1、4.5函数y=Asin(x+)的图像与应用必备知识预案自诊知识梳理1.函数y=Asin(x+)的有关概念一般地,形如y=Asin(x+)这种类型的函数称为正弦型函数,其中A,都是常数,且A0,0.y=Asin(x+)(A0,0)振幅周期频率相位初相AT=2f=1T=2x+2.用五点法画y=Asin(x+)在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示x0-2-32-2-x+02322y=Asin(x+)0A0-A03.由y=sin x的图像得y=Asin(x+)(A0,0)的图像的两种方法y=Asin(x+)(A0,0)的图像的作法:(1)五点法:用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,
2、主要是通过变量代换,设z=x+,由z取0,2,32,2来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图像.(2)图像变换法:由函数y=sin x的图像通过变换得到y=Asin(x+)的图像,有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先后”)与“先伸缩后平移”(即“先后”).考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)把y=sin x的图像上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,所得图像对应的函数解析式为y=sin12x.()(2)将y=sin 2x的图像向右平移3个单位长度,得到y=sin2x-3的图像.()(3)函数f(x)=Asin(x+)(A0)的最大值为A
3、,最小值为-A.()(4)如果y=Acos(x+)的最小正周期为T,那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(5)若函数y=Asin(x+)为偶函数,则=2k+2(kZ).()2.将函数y=2sin2x+6的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为()A.y=2sin2x+4B.y=2sin2x+3C.y=2sin2x-4D.y=2sin2x-33.(2020河南开封三模,理6)为了得到函数y=2(sin 2x+cos 2x)的图像,只需把函数y=2sin 2x图像上所有的点()A.向左平移4个单位长度B.向左平移8个单位长度C.向右平移4个单位长度D.向右平移8个单位长度4
4、.(2020安徽马鞍山二模,6)函数f(x)=sinx+6的图像平移后对应函数g(x)=sinx+6+的图像,若g(x)为偶函数,则|的最小值为()A.6B.3C.23D.565.(2020江苏,10)将函数y=3sin2x+4的图像向右平移6个单位长度,则平移后的图像中与y轴最近的对称轴的方程是.关键能力学案突破考点函数y=Asin(x+)的图像及变换【例1】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(x+)0,|0)个单位长度,得到y=g(x)的图像,若y=g(x)图像的一个对称中心为512,0,求的最小值.解题心得函数y=Asin(x+)(A0,0,0)图像的基本变换(1)纵向伸缩变换:
5、伸长A增大,缩短A减小.(2)横向伸缩变换:伸长周期增大减小;缩短周期减小增大.(3)横向平移变换:左移1个单位长度,y=Asin(x+1)+;右移1个单位长度,y=Asin(x-1)+.(4)上下平移:上移1个单位长度y=Asin(x+)+1;下移1个单位长度y=Asin(x+)-1.对点训练1已知函数y=2sin2x+3.(1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出函数y在一个周期内的图像;(3)说明y=2sin2x+3的图像可由y=sin x的图像经过怎样的变换而得到.考点求函数y=Asin(x+)的解析式(多考向探究)考向1由函数的图像求函数y=Asin(x+)的解析式【例2】
6、(1)(多选)(2020山东菏泽一模,11)已知函数f(x)=Asin(x+4)A0,0,00,0,|0,0)的解析式的步骤和方法(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A=M-m2,b=M+m2.(2)求:确定函数的最小正周期T,则可得=2T.(3)求:把图像上的一个已知点代入来求.寻找“五点法”中的某一个点来求,具体如下:“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)时,x+=0;“第二点”(即图像的“峰点”)时,x+=2;“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)时,x+=;“第四点”(即图像的“谷点”)时,x+=32;“第五点”时,x+=2.对点训练2(1)已知函数f(x)=Asin(x+
7、)(A0,0,00,0,|0,0)只能同时满足下列条件中的两个:函数f(x)的最大值为2,函数f(x)的图像可由y=2sinx-4的图像平移得到,函数f(x)图像的相邻两条对称轴之间的距离为2.(1)请写出这两个条件的序号,并求出f(x)的解析式;(2)求方程f(x)+1=0在区间-,上所有解的和.解题心得由函数y=Asin(x+)的性质确定其解析式的方法:由函数的最值确定A,由函数的周期性确定,由函数的奇偶性或对称性确定.对点训练3(2020北京东城一模,17)已知函数f(x)=asin2x-6-2cos2x+6(a0),且满足.(1)求函数f(x)的解析式及最小正周期;(2)若关于x的方程f(x)=1在区间0,m上有两个不同解,求实数m的取值范围.从f(x)的最大值为1,f(x)的图像与直线y=-3的两个相邻交点的距离等于,f(x)的图像过点6,0这三个条件中选择一个,补充在上面问题中并作答.考点函数y=Asin(x+)的模型的应用【例4】据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)=Asin(x+)+BA0,0,|0.(1)若函数f(x)的最小正周期为2,求的值;(2)若函数f(x)在区间0,2上的最大值为32,求的取值范围.
