1、第4讲 算法、推理与证明 考情分析 总纲目录 考点一 算法(高频考点)考点二 推理与证明 考点三 数学文化 考点一 算法(高频考点)命题点1.根据程序框图求解输出结果;2.根据程序框图填写或选择判断框内的条件.典型例题 (1)(2017课标全国,10,5分)执行下面的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S=()A.2 B.3 C.4 D.5(2)(2017课标全国,8,5分)执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为()A.5 B.4 C.3 D.2(3)(2017课标全国,10,5分)下面程序框图是为了求出满足3n-2n1 000的最小偶数n,那么在 和 两个空
2、白框中,可以分别填入()A.A1 000和n=n+1 B.A1 000和n=n+2C.A1 000和n=n+1 D.A1 000和n=n+2答案(1)B(2)D(3)D解析(1)由程序框图可得S=0,a=-1,K=16;S=0+(-1)1=-1,a=1,K=26;S=-1+12=1,a=-1,K=36;S=1+(-1)3=-2,a=1,K=46;S=-2+14=2,a=-1,K=56;S=2+(-1)5=-3,a=1,K=66;S=-3+16=3,a=-1,K=76,退出循环,输出S=3.故选B.(2)要求N的最小值,观察选项,发现其中最小的值为2,不妨将2代入检验.当输入的N为2时,第一次循
3、环,S=100,M=-10,t=2;第二次循环,S=90,M=1,t=3,此时退出循环,输出S=90,符合题意,故选D.(3)本题求解的是满足3n-2n1 000的最小偶数n,判断循环结构为当型循环结构,即满足条件要执行循环体,不满足条件应输出结果,所以判断语句应为A1 000,另外,所求为满足不等式的偶数解,因此 中语句应为n=n+2,故选D.方法归纳解答程序框图问题的三个关注点(1)弄清程序框图的三种基本结构,按指向执行直至结束.(2)关注输出的是哪个量,何时结束.(3)解答循环结构问题时,要写出每一次的结果,防止运行程序不彻底,同时注意区分计数变量与循环变量.跟踪集训 1.(2017江西
4、南昌十校联考)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A.1 B.2 C.-1 D.-5答案D 由程序框图知,S=3,n=2;S=3-4=-1,n=3;S=-1-4=-5,n=4,此时满足输出条件.故输出S的值为-5,选D.622.(2017湖南湘中名校联考)执行如图所示的程序框图,如果运行结果为5040,那么判断框中应填入()A.k6?B.k6?D.k7?答案D 第一次循环,得S=2,k=3;第二次循环,得S=6,k=4;第三次循环,得S=24,k=5;第四次循环,得S=120,k=6;第五次循环,得S=720,k=7;第六次循环,得S=5 040,k=8,此时满足题意,退
5、出循环,输出的S=5 040,故判断框中应填入“k7?”,故选D.考点二 推理与证明 1.归纳推理(1)归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理.(2)归纳推理的思维过程如下:试验、观察概括、推广猜测一般性结论2.类比推理(1)类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理.(2)类比推理的思维过程如下:观察、比较联想、类推猜测新的结论典型例题 (1)(2017课标全国,9,5分)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优
6、秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩(2)(2017河南郑州第三次质量预测)中国有句名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算的,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵、横两种形式,如下:表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千
7、位,十万位数用横式表示,以此类推,例如6 613用算筹表示就是:,则5 288用算筹可表示为()答案(1)D(2)C解析(1)由题意可知,“甲看乙、丙的成绩,不知道自己的成绩”说明乙、丙两人是一个优秀一个良好,则乙看了丙的成绩,可以知道自己的成绩,丁看了甲的成绩,也可以知道自己的成绩.故选D.(2)个位,百位数用纵式表示,十位,千位数用横式表示,所以5 288可表示为,故选C.方法归纳合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时,要先根据已知的部分个体,把它们适当变形,找出它们之间的联系,从而归纳出一般结论.(2)在进行类比推理时,要充分考虑已知对象性质的推理过程,然后通过类比,推导出类比对象的性
8、质.(3)归纳推理的关键是找规律,类比推理的关键是看共性.跟踪集训 1.观察下列等式:1+2+3+n=n(n+1);1+3+6+n(n+1)=n(n+1)(n+2);1+4+10+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3);可以推测1+5+15+n(n+1)(n+2)(n+3)=.12121616124124解析 根据式子中的规律可知,等式右侧为 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4).15 4 3 2 1 1120答案 n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)11202.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人
9、员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.若教师人数为4,则女学生人数的最大值为 ;该小组人数的最小值为 .答案 6 12解析 设男学生人数为x,女学生人数为y,教师人数为z,由已知得 且x,y,z均为正整数.当z=4时,8xy4,x的最大值为7,y的最大值为6,故女学生人数的最大值为6.xyz,当x=3时,条件不成立,当x=4时,条件不成立,当x=5时,5yz,此时z=3,y=4.该小组人数的最小值为12.,2,xyyzzx2x52考点三 数学文化 典型例题 (1)(2016课标全国,9,5分)中国古代
10、有计算多项式值的秦九韶算法,下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=()A.7 B.12 C.17 D.34(2)(2015课标,8,5分)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=()A.0 B.2 C.4 D.14答案(1)C(2)B解析(1)执行程序框图,输入a为2时,s=02+2=2,k=1,此时k2不成立;再输入a为2时,s=22+2=6,k=2,此时k2不成立;再输入a为5时,s=62+5=17,k=3,此时k2成立,结束循环,输
11、出s为17,故选C.(2)执行程序框图:当a=14,b=18时,ab,则a=14-4=10;当a=10,b=4时,ab,则a=10-4=6;当a=6,b=4时,ab,则a=6-4=2;当a=2,b=4时,ab,则b=4-2=2,此时a=b=2,输出a=2,故选B.方法归纳解决此类问题要充分理解题意,弄清输出条件.跟踪集训 1.(2017湖北七市(州)联考)秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的数书九章中提出的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,4,则输出v的值为()A.6 B.25C.100 D.400答
12、案C 输入n=3,x=4,v=1,i=3-1=2;v=14+2=6,i=2-1=1;v=64+1=25,i=1-1=0;v=254=100,i=0-1=-10.程序结束,输出的v=100.故选C.2.(2017四川成都第一次诊断性检测)我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“势”即是高,“幂”是面积.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等,那么这两个几何体的体积相等.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中,ABCD是一个不规则的封闭图形,EFGH是一个上底为1的梯形,且当实数t取0,3上的任意值时,直线y=t被ABCD和EFG
13、H所截得的两线段长始终相等,则ABCD的面积为 .答案 92解析 依题意,类比可知ABCD的面积等于梯形EFGH的面积,为 3=.2 12921.(2017北京,3,5分)执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.2 B.C.D.325385随堂检测 答案C 由程序框图可知k=1,s=2;k=2,s=;k=3,s=.此时k3 B.x4 C.x4 D.x5答案B log24=2,4+2=6,当x=4时,应执行否.结合选项知选B.3.(2017安徽合肥模拟)如图所示的程序框图的算法思想源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”,执行该程序框图(图中“m MODn”表示m除以n的余数),若输入的m,n
14、分别495,135,则输出的m=()A.0 B.5 C.45 D.90答案C 该程序框图是求495与135的最大公约数,由495=1353+90,135=901+45,90=452,所以495与135的最大公约数是45,所以输出的m=45,故选C.4.设ABC的三边长分别为a,b,c,ABC的面积为S,则ABC的内切圆半径为r=.将此结论类比到空间四面体:设四面体S-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,体积为V,则四面体的内切球半径为()A.B.C.D.2Sabc1234VSSSS12342VSSSS12343VSSSS12344VSSSS答案C 设四面体的内切球的球心为O,球心O到四个面的距离都是R,则有V=(S1+S2+S3+S4)R,所以R=.1312343VSSSS