1、数学思想专项训练(三)分类讨论思想方法概述适用题型所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，如不能用同一标准、同一种运算、同一个定理或同一种方法去解决，因而会出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，不重复、不遗漏地分类讨论”.分类讨论的常见类型有以下几种：(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等；(2)由性
2、质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等；(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等；(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.一、填空题1已知集合Aa，b,2，B2，
3、b2,2a，且ABAB，则a_.解析：由ABAB知AB，又根据集合元素的互异性，有或解得或故a0或.答案：0或2函数f(x)若f(1)f(a)2，则a的所有可能值为_解析：f(1)e111，f(a)1，若a(1,0)，则sin(a2)1，a.若a0，)，则ea11，a1.因此a1或a.答案：1或3若直线l过点P(3，)且被圆x2y225截得的弦长是8，则直线l的方程为_解析：若直线l的斜率不存在，则该直线的方程为x3，代入圆的方程解得y4，故直线l被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线l的斜率存在，不妨设直线l的方程为yk(x3)，即kxy3k0，因为直线l被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆
4、的半径为5，则圆心(0,0)到直线l的距离为，解得k，此时直线l的方程为3x4y150.答案：x3或3x4y1504三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是_解析：如图所示，当直线l在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时，与l异面的直线分别有3条、4条、5条、6条，故能构成异面直线的条数的集合是3,4,5,6答案：3,4,5,65若函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：设函数yax(a0且a1)和函数yxa，则函数f(x)axxa(a0且a1)有两个零点，就是函数yax(a0且a1)的图像
5、与函数yxa的图像有两个交点由图像可知，当0a1时，因为函数yax(a1)的图像过点(0,1)，而直线yxa的图像与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点所以实数a的取值范围是a1.答案：(1，)6已知集合Ax|x24x30，集合Bx|x2axa10，命题p：xA，命题q：xB，若綈q是綈p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_解析：由x24x30得，1x3，即Ax|1x3，由x2axa10得，x(a1)(x1)0，由綈q是綈p的必要不充分条件可知p是q的必要不充分条件，即p不能推出q，但q能推出p，BA.若B，则a2，若B，则1a13，即20且a1)在1,2上的最大值比最小
6、值大，则a的值是_解：当a1时，yax在1,2上递增，故a2a，得a；当0a0时，需xb恒为非负数，即a0，b0.当a0且b0.答案：a0且b09若数列an满足a1a2a3ann23n2，则数列an的通项公式为_解析：a1a2a3ann23n2，当n2时，a1a2a3an1(n1)23(n1)2n(n1)得，an1(n2)，又a1123126，不满足an1，数列an的通项公式为an答案：an10非负整数a，b，满足|ab|ab1，记集合M(a，b)，则集合M中元素的个数为_解析：由非负整数a，b满足|ab|ab1，得或即或即M(1,1)，(1,0)，(0,1)，所以集合M中元素的个数为3.答案
7、：3二、解答题11在等差数列an中，a1a38，a2a414.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列anbn是首项为1，公比为c的等比数列，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设数列an的公差为d，a1a38，a2a414，解得a11，d3.数列an的通项公式为ana1(n1)d13(n1)3n2.(2)由数列anbn是首项为1，公比为c的等比数列，得anbncn1，即3n2bncn1，bn3n2cn1，Sn147(3n2)(1cc2cn1)(1cc2cn1)当c1时，Snn；当c1时，Sn.综上，数列bn的前n项和Sn12已知函数f(x)和g(x)的图像关于原点对称，且f(x)x22x.(
8、1)求函数g(x)的解析式；(2)解不等式g(x)f(x)|x1|；(3)若h(x)g(x)f(x)1在1,1上是增函数，求实数的取值范围解：(1)设函数yf(x)的图像上任一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则即又点Q(x0，y0)在函数yf(x)的图像上，yx22x，yx22x.即g(x)x22x.(2)由g(x)f(x)|x1|，可得2x2|x1|0.当x1时，2x2x10，此时不等式无解；当x1时，2x2x10，1x.因此，原不等式的解集为1，(3)h(x)(1)x22(1)x1.当1时，h(x)4x1在1,1上是增函数，故1适合题意当1时，对称轴的方程为x.当1时，1
9、，解得1时，1，解得1b0)经过点A(1,0)，且离心率为.(1)求椭圆C1的方程；(2)过抛物线C2：yx2h(hR)上P点的切线与椭圆C1交于不同的两点M，N，记线段MN与PA的中点分别为G，H，当直线GH与y轴平行时，求h的最小值解：(1)由题意知解得所以椭圆C1的方程为x21.(2)设P(t，t2h)，由y2x，得抛物线C2在点P处的切线的斜率为ky|xt2t，所以直线MN的方程为y2txt2h，代入椭圆方程得4x2(2txt2h)240，化简得4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240，又直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，故16t42(h2)t2h240，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN中点的横坐标为x0，则x0，设线段PA中点的横坐标为x3，则x3，由已知得x0x3，即，显然t0，h(t1)，当t0时，t2，当且仅当t1时取得等号，此时h3，不符合式，故舍去；当t0时，(t)()2，当且仅当t1时取得等号，此时h1，满足式综上，h的最小值为1.
