1、第八节函数与方程考纲传真1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似根(见学生用书第26页)1函数零点(1)定义：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点(3)零点存在性定理：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系b24ac000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0
2、)无交点零点个数2103.二分法(1)二分法的定义：对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法(2)用二分法求函数零点近似值的步骤：第一步：确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度.第二步：求区间(a，b)的中点c.第三步：计算f(c)，若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)第四步：判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)，否
3、则重复第二、三、四步1(固基升华)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)，xD在区间(a，b)D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0()(3)二次函数yax2bxc在b24ac0时没有零点()(4)函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的实根()【答案】(1)(2)(3)(4)2(人教A版教材习题改编)若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那么下列命题中正确的是()A函数f(x)在区间(0,1)内有零点B函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C
4、函数f(x)在区间2,16)上无零点D函数f(x)在区间(1,16)内无零点【解析】由题意知，函数f(x)在区间2,16)上无零点，故选C.【答案】C3在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A.B.C. D.【解析】显然f(x)ex4x3的图象连续不间断，又f10，f20.由零点存在定理知，f(x)在内存在零点【答案】C4(2012北京高考)函数f(x)xx的零点的个数为()A0B1 C2D3【解析】在同一平面直角坐标系内作出y1x与y2x的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点因此函数f(x)xx只有1个零点【答案】B5(2014山东实验中学模拟)函数f(x)(x1)
5、ln x的零点有()A0个B1个 C2个D3个【解析】函数f(x)的定义域为(0，)，由(x1)ln x0得ln x0，解得x1，即函数f(x)的零点只有1个，故选B.【答案】B(见学生用书第26页)考向1函数零点的求解与判断【例1】(2013天津高考)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3D4【思路点拨】将函数零点个数的判断转化为两个函数图象交点个数的判断【尝试解答】令f(x)2x|log0.5x|10，可得|log0.5x|x.设g(x)|log0.5x|，h(x)x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数
6、f(x)有2个零点【答案】B,规律方法11.函数零点的判断常用的方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f(x)0.2 (1)求函数的零点，从代数角度思考就是解方程f(x)0；从几何角度思考就是研究其图象与x轴交点的横坐标；(2)本题的求解过程，其实质就是转化过程，应注意两点：转化的方式：变形；转化的方向，由数到形变式训练1图281(2014烟台模拟)如图281是函数f(x)x2axb的部分图象，则函数g(x)ln xf(x)的零点所在的区间是()A.B(1,2)C. D(2,3)【解析】由函数图象可知0b1，f(1)0，从而2a1，f(x)2xa，所以g(x)ln x2xa
7、，函数g(x)ln x2xa在定义域内单调递增，gln 1a0，所以函数g(x)ln xf(x)的零点所在的区间是，故选C.【答案】C考向2二分法及其应用【例2】若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值如下(精确度0.1)：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.437 5)0.162f(1.406 25)0.054那么方程x3x22x20的一个近似根(保留3位有效数字)为_【思路点拨】必须满足精确度要求，即|ab|0.1.【尝试解答】根据表格知f(1.406 25)f(1.437 5)0，即函数f(x)的零点在区间(1.406
8、25,1. 437 5)内，且1.437 51.406 250.031 250.1，所以方程x3x22x20的一个近似根为1.41.【答案】1.41(答案不唯一),规律方法2用二分法求函数零点的近似解必须满足yf(x)的图象在a，b内连续不间断，f(a)f(b)0.(2)在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计算次数变式训练2在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为_【解析】在(1,2)内取中点x0，令f(x)x32x1，f40，f(1)0，f(x)0的根在内【答案】考向3函数零点的应用【例3】(1)(2014潍坊模
9、拟)已知x0是f(x)x的一个零点，x1(，x0)，x2(x0,0)，则()Af(x1)0，f(x2)0，f(x2)0Cf(x1)0，f(x2)0 Df(x1)0(2)(2014昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上f(x)x，若关于x的方程f(x)logax有三个不同的根，求a的取值范围【思路点拨】(1)在同一坐标系内画出函数yx与y的图象，确定x1，x2的位置，从而确定f(x1)与f(x2)的正负；(2)先作出函数f(x)的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件【尝试解答】(1)在同一坐标系下作出函数f(x)x，f(x)的图象，由图象可知当
10、x(，x0)时，x，x(x0,0)时，x0，f(x2)0，选C.【答案】C(2)由f(x4)f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x4)f(x)f(4x)，所以函数关于x2对称，且f(2)f(6)f(10)2，要使方程f(x)logax有三个不同的根，则满足如图，即解得a0知f(x)是R上的增函数，因为g(x)的定义域为(0，)，所以g(x)2x0，所以g(x)在(0，)上是增函数因为f(0)10，所以0a1，因为g(1)20，所以1b0，g(a)0g(a)，故选A.【答案】A创新点拨：(1)本题以函数的零点为背景，综合考查函数的导数与单调性的关系，函数的零点存在性定理，所考查知
11、识点具有隐蔽性是本题的最大特色(2)本题中由等量关系到不等关系的转化，考查学生的分析问题、解决问题的能力及逆向思维意识应对措施：(1)本题中由等量关系到不等关系的转化，暗示我们应从函数的单调性着手，进而需明确a，b的大小关系(2)由a，b分别是函数f(x)与g(x)的零点，进而想到函数的零点存在性定理或数形结合确定a，b的大小关系1(2013重庆高考)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内【解析】f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f (c)(ca)(cb)，ab0，f(b)0，f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内【答案】A2(2013皖西四校第二次联考)已知函数f(x)axxb的零点x0(n，n1)(nZ)，其中常数a，b满足2a3,3b2，则n的值为()A1B2 C1D2【解析】alog231，blog321，令f(x)0，得axxb.在同一平面直角坐标系中画出函数yax和yxb的图象，由图可知，两函数的图象在区间(1,0)内有交点，所以函数f(x)在区间(1,0)内有零点所以n1，故选A.【答案】A