1、第四讲DISIJIANG用数学归纳法证明不等式一数学归纳法课后篇巩固探究1.用数学归纳法证明1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证n=1成立时,左边所得的代数式为()A.1B.1+3C.1+2+3D.1+2+3+4解析当n=1时,左边有2n+1=21+1=3,所以左边所得的代数式为1+2+3.答案C2.已知n是正奇数,用数学归纳法证明时,若已假设当n=k(k1,且为奇数)时命题为真,则还需证明()A.当n=k+1时命题成立B.当n=k+2时命题成立C.当n=2k+2时命题成立D.当n=2(k+2)时命题成立解析因为n是正奇数,所以只需证明等式对所有奇数都成立即可.又k的下一
2、个奇数是k+2,故选B.答案B3.用数学归纳法证明12+22+(n-1)2+n2+(n-1)2+22+12=时,由n=k(k1)的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是()A.(k+1)2+2k2B.(k+1)2+k2C.(k+1)2D.(k+1)2(k+1)2+1解析当n=k(k1)时,左边为12+22+(k-1)2+k2+(k-1)2+22+12,当n=k+1时,左边为12+22+k2+(k+1)2+k2+22+12,分析等式变化规律可知左边实际增加的是(k+1)2+k2.答案B4.导学号26394063下列代数式(其中kN+)能被9整除的是()A.6+67kB.2+7k-1C.2
3、(2+7k+1)D.3(2+7k)解析(1)当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除.(2)假设当k=n(nN+,n1)时命题成立,即3(2+7k)能被9整除.当k=n+1时,3(2+7k+1)=21(2+7k)-36也能被9整除.这就是说,当k=n+1时命题也成立.由(1)(2)可知,3(2+7k)能被9整除对任何kN+都成立.答案D5.用数学归纳法证明1-+,第一步应验证的等式是.解析当n=1时,等式的左边为1-,右边=,所以左边=右边.答案1-6.若凸n(n4)边形有f(n)条对角线,则凸(n+1)边形的对角线条数f(n+1)为.解析由题意知f(n+1)-f(n)=n-1,则f(n+
4、1)=f(n)+n-1.答案f(n)+n-17.若s(n)=1+(nN+),则s(5)-s(4)=.解析依题意,s(5)=1+,s(4)=1+,于是s(5)-s(4)=.答案8.已知f(n)=(2n+7)3n+9(nN+),用数学归纳法证明f(n)能被36整除.证明(1)当n=1时,f(1)=(2+7)3+9=36,能被36整除,命题成立.(2)假设当n=k(k1)时命题成立,即f(k)=(2k+7)3k+9能被36整除.当n=k+1时,f(k+1)=2(k+1)+73k+1+9=(2k+7)3k+1+23k+1+9=(2k+7)3k3+23k+1+9=3(2k+7)3k+9-27+23k+1
5、+9=3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1).由于3k-1-1是2的倍数,则18(3k-1-1)能被36整除,即当n=k+1时命题也成立.由(1)(2)可知,对一切正整数n,都有f(n)=(2n+7)3n+9能被36整除.9.导学号26394064用数学归纳法证明:12-22+32-42+(-1)n-1n2=(-1)n-1(nN+).证明(1)当n=1时,左边=12=1,右边=(-1)0=1,左边=右边,命题成立.(2)假设当n=k(k1)时命题成立,即12-22+32-42+(-1)k-1k2=(-1)k-1.当n=k+1时,12-22+32-42+(-1)k-1k2+(-1)k(k+
6、1)2=(-1)k-1+(-1)k(k+1)2=(-1)k(k+1)=(-1)k.因此,当n=k+1时命题也成立,根据(1)(2)可知,命题对于任何nN+等式成立.10.导学号26394065已知正项数列an的前n项和为Sn,且+2an=4Sn.(1)计算a1,a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论.解(1)当n=1时,+2a1=4S1,即+2a1=4a1,整理,得-2a1=0,解得a1=2(a1=0舍去).当n=2时,+2a2=4S2,即+2a2=4(2+a2),整理,得-2a2-8=0,解得a2=4(a2=-2舍去).当n=3时,+2a3=
7、4S3,即+2a3=4(2+4+a3),整理,得-2a3-24=0,解得a3=6(a3=-4舍去).当n=4时,+2a4=4S4,即+2a4=4(2+4+6+a4),整理,得-2a4-48=0,解得a4=8(a4=-6舍去).由以上结果猜想数列an的通项公式为an=2n.(2)下面用数学归纳法证明an的通项公式为an=2n.当n=1时,a1=2,由(1)知,猜想成立.假设当n=k(k1)时猜想成立,即ak=2k,这时有+2ak=4Sk,即Sk=k2+k.当n=k+1时,+2ak+1=4Sk+1,即+2ak+1=4(Sk+ak+1),所以-2ak+1=4k2+4k,解得ak+1=2k+2(ak+1=-2k舍去).故当n=k+1时,猜想也成立.由可知,猜想对任意nN+都成立.