1、 高考资源网() 您身边的高考专家过关检测(三十四)1(2019株洲检测)设函数f(x)exaxa,其中a为常数,f(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1x2.(1)求a的取值范围;(2)设x0,证明:f(x0)0.解:(1)f(x)exa.若a0,则f(x)0,f(x)在R上单调递增,f(x)的图象与x轴最多有一个交点,与题意矛盾若a0,令f(x)0,得xln a,易得f(x)在(,ln a)上单调递减,在(ln a,)上单调递增,则f(x)minf(ln a)a(2ln a),又函数f(x)的图象与x轴有两个交点,则a(2ln a)0,解得ae2,又f(1)e0,
2、f(ln a)0,当x时,f(x)0,故a(e2,)满足题意综上,a的取值范围为(e2,)(2)证明:由(1)知1x1ln ax2,由题意可得解得a,所以f(x0)e,要证f(x0)0,只需证e.下面证明e,即证1.(*)令t(t0),则(*)等价于et2t,令g(t)et2t,则g(t)et20,所以g(t)在(0,)上单调递增,所以g(t)e0200,所以e,而,所以ee,故e,即f(x0)0.2(202届高三吕州摸底)已知函数f(x)ax4ln x的两个极值点x1,x2满足x1x2,且ex23,其中e为自然对数的底数(1)求实数a的取值范围;(2)求f(x2)f(x1)的取值范围解:(1
3、)f(x)a(x0),由题意知x1,x2为方程ax24xa0的两个根易知a0.则所以a0且0x11.令S(x)ax24xa,则由ex23可得解得a.故实数a的取值范围为.(2)f(x2)f(x1)ax24ln x2ax14ln x1,因为x1,所以f(x2)f(x1)ax24ln x2ax24ln 2a8ln x2.由(1)知a,代入得f(x2)f(x1)8ln x28ln x2.令tx,则t(e2,9),于是可得h(t)4ln t,故h(t)0,所以h(t)在(e2,9)上单调递减,所以8ln 3f(x2)f(x1),即f(x2)f(x1)的取值范围为.3(2019九江模拟)已知函数f(x)
4、ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a1时,方程f(x)m(m2)有两个相异实根x1,x2,且x1x2,证明:x1x2.解:(1)由题意得,f(x)a(x0)当a0时,由x0,得1ax0,即f(x)0.所以f(x)在(0,)上单调递增当a0时,由f(x)0,得0x,由f(x)0,得x,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减 综上,当a0 时,f(x)在(0,)上单调递增;当a0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减(2)证明:由题意及(1)可知,方程f(x)m(m2)的两个相异实根x1,x2满足ln xxm0,且0x11x2,即ln x1x1mln x2x2m0.由题意
5、,可知ln x1x1m2ln 22,又由(1)可知,f(x)ln xx在(1,)上单调递减,故x22.令g(x)ln xxm,则g(x)gx3ln xln 2.令h(t)t3ln tln 2(t2),则h(t).当t2时,h(t)0,h(t)是减函数,所以h(t)h(2)2ln 20,所以g(x)g.因为x22且g(x1)g(x2),所以h(x2)g(x2)gg(x1)g0,即g(x1)g.因为g(x)在区间(0,1)上单调递增,所以x1,故x1x2.4(2019厦门一模)已知函数f(x)x3x2logax(a0且a1)为定义域上的增函数,f(x)是f(x)的导函数,且f(x)的最小值小于等于
6、0.(1)求a的值;(2)设函数g(x)f(x)x34ln x6x,且g(x1)g(x2)0,求证:x1x22.解:(1)f(x)2x23x(x0),由f(x)为增函数可得,f(x)0在(0,)上恒成立则由2x23x0可得2x33x2,令m(x)2x33x2,则m(x)6x26x,由m(x)0,得x1,由m(x)0,得0x1,所以m(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增,在x1处取得极小值即最小值,所以m(x)minm(1)1,所以1,即1,当a1时,易得ae,所以1ae;当0a1时,则0,这与1矛盾,从而不能使f(x)0恒成立所以1ae.由f(x)min0,可得2x23x0,即2
7、x33x2,由之前的讨论可知,1,即1.当0a1时,1恒成立;当a1时,1ln a1ae.所以0a1或ae.综上,ae.(2)证明:g(x)x3x2ln xx34ln x6xx23ln x6x,因为g(x1)g(x2)0,所以x3ln x16x10,所以(xx)3ln(x1x2)6(x1x2)0,即(x1x2)22x1x2ln(x1x2)2(x1x2)0,即(x1x2)2x1x2ln(x1x2)2(x1x2)0,所以(x1x2)22(x1x2)ln(x1x2)x1x2.令x1x2t,g(t)ln tt,则g(t)1,易得g(t)在(0,1) 上单调递增,在(1,)上单调递减,所以g(t)g(1)1,所以(x1x2)22(x1x2)1,整理得(x1x2)24(x1x2)20,解得x1x22或 x1x22(舍去),所以x1x22得证 高考资源网版权所有,侵权必究!