1、5.4数列的应用最新课程标准 1.掌握等差数列与等比数列通项公式及前n项和公式 (重点)2能运用等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式解决一些简单的实际问题.教材要点知识点基础自测1中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第五天走的路程为()A6里 B12里C24里 D48里2一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路
2、程和是(结果保留到个位)()A300米 B299米C199米 D166米3现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为_4已知数列an中，a11，且an1an3nn，求数列an的通项公式题型一等比数列的应用例1借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元(1.0161.061,1.0151.051)?方法归纳解决此类问题的关键是建立等比数列模型及弄清数列的项数，所谓复利计息，即把上期的本利和作为下一期本金，在计算时每一期本金的数额是不同的，复利的计算公式为SP(1r)n，其
3、中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和跟踪训练1一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m吗？题型二等差数列的应用例2某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？方法归纳建立等差数列的模型时，要
4、根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数跟踪训练2甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？题型三数列求和例3(1)已知等比数列an中，a13，a481，若数列bn满足bnlog3an，则数列的前n项和Sn_.(2)设数列an满足a12，an1an322n1.求数列an的通项公式；令bnnan，求数列bn的前n项和Sn.方法归纳数列求和问题一般转化为
5、等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解一般常见的求和方法有：(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n项和公式)；(2)分组求和法；(3)错位相减法；(4)倒序相加法；(5)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；形如an(k为非零常数)型化为an；(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解提醒：求和抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项跟踪训练3已知正项数列an中，a11
6、，点(，an1)(nN)在函数yx21的图像上，数列bn的前n项和Sn2bn.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设cn，求cn的前n项和Tn.54数列的应用新知初探自主学习基础自测1解析：记每天走的路程里数为an，由题意知an是公比为的等比数列，由S6378，得S6378，解得a1192，a519212(里)故选B.答案：B2解析：小球10次着地共经过的路程为100100501008299300(米)答案：A3解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个钢管总数为：123n.当n19时，S19190.当n20时，S20210200.n19时
7、，剩余钢管根数最少，为10根答案：104解析：由an1an3nn，得anan13n1(n1)，an1an23n2(n2)，a3a2322，a2a131.当n2时，以上n1个等式两边分别相加，得(anan1)(an1an2)(a2a1)3n13n23(n1)(n2)1，即ana1.又a11，an3n.显然a11也适合上式，an的通项公式为an3n.课堂探究素养提升例1解析：法一：设每个月还贷a元，第1个月后欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1n6)，则a010 000，a11.01a0a，a21.01a1a1.012a0(11.01)a，a61.01a5a1.016a0(1
8、1.011.015)a.由题意，可知a60，即1.016a0(11.011.015)a0，a.因为1.0161.061，所以a1 739(元)故每月应支付1 739元法二：一方面，借款10 000元，将此借款以相同的条件存储6个月，则它的本利和为S1104(10.01)6104(1.01)6(元)另一方面，设每个月还贷a元，分6个月还清，到贷款还清时，其本利和为S2a(10.01)5a(10.01)4aa(1.0161)102(元)由S1S2，得a1 739(元)故每月应支付1 739元跟踪训练1解析：用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an1an，因此，数列an是首项a125，公
9、比q的等比数列热气球在前n分钟内上升的总高度为：Sna1a2an125480，在24小时内能构筑成第二道防线跟踪训练2解析：(1)设n分钟后第1次相遇，依题意，有2n5n70，整理得n213n1400.解得n7，n20(舍去) .第1次相遇是在开始运动后7分钟(2)设n分钟后第2次相遇，依题意，有2n5n370，整理得n213n4200.解得n15，n28(舍去)第2次相遇是在开始运动后15分钟例3解析：(1)设等比数列an的公比为q，则q327，解得q3.所以ana1qn133n13n，故bnlog3ann，所以.则Sn11.(2)由已知，当n1时，an1(an1an)(anan1)(a2a
10、1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，所以数列an的通项公式为an22n1.由bnnann22n1知Sn12223325n22n1，从而22Sn123225327n22n1，得(122)Sn2232522n1n22n1，即Sn(3n1)22n12答案：(1)(2)见解析跟踪训练3解析：(1)点(，an1)(nN)在函数yx21的图像上，an1an1，数列an是公差为1的等差数列a11，an1(n1)n，Sn2bn，Sn12bn1，两式相减得：bn1bn1bn，即，由S12b1，即b12b1，得b11.数列bn是首项为1，公比为的等比数列，bnn1.(2)log2bn1log2nn，cn，Tnc1c2cn1.