1、微专题1 圆锥曲线中的最值与范围问题1.（2021北京房山高二期末）已知双曲线x24+y2k=1 的离心率1e2 ，则实数k 的取值范围是( )A.k0 或k3 B.-3k0 C.-12k0 D.-8k3答案：C2.（2021北京丰台高二期末）已知点M 在椭圆x218+y29=1 上运动，点N 在圆x2+(y-1)2=1 上运动，则|MN| 的最大值为( )A.1+19 B.1+25C.5D.112答案：B解析：设圆x2+(y-1)2=1 的圆心为C ，则C(0,1) ，半径r=1 ，则|MN|MC|+r=|MC|+1 ，设M(x0,y0) ，则x0218+y029=1x02=18-2y02
2、，所以|MC|=x02+(y0-1)2=x02+y02-2y0+1=18-2y02+y02-2y0+1=-y02-2y0+19=-(y0+1)2+2025 ，当且仅当y0=-1 时，|MC| 取得最大值25 ，所以|MN|MC|+125+1 .3.（2021重庆八中高二期中）若点O 和点F 分别为双曲线x22-y2=1 的中心和左焦点，点P 为该双曲线上的任意一点，则OPFP 的最小值为( )A.2+6 B.2-6C.12 D.-32答案：B解析：由题意，点O(0,0) ，点F(-3,0) ，设点P(x,y) ，则x22-y2=1y2=x22-1,x(-22,+) ，所以OP=(x,y) ，F
3、P=(x+3,y) ，所以OPFP=x(x+3)+y2=x2+3x+x22-1=32(x+33)2-32 ，所以当x=-2 时，OPFP 取得最小值，为32(-2+33)2-32=2-6 .4.（2021安徽淮北一中高二期中）已知双曲线C ：x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的渐近线方程为y=3x ，若动点P 在C 的右支上，F1,F2 分别为C 的左、右焦点，OPOF2 的最小值是2a （其中O 为坐标原点），则|PF1|2|PF2| 的最小值为( )A.4B.8C.16D.24答案：B解析：易知当点P 为双曲线的右顶点时，OPOF2 取得最小值2a ，即ac=2a ，所以c=2 ，由b
4、a=3, c=2, c2=a2+b2, 解得a=1 ，b=3 ，设|PF2|=t(t1) ，则|PF1|=t+2 ，所以|PF1|2|PF2|=(t+2)2t=t+4t+42t4t+4=8 （当且仅当t=4t ，即t=2 时取等号），即|PF1|2|PF2| 的最小值为8.5.（多选题）已知F1,F2 为椭圆x24+y23=1 的左、右焦点，M 为椭圆上的动点，则下面四个结论中正确的是( )A.|MF2| 的最大值大于3B.|MF1|MF2| 的最大值为4C.F1MF2 的最大值为60D.若动直线l 垂直于y 轴，且交椭圆于A ，B 两点，P 为l 上满足|PA|PB|=2 的点，则点P 的轨
5、迹方程为x22+2y23=1 或x26+2y29=1答案：B ; C ; D解析：由椭圆方程得a2=4 ，b2=3 ，c2=1 ，因此F1(-1,0) ，F2(1,0) .选项A中，|MF2|max=a+c=3 ，A中结论错误；选项B中，|MF1|MF2|(|MF1|+|MF2|2)2=4 ，当且仅当|MF1|=|MF2|=2 时取等号，B中结论正确；选项C中，当点M 为短轴的端点时，F1MF2 取得最大值，取M(0,3) ，则tanF1MF22=cb=33 ，F1MF22=30 ，F1MF2 的最大值为60 ，C中结论正确；选项D中，设P(x,y) ，A(x1,y) ，则B(-x1,y) .
6、|PA|PB|=2 ，|x-x1|x+x1|=2 ，|x2-x12|=2 ，即x12=x2+2 或x12=x2-2 .又由题意知x124+y23=1 ，x2-24+y23=1 或x2+24+y23=1, 化简得x26+2y29=1 或x22+2y23=1 ，D中结论正确.6.（2021山东乳山第一中学高二月考）已知两点A(-1,0) ，B(0,1) ，点P 是椭圆x216+y29=1 上任意一点，则点P 到直线AB 距离的最大值为( )A.42 B.32C.6D.62答案：B解析：由A(-1,0) ，B(0,1) 得直线AB 的方程为y=x+1 ，由图可知，直线y=x+m(m0) 和椭圆相切于
7、点P 时，点P 到直线AB 的距离最大.联立得y=x+m,x216+y29=1, 整理得25x2+32mx+16m2-144=0 ， 直线y=x+m 和椭圆相切，=(32m)2-425(16m2-144)=0 ，解得m=-5 或m=5 （舍去）， 直线y=x+1 与直线y=x-5 之间的距离d=|1-(-5)|12+(-1)2=32 ， 点P 到直线AB 距离的最大值为32 ，故选B.素养提升练7.（2021北京平谷五中高二期中）已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的离心率等于32 ，且点(-22,5) 在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）若双曲线的左顶点为A1 ，右焦点为F2
8、 ，P 为双曲线右支上的任意一点，求PA1PF2 的最小值.答案：（1）依题意有ca=32, 8a2-5b2=1, c2=a2+b2, 解得a2=4 ，b2=5 ，c2=9 ，故双曲线的方程为x24-y25=1 .（2）由已知得A1(-2,0) ，F2(3,0) ，设P(x,y)(x2) ，于是PA1=(-2-x,-y) ，PF2=(3-x,-y)因此PA1PF2=x2-x-6+y2=x2-x-6+54x2-5=94x2-x-11=94(x-29)2-1009 ，因为x2 ，所以当x=2 时，PA1PF2 取得最小值，且最小值为-4.8.点A、B 分别是椭圆x236+y220=1 长轴的左、右
9、端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方，PAPF .（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的点，M 到直线AP 的距离等于|MB| ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.答案：（1）由已知可得点A(-6,0) ，F(4,0) ，设点P 的坐标为(x,y) ，则AP=(x+6,y) ，FP=(x-4,y) ，PAPF ，APFP=0 ，即(x+6)(x-4)+y2=0 ，即x2+2x-24+y2=0 .由x236+y220=1, x2+2x-24+y2=0, 消去y 得2x2+9x-18=0 ，解得x=32 或x=-6 ， 点P 位于x 轴的上方，x=3
10、2 ，于是y=532 ， 点P 的坐标是(32,532) .（2）由（1）得直线AP 的方程是y-0532-0=x+632+6 ，即x-3y+6=0 ，设点M 的坐标为(m,0) ，-6m6 ，则M 到直线AP 的距离是|m+6|2 ，于是|m+6|2=|m-6| ，解得m=2 或m=18 （舍去），M(2,0) .设椭圆上的点(x,y) 到点M 的距离为d ，d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20-59x2=49(x-92)2+15 .-6x6 ， 当x=92 时，d 取得最小值，为15 .9.已知抛物线C:y2=2px(p0) ，点F 为抛物线C 的焦点，点A(1,a) 在抛物线C
11、 上，且|FA|=2 ，过点F 作斜率为k 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）若APQ 面积的取值范围为5,85 ，求k 的取值范围.答案：（1）由抛物线的定义得|FA|=1+p2=2 ，所以p=2 ，所以抛物线C 的方程为y2=4x .（2）由（1）知F(1,0) ，所以设直线l 的方程为y=k(x-1) ，P(x1,y1) ，Q(x2,y2) .由y=k(x-1),y2=4x, 得k2x2-(2k2+4)x+k2=0 ，由根与系数的关系得x1+x2=2k2+4k2 ，x1x2=1 .由题意知AFx 轴，所以SAPQ=12|AF|x1-x2|=|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(2k2+4k2)2-4=16k4+16k2=41k2+1k4 .令t=1k2(t0) ，所以SAPQ=4t2+t .又APQ 面积的取值范围为5,85 ，即54t2+t85 ，所以516t2+t20 ，得14t4 ，即14k24 ，所以-2k-12 或12k2 ，所以k 的取值范围是-2,-1212,2 .5