1、专题一 函数与导数 选修案例 1几何证明的主要知识点有：平行线等分线段定理，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形的射影定理，圆周角定理，圆心角定理，圆内接四边形的性质与判定定理，圆的切线性质与判定定理，弦切角定理，相交弦定理，切割线定理，切线长定理，平面与圆柱面的截线，平面与圆锥面的截线等2判定两个三角形相似有三个理论依据，即两角对应相等；两边对应成比例且夹角相等；三边对应成比例相似三角形的基本性质可概括为：对应高的比、中线的比，角平分线的比，周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方3直角三角形的射影定理有两种形式，即斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直
2、角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项4圆的平面几何性质主要体现在“三角四线”“三角”是指圆周角，圆心角和弦切角；“四线”是指切线，割线，切割线和相交弦其有关定理、推理和性质，都是围绕这“三角四线”而展开的5用平面截圆柱面，所得截线可以是圆或椭圆；用平面截圆锥面，所得截线可以是圆、椭圆、双曲线或抛物线6绝对值三角不等式：|a|-|b|ab|a|+|b|.12121212222222212121 1221212()()()0(1,7,2)8nnnnnnnnnninaaanaaana aaaaaaaabbba ba ba baaabinbbb算术几何平均不等式：对于 个正整，有，当且仅当时等号
3、成立柯西不等式：，或时，等号成立22222212122221122121212212312111 1221 12212910.nnnnnnnnnnnnnnnnxxxyyyxyxyxyaaabbbccccbbbba ba ba ba ca ca ca ba ba baaa 三角不等式：排序不等式：设，是，的任意一个排列，则，当且仅当12nbbb或时，反序和等于顺序和 2.12ABOBDCAEEFBAFAEDAFDABBE BDAE AC 如图，是的直径，弦、的延长线相交于点，垂直的延长线一、几何性质的判定与证于点求证：明例1；.901.9.0ADABADBEFABEFAADDEAD AEFF 连
4、结因为为圆的直径，所以又，则、所四点共以圆，解析：221.BD BEBA BFBCABCAEFABACABBE BDAE ACBA BFAAFB AFAB BFAAE ACAEAFFAB由知，连结，显然，所以，即，所以考查四点共圆以及相似三角形的有【点评】关知识 2303_(201_.3 cm7 0)cm.122ABCDaOaABPPDOAPCPABOMNCADMNDBEMNEBEFADBE二、几何图形中数量关如图，、是半径为 的圆 的两条弦，它们相交于的中点，则如图所示，已知为半的直径，直线切半圆于点，于点，广东于点，交半圆于点，系的分析与计算例则P_ODE半的半径为；线段的长为 22.Rt
5、303.232CP=2391.28PABOPABAOPOAPOAaAPaBPBP APCP DPaaPAPDaOC【因为点 是的中点，所以在解析中，所以又，连接】/1()5 cm,25 cm.9090903 cm.MNCOCMNADMNBEMNAD OC BEOABOCABCDOCADBEOAFABOAFBAFEADEDEFADEFDEAFADEFRt ABFBFBE 因为切半圆于点，所以，又因为 为的中点，所以为梯形的中位线，所以半的半径为连接因为为半径的直径，又因为，所以四边形为矩形，所以，在中，4 cm210 cm.EFABOC，2222104 cm2 21c2 21cm.mAFADBE
6、BF由勾股定理，得，所以【点评】勾股定理、垂径分弦定理、相交弦定理及切割线定理是探寻与圆有关的线段的数量关系的重要依据，应熟练掌握 2132_5_341 2 3_12_f xxxff xxxbb设函数，则；若，则 的取值范围三、含绝对值不等式的解法与应是若不等式的解集中的整数有且仅有、，则 的取例3值范围为用 22241236.(21)(2)21352044|3-|43340147341,1582343571.xfxxxxxbbx bxbbbbb ，由已知得：解析,0,1,2121_(1)2_4_a babyababcabcbccaab则的最大值是设，为正实数，则的最四、经典不等式小的综应值为
7、用例合 22222222max221 121 1,(21)(21)(11)2(1)282 2.12 2210.11100.12yababcdacbdyababababcabcabcbccaayb 由柯西不等式知，当且仅当时，方法：不妨设，则，所以据排解析序不等式，.2()33.222+3+cbaacbabcabcabcabccbabacabcabcabcabccbaabcabcabcbccaababcbccaababcbcacabbccaab 有，由，得，即方法：因为 2111()1111()211119().223.232abcbccaabbccaabbccaabbccaabbccaabab
8、cabcbccaaabcbcabbca所以，当故的最且仅当时，等号成立小值是+abcbccaab将作顺序和，再构造两个乱序和，且使得这两个乱序和为常数，是利用排序不等式求最值的思维要点利用均值不等式求最小值，关键是将代数式变形为积为定值【点评】的形式1 3 521112sin.2 4 622121nnnnn设 为正整数，求证：备选题 1 3 5211.2 4 62211()111231 3 5211.2 4 621122nnnnnkkkk思路：左边的不等式可用数学归纳法或放缩法证明，右边的不等式可构造函数，用综合法证明先证证法：数学归纳法当时，因为，所以不等式成立假设当时，不等式成立即【解析】
9、221 3 521 21.2 4 62221212122222121 23122231483484231231kkkkkkkkkkkkkkkkkkknk 则，所以当时，不等式成立 222221 3 52111 2.2 4 62212()41421 21421214212121(=1,2,).2211 3 5211352 4 62357211.2121nnnkkkkkkkkkkkknkknnnnn 综合知，证法：放缩法因为，则，所以，即所以 112 sin.2121()2 sin()12 cos.2(0,)cos2 cos1,420(0,)4(0)00sin.411110,2 sin.21342
10、121nnf xxxf xxxxxfxf xxf xfxxnnn 再证因为当时，即则有，所以函数在上是减函数于是当，时，即原不等又所以式得证【点评】证明不等式的方法有许多，但要根据不等式的结构特点进行选择其中构造放缩不等式、构造函数等是一些常用技巧1判定或证明几何性质一般用分析综合法，先用分析法转化所证结论，确定证明方向，再根据图形特点用综合法完成证明2对几何中的线段长，角的大小，面积等数量的计算，一般通过解三角形或利用方程思想求解其中相似三角形性质，射影定理，角平分线定理，切割线定理，相交弦定理等是建立方程的主要理论依据3处理平面与圆柱面或圆锥面的截线问题，要结合空间图形和轴截面图进行分析，
11、以便找出相关参数之间的内在联系4平面几何的基本元素是边和角，基本图形是三角形和圆解题中要根据图形的特点，注意观察、联想、猜测、分析准确把握解题方向，确定解题目标，灵活运用三角形与圆中有关边和角的定理和性质解决几何问题5证明不等式的基本方法有比较法，分析法，综合法，放缩法，反证法和数学归纳法等，应用时要根据所证不等式的结构特点适当选取对同一个不等式可以用几种方法证明，也可以结合几种方法证明6用差比较法证明不等式时，作差后一般进行因式分解或配方，这样有利于判断符号有些不等式从正面考虑难以入手，或含有“至少”、“至多”、“惟一”等量词，一般用反证法证明对与正整数有关的不等式，可以考虑用数学归纳法证明对含有和式或乘积式的不等式，可以考虑用放缩法证明若所证不等式与已知条件或某些不等式性质有明确的内在联系，则可以用综合法或分析法证明7求多元函数的最值，一般利用均值不等式，柯西不等式，排序不等式，绝对值不等式，三角不等式等经典不等式求解，但要注意构造不等式的应用环境，如利用均值不等式求和的最小值时，积必须为定值，同时要指出等号成立的条件8求含绝对值不等式的解集的常用方法是去掉绝对值符号，转化为常规不等式求解，其中去绝对值符号有多种方法，如区间讨论法，平方法，绝对值定义法等，解题时要适当选择对某些绝对值不等式也可以用数轴分析法或函数图象法求解