1、课前自学课堂互动课堂达标3.2 简单的三角恒等变换 目标定位 1.了解和、差、倍角公式的特点，并进行变形应用.2.理解三角变换的基本特点和基本功能.3.了解三角变换中蕴含的数学思想和方法.课前自学课堂互动课堂达标1.二倍角余弦公式 自 主 预 习 cos 2cos2sin2_.2cos2112sin22.降幂公式：sin22 1cos 2；cos22 1cos 2；tan22 1cos 1cos .课前自学课堂互动课堂达标3.半角公式(1)S2：sin 2 _；(2)C2：cos 2 _；(3)T2：tan 2 _(无理形式)_(有理形式).1cos 21cos 21cos 1cos sin
2、1cos 1cos sin 课前自学课堂互动课堂达标4.辅助角公式 使 asin xbcos x a2b2sin(x)成立时，cos _，sin _，其中 称为辅助角，它的终边所在象限由_决定.aa2b2ba2b2点(a，b)课前自学课堂互动课堂达标即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)sin 151cos 302.()(2)cosx4 sinx4.()(3)ysin xcos x，xR 的值域为2，2.()(4)三角恒等变换包括角的变换和函数名称的变换.()课前自学课堂互动课堂达标提示(1)sin 15 1cos 302.(2)cosx4 cos2 4 x sin4
3、 x.(3)ysin xcos x 2sinx4，xR，故值域为 2，2.(4)三角恒等变换主要指角的变换与函数名称的变换.课前自学课堂互动课堂达标2.已知 sin 2 13，则 cos 的值为()A.29B.79C.29D.79 解析 sin 2 13，cos 12sin22 1213279.答案 D 课前自学课堂互动课堂达标3.若 cos 23，且(0，)，则 cos 2 的值为()A.56B.306C.65D.305解析 cos 23，且(0，)，2 0，2.cos 2 1cos 21232 56 306.答案 B 课前自学课堂互动课堂达标4.已知 是第二象限角，且 cos 35，则 t
4、an 2 等于_.解析 是第二象限角，且 cos 35，sin 1cos2135245，tan 2 sin 1cos 451352.答案 2 课前自学课堂互动课堂达标类型一 降幂公式的应用【例 1】(1)求 sin 22.5的值.(2)化简：（1sin cos ）sin2 cos222cos(00，sin 22.5 2 22.课前自学课堂互动课堂达标(2)原式2sin2 cos2 2cos22 sin2 cos24cos22cos2 sin22 cos22cos2.cos2 cos cos2.0 ，02 0，原式cos .课前自学课堂互动课堂达标规律方法(1)对于特殊角的一半求函数值，可以通过
5、降幂，转化为特殊角.(2)对于式子中含有1cos，1cos 形式时，可以逆用降幂公式，消去常数1.课前自学课堂互动课堂达标【训练 1】当 0，2 时，化简12121212cos 2.解 原式121212（1cos 2）1212cos 12（1cos ）cos2.课前自学课堂互动课堂达标类型二 辅助角公式【例 2】将下列三角式化成 Asin(x)的形式.(1)sin xcos x.(2)3sin xcos x.(3)sin x 3cos x.解(1)原式 222 sin x 22 cos x 2sinx4(2)原式232 sin x12cos x 2sinx6(3)原式212sin x 32 c
6、os x 2sinx3 课前自学课堂互动课堂达标规律方法 使 asin xbcos x a2b2sin(x)a2b2cos(x)成立时，cos aa2b2，sin ba2b2，sin aa2b2，cos ba2b2，其中、称为辅助角，它的终边所在象限由点(a，b)决定.辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用.课前自学课堂互动课堂达标【训练 2】化简(1)32 sin 2xcos2x(2)3sin2x6 2sin2x12.解(1)原式 32 sin 2x12cos 2x12sin2x6 12.(2)原式 3sin2x6 1cos2x6232 sin2x6 12cos2x612sin2x3
7、 1.课前自学课堂互动课堂达标类型三 三角恒等式证明(互动探究)【例 3】求证：sin（）sin（）sin2 cos21tan2tan2.思路探究探究点一 由左到右证明，应采取什么变换？提示 弦化切.探究点二 由右到左证明，应采取什么变换？提示 切化弦.课前自学课堂互动课堂达标证明 法一 左边（sin cos cos sin ）（sin cos cos sin ）sin2 cos2sin2 cos2 cos2 sin2sin2 cos21cos2 sin2sin2 cos2 1tan2tan2 右边.原等式成立.课前自学课堂互动课堂达标法二 右边1cos2 sin2sin2 cos2 sin2
8、 cos2 cos2 sin2sin2 cos2（sin cos cos sin ）（sin cos cos sin ）sin2 cos2sin（）sin（）sin2 cos2左边.原式成立.课前自学课堂互动课堂达标规律方法 在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则，按照目标确定化简思路，由复杂的一边化到简单的一边.如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法.课前自学课堂互动课堂达标【训练 3】求证：1sin 4 cos 42tan 1sin 4 cos 41tan2.证明 原式可变形为1sin 4 cos 4 tan 2(1sin 4 cos 4)，式右边sin 2cos
9、2(12cos22 12sin 2 cos 2)sin 2cos 2(2cos22 2sin 2 cos 2)2sin 2(cos 2 sin 2)2sin 2 cos 2 2sin22 sin 4 1cos 4 左边.式成立，即原式得证.课前自学课堂互动课堂达标课堂小结1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式 asin xbcos x a2b2sin(x)，其中 满足：与点(a，b)同象限；tan ba(或 sin ba2b2，cos aa2b2).课前自学课堂
10、互动课堂达标3.研究形如 f(x)asin xbcos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数 a、b 应熟练掌握，例如 sin xcos x 2sinx4；sin x 3cos x2sinx3 等.课前自学课堂互动课堂达标1.已知 cos 13，(，2)，则 cos2 等于()A.63B.63C.33D.33 解析 cos22 1cos 223，(，2)，故 cos2 63.答案 B 课前自学课堂互动课堂达标2.化简：2cos 2sin21的结果是()A.cos
11、 1 B.cos 1C.3cos 1 D.3cos 1解析 2cos 2sin21 1cos 2cos21 2cos21cos21 3cos 1.答案 C 课前自学课堂互动课堂达标3.求值：sin23512cos 10cos 80_.解析 原式1cos 70212cos 10sin 10cos 702sin 10cos 10sin 20sin 201.答案 1 课前自学课堂互动课堂达标4.已知 sin 2cos 0，求cos 2 sin 21cos2的值.解 由 sin 2cos 0，得 sin 2cos ，又 cos 0，则 tan 2，所以cos 2 sin 21cos2cos2 sin2 2sin cos sin2 2cos21tan2 2tan tan2 21（2）22（2）（2）2216.