1、第 13 讲 直线与圆考情分析 本讲内容主要以考查求直线和圆的方程，直线与圆和圆与圆的位置关系等问题为主，其中含参数问题为命题的热点，一般以选择、填空的形式出现，难度不大热点题型分析热点 1 直线方程1.直线方程的五种形式(1)点斜式：yy0k(xx0)，其中 k 为直线斜率，(x0，y0)为直线上一点；(2)斜截式：ykxb，其中 k 为直线斜率，b 为直线纵截距；(3)两点式：yy1y2y1 xx1x2x1；其中(x1，y1)，(x2，y2)为直线上两点；(4)截距式：xayb1，其中 a 为直线的横截距，b 为直线的纵截距；(5)一般式：AxByC0，其中 A2B20.2.直线平行与垂直
2、的判定若两直线方程为 l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则 l1l2k1k2 且 b1b2，l1l2k1k21.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在3.三种距离公式(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离：|P1P2|x2x12y2y12；(2)点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离为：d|Ax0By0C|A2B2；(3)两条平行直线 AxByC10 与 AxByC20 间的距离为：d|C1C2|A2B2.1.下列有关直线的四个命题中，真命题为()A.直线的斜率为 tan，则其倾斜角为 B.经过点 P(x0，y0)的直线都可以用方程 yy0
3、k(xx0)表示C.经过任意两个不同的点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示D.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交答案 C解析 对于 A，如 tan2251 可以看作是一直线斜率，但是 225并不为直线倾斜角；对于 B，当直线垂直于 x 轴时，不能用点斜式写直线方程；对于 D，当两直线方程组成的方程组有无穷多个解时，两条直线重合，并不是相交的关系；对于 C，当 x1x2 时，其直线斜率为 kP1P2y1y2x1x2，则由点斜式可得方程为 yy1y2y1x2x1(xx1)，即(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1
4、)，当 x1x2 时，直线方程为 xx1，也满足(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)，故 C 正确.2.已知直线 l 的倾斜角为34，直线 l1 经过点 A(3,2)，B(a，1)，且 l1 与 l 垂直，直线 l2：2xby10 与直线 l1 平行，则 ab()A.4 B2 C0 D2答案 B解析 由题意知 l 的斜率为1，则 l1 的斜率为 1，即 kAB213a1，所以a0；由 l1l2 知2b1，则 b2，所以 ab2.故选 B.1.与直线的斜率和倾斜角有关的问题，往往容易忽略倾斜角的取值范围如第1 题，不关注范围就容易错选 A 选项因此解题时要关注斜率和倾角的函数关系(特别是
5、倾角的范围)，即 ktan0，2 2，；求范围的问题时，要结合正切函数图象具体问题具体分析.2.在求直线方程时要合理选择方程形式，特别是要考虑当直线斜率不存在时，是否满足条件如第 1 题，未考虑此情况，就容易错选 B 选项因此要注意几种直线方程形式的局限性，即点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与 x 轴垂直；截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线3.在研究两直线位置关系问题中不要忽视斜率不存在的情况如第 2 题，先求出 a0 即 l1 的斜率存在，否则需要考虑 b0 的情况；其中解两条直线平行的问题时，求出相应参数值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况；利用平行线间
6、距离公式计算距离时，要注意两条直线方程中 x 与 y 的系数是否一致.热点 2 圆的方程求圆的方程的两种方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而利用圆的标准方程求出圆的方程；(2)待定系数法：先设出圆的方程，再列出满足条件的方程(组)求出各系数，进而求出圆的方程，此种方法多以设圆的一般方程求解1.已知圆 C 的圆心在直线 xy0 上，圆 C 与直线 xy0 相切，且在直线 xy30 上截得的弦长为 6，则圆 C 的方程为_答案(x1)2(y1)22解析 解法一：所求圆的圆心在直线 xy0 上，设所求圆的圆心为(a，a)又所求圆与直线 x
7、y0 相切，半径 r2|a|2 2|a|.又所求圆在直线 xy30 上截得的弦长为 6，圆心(a，a)到直线 xy30 的距离 d|2a3|2，d2622r2，即2a322322a2，解得 a1，圆 C 的方程为(x1)2(y1)22.解法二：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则圆心(a，b)到直线 xy30 的距离 d|ab3|2，r2ab32232，即 2r2(ab3)23.所求圆与直线 xy0 相切，(ab)22r2.又圆心在直线 xy0 上，ab0.联立，解得a1，b1，r 2，故圆 C 的方程为(x1)2(y1)22.2.(2016浙江高考)已知 aR，方程 a2x2
8、(a2)y24x8y5a0 表示圆，则圆心坐标是_，半径是_答案(2，4)5解析 因为 a2x2(a2)y24x8y5a0 表示圆，则 a2a2，所以 a1 或 2.当 a2 时，方程为 4x24y24x8y100，即 x2y2x2y520，其中 D2E24F141050 是否成立；也可以配方后判断方程的右侧是否大于 0.热点 3 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系(1)几何法(dr 法)：即圆心到直线的距离 d 与圆半径 r 进行比较，dr直线与圆相离；(2)判别式法：设直线 l：AxByC0，圆 O：(xa)2(yb)2r2，由与组成方程组 M，消去 x(或 y)后的一元二次
9、方程，其根的判别式为，则 0直线与圆相交；0直线与圆相切；r)；圆心距为 d；两圆方程联立的方程组为 M，则两圆的位置关系如下：1.(2018全国卷)过抛物线 y24x 上的点 P 作圆 C：x2y26x80 的切线PA 和 PB，切点分别为 A，B，则四边形 PACB 面积的最小值为()A.5B.6C.7D2 2答案 C解析 如图所示，四边形 PACB 由两个全等的直角三角形 PAC 和 PBC 构成，因此当 PC 长度最小时，四边形 PACB 面积取得最小值由于 P 在抛物线 y24x上，设 P 的坐标为y24，y，x2y26x80，整理得(x3)2y21，C 点坐标为(3,0)，所以|P
10、C|y243 2y2y41612y29，由于 yR，所以当 y2 时，|PC|min2 2.又圆 C 的半径为 1，此时|PA|7，所以四边形 PACB 面积的最小值为 7.故选 C.2.(2019石家庄模拟)设圆 C1，C2 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A.4 B4 2C8 D8 2答案 C解析 因为圆 C1，C2 和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆都在第一象限内，设圆心坐标为(a，a)，则|a|a42a12，解得 a52 2或 a52 2，可取 C1(52 2，52 2)，C2(52 2，52 2)，故|C1C2|4 224 228.故
11、选 C.3.(2019浙江高考)已知圆 C 的圆心坐标是(0，m)，半径长是 r.若直线 2xy30 与圆 C 相切于点 A(2，1)，则 m_，r_.答案 2 5解析 根据题意画出图形，可知A(2，1)，C(0，m)，B(0,3)，则|AB|2021322 5，|AC|2021m2 4m12，|BC|m3|.直线 2xy30 与圆 C 相切于点 A，BAC90，|AB|2|AC|2|BC|2.即 204(m1)2(m3)2，解得 m2.因此 r|AC|4212 5.1.讨论直线与圆、圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量2.圆上的点与圆外点的距离的最
12、值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上的点距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上点与另一圆上点的距离最值问题，可以转化为两圆心之间的距离问题.热点 4 交汇题型直线与圆的问题，很多时候常常需要借助代数坐标化，将动态问题转变为函数问题，因此圆的相关知识，常与向量、不等式、三角函数、概率等问题交汇考查，凸显坐标法与数形结合三位一体的命题理念，有效地考查解析几何的基本思想交汇点一 与向量交汇 典例 1(2017全国卷)在矩形 ABCD 中，AB1，AD2，动点 P 在以点 C为圆心且与 BD 相切的圆上若APABAD，则 的最大值为()A.3 B2 2C.5D2解析 建
13、立如图所示的直角坐标系，则 C 点坐标为(2,1)设 BD 与圆 C 切于点 E，连接 CE，则 CEBD.CD1，BC2，BD 1222 5，ECBCCDBD 252 55，即圆 C 的半径为2 55，P 点的轨迹方程为(x2)2(y1)245.设 P(x0，y0)，则x022 55 cos，y012 55 sin(为参数)，而AP(x0，y0)，AB(0,1)，AD(2,0)APABAD(0,1)(2,0)(2，)，12x01 55 cos，y012 55 sin.两式相加，得 12 55 sin1 55 cos2sin()3其中sin 55，cos2 55，当且仅当 22k，kZ 时，取
14、得最大值 3.故选 A.答案 A平面向量与圆的交汇是解析几何的一个热点内容，在高考中一直是考查的重点解题时一方面要能够正确分析向量表达式，将它们转化为图形中的相应位置关系；另一方面还要善于运用向量的运算来解决问题.(2017江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，A(12,0)，B(0,6)，点 P 在圆 O：x2y250 上若PAPB20，则点 P 的横坐标的取值范围是_答案 5 2，1解析 解法一：因为点 P 在圆 O：x2y250 上，所以设 P 点坐标为(x，50 x2)(5 2x5 2)因为 A(12,0)，B(0,6)，所以PA(12x，50 x2)或PA(12x，50 x2)，P
15、B(x,650 x2)或PB(x,6 50 x2)因为PAPB20，先取 P(x,50 x2)进行计算，所以(12x)(x)(50 x2)(650 x2)20，即 2x550 x2.当 2x50，即 x52时，上式恒成立；当 2x50，即 x52时，(2x5)250 x2，解得5x1，即52x1.故 x1.同理可得 P(x，50 x2)时，x5.又5 2x5 2，所以5 2x1.故点 P 的横坐标的取值范围为5 2，1解法二：设 P(x，y)，则PA(12x，y)，PB(x，6y)PAPB20，(12x)(x)(y)(6y)20，即 2xy50.如图，作圆 O：x2y250，直线 2xy50
16、与O 交于 E，F 两点，P 在圆 O 上且满足 2xy50，点 P 在 EDF 上由x2y250，2xy50得 F 点的横坐标为 1.又 D 点的横坐标为5 2，P 点的横坐标的取值范围为5 2，1.交汇点二 与不等式交汇 典例 2 已知圆 C：(x3)2(y4)225，圆 C 上的点到直线 l：3x4ym0(m0)的最短距离为 1，若点 N(a，b)在直线 l 上位于第一象限的部分，则1a1b的最小值为_解析 圆 C：(x3)2(y4)225，圆心坐标(3,4)，半径为 5，因为圆 C 上的点到直线 l：3x4ym0(m0，b0.则1a1b 1551a1b(3a4b)15574ba 3ab
17、 155724ba 3ab 74 355，当且仅当 a55110 33，b5555 32时取等号答案 74 355一般来说，处理直线与圆的位置关系，常利用圆心到直线的距离与半径大小的关系构造不等式；或是运用图形(象)明显(或挖掘隐含)的几何性质与特征，转化为与之等价的代数不等式，通过解不等式(组)求出相应的范围与最值问题.若直线 l：axby10(a0，b0)把圆 C：(x4)2(y1)216 分成面积相等的两部分，则当 ab 取得最大值时，坐标原点到直线 l 的距离是()A.4 B8 17C2 D.8 1717答案 D解析 由题意知直线 axby10 过圆心(4，1)，即 4ab1.由基本不
18、等式可知 ab144ab22 116，当且仅当 4ab12时等号成立，即直线方程为18x12y10，所以原点到直线的距离为 d11821228 1717.故选 D.交汇点三 与概率交汇 典例 3(2019太原市一模)已知圆 C：x2y21，直线 l：yk(x2)，在1,1上随机选取一个数 k，则事件“直线 l 与圆 C 相离”发生的概率为()A.12B.2 22C.3 33D.2 32解析 因为当直线 l 与圆相离时，圆心(0,0)到直线 kxy2k0 的距离大于半径，所以|2k|k211，即 k 33 或 k0)，若圆 C 上存在点 P，使得APB90，则当 t 取得最大值时，点 P 的坐标
19、是()A.32，3 22B.3 22，32C.32，3 32D.3 32，32答案 D解析 由题意知，若使圆 C 上存在点 P(x，y)，使得APB90，则圆 C 与以原点为圆心，AB 为直径的圆有交点，即 t1|OC|t1 即 1t3，当 t3 时，两圆内切且 t1，所以 O，C，P 三点共线，即 kOCkOP 33，则 OP 所在直线的倾斜角为 30.所以 x3cos303 32，y3sin3032，则 P3 32，32.故选 D.9.(2019河南洛阳二模)在直角坐标平面内，过定点 P 的直线 l：axy10 与过定点 Q 的直线 m：xay30 相交于点 M，则|MP|2|MQ|2 的
20、值为()A.102B.10C5 D10答案 D解析 由题意知 P(0,1)，Q(3,0)，因为过定点 P 的直线与过定点 Q 的直线垂直，所以 M 位于以 PQ 为直径的圆上因为|PQ|19 10，所以|MP|2|MQ|2|PQ|210.故选 D.10.(2019哈尔滨第三中学三模)一条光线从点(1，1)射出，经 y 轴反射后与圆(x2)2y21 相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围是()A.34，0B.0，34C.34，0D.0，34答案 C解析 由题意知，反射光线必经过(1，1)点，设反射光线的斜率为 k，则反射光线为 kxyk10，由题意知|2kk1|1k2 1，所以 0k34，因此
21、入射光线所在直线的斜率取值范围是34，0.故选 C.11.已知圆 C：(x1)2(y2)22，若直线 ykx4 上总存在点 P，使得过点P 的圆 C 的两条切线互相垂直，则实数 k 的取值范围是()A.k43Bk43或 k1C.k43或 k0 Dk1答案 C解析 如图，设切点为 A，B，连接 AC，BC，PC，由APBPACPBC90及 PAPB 知，四边形 PACB 为正方形，故|PC|222.若直线 ykx4上总存在点 P，使得过点 P 的圆 C 的两条切线互相垂直，只需圆心(1,2)到直线 ykx4 的距离小于或等于 2，即|k24|k212，解得 k43或 k0.故选 C.12.(20
22、19南昌二模)若对圆(x1)2(y1)21 上任意一点 P(x，y)，|3x4ya|3x4y9|的取值与 x，y 无关，则实数 a 的取值范围是()A.a4 B4a6C.a4 或 a6 Da6答案 D解析 因为 P(x，y)是圆(x1)2(y1)21 上任意一点，则 x1cos，y1sin.所以|3x4y9|3cos4sin10|5sin()10|其中tan34.因为 5sin()100，所以|a1|51 解得 a6.故选 D.二、填空题13.过点 M12，1 的直线 l 与圆 C：(x1)2y24 交于 A，B 两点，C 为圆心，当ACB 最小时，直线 l 的方程为_答案 2x4y30解析
23、易知当 CMAB 时，ACB 最小因为点 C 的坐标为(1,0)，直线 CM的斜率为 kCM101212，从而直线 l 的斜率为 k 1kCM12，所以其方程为 y112x12，即 2x4y30.14.已知直线 ax2by2(a0，b0)过圆 x2y24x2y10 的圆心，则1a1b的最小值为_答案 4解析 圆心为(2，1)，代入直线方程有 2a2b2 即 ab1，则有1a1babaabb 2baab22baab4当且仅当ab12时取等号，故答案为 4.15.若O：x2y25 与O1：(xm)2y220(mR)相交于 A，B 两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB 的长是_答案
24、4解析 O1 与O 在 A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，O1AOA.又|OA|5，|O1A|2 5，|OO1|5.又 A，B 关于 OO1 所在直线对称，AB 长为 RtOAO1 斜边上的高的 2 倍，|AB|2 52 554.16.已知圆 O：x2y29，点 P 为直线 x2y90 上一动点，过点 P 向圆 O引两条切线 PA，PB，A，B 为切点，则直线 AB 过定点_答案(1,2)解析 因为 P 是直线 x2y90 上的任一点，所以设 P(92m，m)，因为 PA，PB 为圆 x2y29 的两条切线，切点分别为 A，B，所以 OAPA，OBPB，则点A，B 在以 OP 为直径的圆(记为圆 C)上，即 AB 是圆 O 和圆 C 的公共弦，易知圆 C的方程是x92m22ym2292m2m24，又 x2y29，得，(2m9)xmy90，即公共弦 AB 所在直线的方程是(2m9)xmy90，即 m(2xy)(9x9)0，由2xy0，9x90，得 x1，y2.所以直线 AB 恒过定点(1,2).