=。答案：22解析：由二倍角公式易得cos28-sin28=cos 4=22。30.(2019江苏高考)已知tantan+4=-23,则sin2+4的值是。答案：210解析：通解tantan+4=tantan+11-tan=tan(1-tan)tan+1=-
16、23,解得tan =2或tan =-13。当tan =2时,sin 2=2sincossin2+cos2=2tantan2+1=45,cos 2=cos2-sin2sin2+cos2=1-tan2tan2+1=-35,此时sin 2+cos 2=15。同理当tan =-13时,sin 2=-35,cos 2=45,此时sin 2+cos 2=15,所以sin2+4=22(sin 2+cos 2)=210。优解tantan+4=sincos+4cossin+4=-23,则sin cos+4=-23cos sin+4。又22=sin+4-=sin+4cos -cos+4sin =53sin+4co
17、s ,则sin+4cos =3210,则sin2+4=sin+4+=sin+4cos +cos+4sin =13sin+4cos =133210=210。31.(2017全国高考)已知0,2,tan =2,则cos-4=。答案：31010解析：由tan =2得sin =2cos 。又sin2+cos2=1,所以cos2=15。因为0,2,所以cos =55,sin =255。因为cos-4=cos cos 4+sin sin 4,所以cos-4=5522+25522=31010。32.(2018浙江高考)已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P-35,-45。(1)求
18、sin(+)的值;答案：由角的终边过点P-35,-45得sin =-45,所以sin(+)=-sin =45。解析：由角的终边过点P-35,-45得sin =-45,所以sin(+)=-sin =45。(2)若角满足sin(+)=513,求cos 的值。答案：由角的终边过点P-35,-45得cos =-35,由sin(+)=513得cos(+)=1213。由=(+)-得cos =cos(+)cos +sin(+)sin ,所以cos =-5665或cos =1665。解析：由角的终边过点P-35,-45得cos =-35,由sin(+)=513得cos(+)=1213。由=(+)-得cos =
19、cos(+)cos +sin(+)sin ,所以cos =-5665或cos =1665。题组6三角恒等变换与三角函数性质的综合问题33.(全国高考)函数f(x)=cos 2x+6cos2-x的最大值为()。A.4B.5C.6D.7答案：B解析：f(x)=cos 2x+6cos2-x=cos 2x+6sin x=1-2sin2x+6sin x=-2sinx-322+112。sin x-1,1,当sin x=1时,f(x)最大,且最大值为5。故选B。34.(2017山东高考)函数y=3sin 2x+cos 2x最小正周期为()。A.2B.23C.D.2答案：C解析：由题意得y=2sin2x+6,
20、其周期T=22=,故选C。35.(2018全国高考)若f(x)=cos x-sin x在-a,a是减函数,则a的最大值是()。A.4B.2C.34D.答案：A解析：由f(x)=cos x-sin x=2cosx+4,令2kx+4+2k,kZ,解得-4+2kx34+2k,kZ,其中一个减区间为-4,34,所以a的最大值为4。故选A。36.(浙江高考)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递减区间是。答案：38+k,78+k,kZ解析：原式=1-cos2x2+sin2x2+1=22sin2x-4+32,故f(x)的最小正周期为,令2k+22x-42k+32(kZ),
21、得k+38xk+78(kZ),所以f(x)的单调递减区间为38+k,78+k,kZ。37.(2019全国高考)函数f(x)=sin2x+32-3cos x的最小值为。答案：-4解析：f(x)=sin2x+32-3cos x=-cos 2x-3cos x=1-2cos2x-3cos x=-2cosx+342+178。因为cos x-1,1,所以当cos x=1时,f(x)取得最小值,f(x)min=-4。38.(湖北高考)函数f(x)=4cos2x2cos2-x-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为。答案：2解析：因为f(x)=4cos2x2cos2-x-2sin x-|ln(x+1)|
22、=2(1+cos x)sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin 2x-|ln(x+1)|,所以函数f(x)的零点个数为函数y=sin 2x与y=|ln(x+1)|图像的交点的个数。函数y=sin 2x与y=|ln(x+1)|的图像如图,由图知,两函数图像有2个交点,所以函数f(x)有2个零点。39.(2017全国高考)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为。答案：5解析：f(x)=2cos x+sin x=22+115sinx+25cosx=5sin(x+),其中满足tan =2。sin(x+)1,f(x)5。题组7三角函数的综合问题40.(2017山东高考)设函数f(x
23、)=sinx-6+sinx-2,其中03。已知f6=0。(1)求;答案：因为f(x)=sinx-6+sinx-2,所以f(x)=32sin x-12cos x-cos x=32sin x-32cos x=312sinx-32cosx=3sinx-3。由题设知f6=0,所以6-3=k,kZ,故=6k+2,kZ。又03,所以=2。(2)将函数y=f(x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移4个单位长度,得到函数y=g(x)的图像,求g(x)在-4,34上的最小值。答案：由(1)得f(x)=3sin2x-3,所以g(x)=3sinx+4-3=3sinx-12。因
24、为x-4,34,所以x-12-3,23,当x-12=-3,即x=-4时,g(x)取得最小值-32。41.(2017浙江高考)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(xR)。(1)求f23的值;答案：由sin 23=32,cos 23=-12,得f23=322-122-2332-12=2。解得6+kx23+k,kZ,所以f(x)的单调递增区间是6+k,23+k(kZ)。(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间。答案：由cos 2x=cos2x-sin2x与sin 2x=2sin xcos x,得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin2x+6,所以f(x
25、)的最小正周期是。由正弦函数的性质得2+2k2x+632+2k,kZ,42.(2017北京高考)已知函数f(x)=3cos2x-3-2sin xcos x。(1)求f(x)的最小正周期;答案：f(x)=3cos2x-3-2sin xcos x=32cos 2x+32sin 2x-sin 2x=12sin 2x+32cos 2x=sin2x+3,所以T=22=。(2)求证:当x-4,4时,f(x)-12。答案：令t=2x+3,因为-4x4,所以-62x+356,因为y=sin t在-6,2上单调递增,在2,56上单调递减,所以f(x)sin-6=-12,得证。43.(2019浙江高考)设函数f(
26、x)=sin x,xR。(1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数,求的值;答案：因为f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+),即sin xcos +cos xsin =-sin xcos +cos xsin ,故2sin xcos =0,所以cos =0。又0,2),因此=2或32。(2)求函数y=fx+122+fx+42的值域。答案：y=fx+122+fx+42=sin2x+12+sin2x+4=1-cos2x+62+1-cos2x+22=1-1232cos2x-32sin2x=1-32cos2x+3。因此,函数的值域是1-32,1+32。
27、44.(天津高考)已知函数f(x)=sin2x-sin2x-6,xR。(1)求f(x)的最小正周期;答案：由已知,有f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-32=1212cos2x+32sin2x-12cos 2x=34sin 2x-14cos 2x=12sin2x-6。所以,f(x)的最小正周期T=22=。(2)求f(x)在区间-3,4上的最大值和最小值。答案：因为f(x)在区间-3,-6上是减函数,在区间-6,4上是增函数,f-3=-14,f-6=-12,f4=34。所以,f(x)在区间-3,4上的最大值为34,最小值为-12。题组8三角函数的应用问题45.(湖北高考改编)某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-2sin12t+3,t0,24)。(1)求实验室这一天上午8时的温度;答案：由题可知,f(8)=10-2sin23+3=10-20=10(),即实验室这一天上午8时的温度为10 。(2)求实验室这一天的最大温差。答案：因为0t24,所以312t+373,-1sin12t+31。当t=2时,sin12t+3=1;当t=14时,sin12t+3=-1。于是f(t)在0,24)上取得最大值12,取得最小值8。故实验室这一天最高温度为12 ,最低温度为8 ,最大温差为4 。