1、专题一 函数与导数 选修案例 22()()coss1intan()20Oxxyxyxyx在直角坐标系中，以原点 为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则点的极坐标，与直角坐标，的互化公式是，或，直线，圆，椭圆，双曲线，抛物线的参数方程如下表：曲线类型普通方程参数方程直线y-y0=tana(x-x0)(t为参数)圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)(为参数)椭圆=1(ab0)(为参数)双曲线=1(a0，b0)(为参数)抛物线y2=2px(p0)(t为参数)2222xyab2222xyab00 xxtcosyytsinaacossinxaybxasecybtan222xptypt 00cos
2、sinxxtyytaa ()(3.4)f xabCCf xab 如果函数在区间，上只有惟一的最大小 值点，且在点 的两侧单调，并具有相反的单调性，则函数为区间，上的单峰函数把影响试验目标的诸多原因称为因素，如果在一个试验过程中，只有 或主要有 一个因素在变化，则称这类问题为单因素问题，表示试验目标与因素之间对应关系的函数称为目标函数12510.618.20.618.0.6615nmnmxxabCnxxxx设 和 是因素范围，内的任意两个试点，为最佳点，把两个试点中效果较好的点称为好点，效果较差的点称为差点以差点为分界点，把因素范围分成两部分，其中好点所在部分称为存优范围黄金分割常数在试验方法中
3、，利用黄金分割常数确定试点的方法叫做黄金分割法，也叫做法在确定第 个试点 时，如果存优范围内相应的好点是，则大小用180.618.nn 法确定试点时，次试验后的精度为110.618871nnnFFFn 在优选法中，用渐近分数近似代替确定试点的方法叫做分数法对目标函数为单峰的情形，用分数法寻找最佳点时，当因素范围内有个试点时，最多只需作 次试验就能找出其中的最佳点单因素单峰试验的优选法主要有黄金分割法，分数法，对分法，盲人爬山法，分批试验法等 12()(02)(cossin)2(sincos)2_12()212()_12_1.xtxsltlyktyssk 在极坐标系，中，曲线与的交点一、坐标系与
4、参数方程的极坐标为若直线：为参数 与直线：为参数例垂直，则 1212(2)22220,222.2122.211cossinxysincoskyxkllkll 根据极坐标系与直角坐标系互化公式，交点直角坐标为，所以交点的极坐标为由直线的参数方程可知，直线 的斜率为，直线 的斜率为因为，所以，即解析：00(2)1xxabyyba极坐标系中的问题一般可以先转化为直角坐标系中解决，然后还原为极坐标系中的解直线为参数 的斜率是，不必将参数方程化为普【点评】通方程 121211cos()sincos()si12n23xtCtytxCyCCOCAPOAPaa aa 已知直线：为参数，：为参数 当时，求与的交
5、点坐标；过坐标原点 作的垂线，垂足为，为的中点当 变化时，求 点轨迹的二、直线参数方程和圆的参，并指出数方程及其应用例它是什么曲线 12222212131.3(1)1131,0()212CyxCxyyxxyCCa 时，的普通方程为，的普通方程为联立方程组，解得与的，交点，为解析：122sincossin01 sin 22()1 sincos1211(21()4160)44CxyaPxPxyPyaaaaaaa 的普通方程为，故当 变化时，点轨迹的参数方程为为参数 点轨迹的普通方程为，故 点轨迹是圆心为，半径为 的圆 15100,1100()_700,750_1_2_ _.nanaa若某实验的因素
6、范围是，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量分别以表示第 次试验的加入量 结果都取整数；若干次试验后的存优范围包含在区间内三、单因素单峰试验，优选法例3则 121000.6181100 1007181100 11007.1882.24aa由黄金分割法知：第一次的加入量为析易知解：345700,750700,750718482,1100482 1100718864718482,864482864718628.628864718774.aaa因为包含存优范围，所以最优点在区间上由此知前两次试验结果中，好点是，所以此时存优范围取，所以，同理可知第三次试验后，好点仍是，此时存优范围是，所以同理可求
7、得0.618利用黄金分割法解决单因素优选问题，第一个试验点的值即为因素范围的处，然后按“加两头，减中间”进行试验点的选取，再比较前后试验点的优劣，逐步减少存优范围，得出符合条件的【点评】最佳点 6081112730 某化工厂拟对某一化工厂产品进行技术改良，需要优选加工温度，试验范围定为，精度要求，技术员准备用分数法进行优选如何安排试验？并简述试验的操作流程；最多通过几次试验就可以找出最佳点？若最佳点为，求例4各试点的值 1260,81132161,6280.21136081607360817368.211732“168”xx解析:所以第 试点安排在，第 试点安排在，将试验范围调整为，后续试点在
8、存优范围并等分为段，分点为，取渐近分内，用 加两头，数则，减中间来安排 71234520173687068,816881737668,76667368767123876737168,7368737170.70Fxxxxx因为，所以最多通过试验就可以找出最佳点因为，最佳点为，则存优区间是又，则存优次故各试点的值依次是，区间是又，则存优，区间是是于.用分数法确定试点值的操作方法与黄金分割法类似，只是要选择适当的渐近分数代替必要时要调整试验范围，使试验范围等分的段数为斐波【点评】那契数 114cos(02)4sincossin10(2)10 xOyCxMyCOMPOxlrPl 在平面直角坐标系中，曲
9、线的参数方程为为参数，且，点是曲线上的动点求线段的中点 的轨迹的直角坐标方程；以坐标原点 为极点，轴的正半轴为极轴建备选题 立极坐标系，若直线 的极坐标方程为，求点 到直线 距离的最大值 122(4cos4sin)0,0()1(04cos)2cos21(04sin)2sin2(2cos2sin)2cos2sin(02.1)4CMPxyxyPxPyPxy曲线上的动点的坐标为，坐标原点，设 的坐标为，则由中点坐标公式得，所以点 的坐标为，因此点 的轨迹的参数方程为为参数，且，消去参数 得点 的轨迹的直角坐：标为析方程解 22cossin10.120,0120|001|12221(12)22.llx
10、lyxyPxyPl 由直线 的直角坐标方程为，得直线 的直角坐标方程为，得直线 的直角坐标方程为又由知点 的轨迹为圆心在原点，半径为 的圆因为原点到直线的距离为，所以点 到直线 距离的最大值为1对于用极坐标方程或参数方程给出的曲线，如果直接利用其方程不方便解题，则应将极坐标方程化为直角坐标方程，或将参数方程化为普通方程，从而转化为常规的解析几何问题求解2在直角坐标系中，对某些与角度和长度有关的问题，可考虑建立极坐标系，把角度和长度转化为点的极角和极径，再根据极坐标方程求解3对于圆、椭圆、双曲线、抛物线上的动点或未知点，可以用相应曲线的参数方程表示点的坐标，使得点在曲线上的条件体现在坐标之中，减
11、少许多中间环节的运算4对直线上的点到定点的距离问题，可以利用直线的参数方程，将它转化为参数的取值问题来解决一般地，直线上两点间的距离等于这两个点所对应的参数的差的绝对值5黄金分割法的基本原则是：两个试点关于存优范围的中心对称，且每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度成比例黄金分割法主要适用于单因素单峰目标函数，第一个试点确定在因素范围的0.618处，后续试点用“加两头，减中间”来确定试验方法的效率常用精度0.618n-1来反映在相同试验次数下，精度越高，方法越好6分数法也适用于单因素单峰函数，因素范围由一些离散的点组成，试点只能取某些特定值的情形其基本思想是用适当的渐近分数代替0.618，然后按类似黄金分割法的操作原理选取试点即先用渐近分数确定第一个试点，后续试点用“加两头，减中间”的方法来确定若因素范围内的试点将试验范围所分的段数不是斐波那契数，则可以通过减少试点数或增加虚点数凑成斐波那契数7如果每做一次试验，根据结果可以决定下次试验的方向，就用对分数法寻找最佳点；如果试验中某些因素不允许大幅度调整，就用盲人爬山法寻找最佳点；分批试验法每批同时做几个试验，可以加快试验进度，根据存优范围越小效率越高的原理，比例分割法比均分法效果要好