1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 五十六双曲线(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选B.设双曲线方程为-=1(a0,b0),由题知c=3,e=,解得a=2,b2=c2-a2=9-4=5,故C的方程是-=1.【一题多解】本题还可以采用以下方法.选B.先验证A项,a=2,c=,离心率e=,显然不满足离心率等于;同理,验证B项,a=2,c=3,离心率e=,
2、右焦点为F(3,0),符合题意;验证C项,a=,c=,离心率e=,显然不满足离心率等于;验证D项,a=,c=,离心率e=,显然不满足离心率等于.综上,只有B项符合.2.设双曲线-=1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=2x【解析】选B.因为2b=2,所以b=1,因为2c=2,所以c=,所以a=,所以双曲线的渐近线方程为y=x=x.3.(2017南昌模拟)若双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为,则双曲线C的离心率为()A.2或B.C.2或D.2【解析】选B.由题意=,所以=,e=.【加固训练】(2017吉林模拟)若
3、双曲线-=1(a0,b0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正方形的面积等于2ab(其中O为坐标原点),则双曲线的离心率的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.由条件,得|OP|2=2ab,又P为双曲线上一点,从而|OP|a,所以2aba2,所以2ba,又因为c2=a2+b2a2+=a2,所以e=.4.已知双曲线C:-=1(a0,b0)的焦点为F1,F2,且C上点P满足=0,|=3,|=4,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.5【解析】选D.依题意得2a=|PF2|-|PF1|=1.因为=0,所以PF1PF2,所以|F1F2|=5,因此该双曲线的离心率e=5.【加固训练】(2017重
4、庆模拟)过双曲线-=1(a0,b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为点A,与另一条渐近线交于点B,若=2,则此双曲线的离心率为()A.B.C.2D.【解析】选C.因为=2,所以A是FB的中点.设F(c,0),过焦点F与渐近线y=x垂直的直线为y=-(x-c),故点A的横坐标为,直线y=-(x-c)与y=-x的交点的横坐标为.由中点坐标公式有+c=,即e4-5e2+4=0,解得e=2.5.(2017郑州模拟)双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,F1,F2分别为C的左、右焦点,A为双曲线上一点,若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=()A.B.C.
5、D.【解析】选C.因为双曲线的一条渐近线与直线x+2y+1=0垂直,所以b=2a.又|F1A|=2|F2A|,且|F1A|-|F2A|=2a,所以|F2A|=2a,|F1A|=4a,而c2=5a2,即2c=2a,所以cosAF2F1=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知双曲线-=1的一个焦点是(0,2),椭圆-=1的焦距等于4,则n=_.【解析】因为双曲线的焦点是(0,2),所以焦点在y轴上,所以双曲线的方程为-=1,即a2=-3m,b2=-m,所以c2=-3m-m=-4m=4,解得m=-1.所以椭圆方程为+x2=1,且n0,椭圆的焦距为4,所以c2=n-1=4或1-n=4,解得n=5
6、或-3(舍去).答案:57.(2015全国卷)已知双曲线过点(4,),且渐近线方程为y=x,则该双曲线的标准方程为_.【解析】根据双曲线渐近线方程为y=x,可设双曲线的方程为-y2=m,把(4,)代入-y2=m,得m=1.答案:-y2=18.已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线离心率的取值范围是_.世纪金榜导学号99972784【解析】因为P为双曲线右支上的任意一点,所以|PF1|=2a+|PF2|,所以=|PF2|+4a2+4a=8a,当且仅当|PF2|=2a,|PF1|=4a时,等号成立,可得2a+4a2c,解得
7、e3,又因为双曲线的离心率大于1,所以10,b0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于,过右焦点F2的直线l交双曲线于A,B两点,F1为左焦点.世纪金榜导学号99972785(1)求双曲线的方程.(2)若F1AB的面积等于6,求直线l的方程.【解析】(1)依题意,b=,=2a=1,c=2,所以双曲线的方程为x2-=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知F2(2,0).易验证当直线l斜率不存在时不满足题意,故可设直线l:y=k(x-2),由消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,k,x1+x2=,x1x2=,y1-y2=k(x1-x2),F1AB的面积S=c|y1-
8、y2|=2|k|x1-x2|=2|k|=12|k|=6.得k4+8k2-9=0,则k=1.所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2.10.已知离心率为的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为2.世纪金榜导学号99972786(1)求椭圆及双曲线的方程.(2)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,在第二象限内取双曲线上一点P,连接BP交椭圆于点M,连接PA并延长交椭圆于点N,若=,求四边形ANBM的面积.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(ab0),则根据题意知双曲线的方程为-=1且满足解方程组得所以椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1.(2)由(1)得A(
9、-5,0),B(5,0),|AB|=10,设M(x0,y0),则由=得M为BP的中点,所以P点坐标为(2x0-5,2y0).将M,P坐标代入椭圆和双曲线方程,得消去y0,得2-5x0-25=0.解之,得x0=-或x0=5(舍去).所以y0=.由此可得M,所以P(-10,3).当P为(-10,3)时,直线PA的方程是y=(x+5),即y=-(x+5),代入+=1,得2x2+15x+25=0.所以x=-或-5(舍去),所以xN=-,xN=xM,MNx轴.所以S四边形ANBM=2SAMB=210=15.【误区警示】注意区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系.【加固训练】已知双曲线-=1
10、(a0,b0)的一条渐近线方程为2x+y=0,且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程.(2)设P为双曲线上一点,A,B两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、二象限,若=,求AOB的面积.【解析】(1)依题意得解得故双曲线的方程为-x2=1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y=2x,设A(m,2m),B(-n,2n),其中m0,n0,由=得点P的坐标为.将点P的坐标代入-x2=1,整理得mn=1.设AOB=2,因为tan=2,则tan=,从而sin2=.又|OA|=m,|OB|=n,所以SAOB=|OA|OB|sin2=2mn=2.(20分钟40分)1.(5分)(2017上饶模拟)
11、已知00,b0),若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A,B两点,且C1与该渐近线的两交点C,D将线段AB三等分,则C2的离心率为()A.B.5C.D.【解析】选A.双曲线C2:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=x,以C1的长轴为直径的圆的方程为x2+y2=11,联立渐近线方程和圆的方程,可得交点A,B(-,-),联立渐近线方程和椭圆C1:+y2=1,可得交点C,D,由于C1与该渐近线的两交点C,D将线段AB三等分,则|AB|=3|CD|,即有=,化简,可得b=2a,则c=a,则离心率为e=.【一题多解】本题还可以采用以下方法.选A.设A(at,bt),则(a2+b2)t2=
12、11,即t2=,又|DC|=|AB|,所以|OC|=|OA|,所以C,所以=1,化简得b2=4a2,所以=2,e=.【加固训练】(2017太原模拟)已知F1,F2分别是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A,B,若|AB|=|AF2|,F1AF2=90,则双曲线的离心率为()A.B.+C.D.【解析】选B.因为|AB|=|AF2|,F1AF2=90,所以|BF2|=|AF2|.又由双曲线的定义知|BF1|-|BF2|=2a,所以|AF1|+|AB|-|AF2|=2a,即|AF1|+(1-)|AF2|=2a.又|AF2|-|AF1|=2a,所以|AF
13、2|=2(2+)a,|AF1|=2(1+)a.在RtAF1F2中,|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,即2(2+)a2+2(1+)a2=(2c)2,所以=9+6,所以e=+.3.(5分)设F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小内角为30,则C的离心率为_.世纪金榜导学号99972787【解题指南】先利用双曲线的定义解得|PF1|与|PF2|,再利用余弦定理解方程求得答案.【解析】设点P在双曲线右支上,F1为左焦点,F2为右焦点,则|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=
14、4a,|PF2|=2a.因为在双曲线中ca,所以在PF1F2中,|PF2|所对的角最小且为30.在PF1F2中,由余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|F1F2|cos30,即4a2=16a2+4c2-8ac,即3a2+c2-2ac=0.所以(a-c)2=0,所以c=a,即=.所以e=.答案:4.(12分)(2017兰州模拟)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线的方程为y=x,右焦点F到直线x=的距离为.世纪金榜导学号99972788(1)求双曲线C的方程.(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B,D两点,已知A(1,0),若=1,证
15、明:过A,B,D三点的圆与x轴相切.【解析】(1)依题意有=,c-=,因为a2+b2=c2,所以c=2a,所以a=1,c=2,所以b2=3.所以双曲线C的方程为x2-=1.(2)设直线l的方程为y=x+m(m0),B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD的中点为M,由得2x2-2mx-m2-3=0,所以x1+x2=m,x1x2=-,又因为=1,即(2-x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1.所以m=0(舍)或m=2.所以x1+x2=2,x1x2=-,M点的横坐标为=1,因为=(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0.所以A
16、DAB,所以过A,B,D三点的圆以点M为圆心,BD为直径,因为点M的横坐标为1,所以MAx轴,所以过A,B,D三点的圆与x轴相切.5.(13分)如图,O为坐标原点,双曲线C1:-=1(a10,b10)和椭圆C2:+=1(a2b20)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.世纪金榜导学号99972789(1)求C1,C2的方程.(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|+|=|?证明你的结论.【解析】(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2,从而a1=1,c2=1.因为点P在双曲线x2-=1上,所以-=1
17、.故=3.由椭圆的定义知2a2=+=2.于是a2=,=-=2,故C1,C2的方程分别为x2-=1,+=1.(2)不存在符合题设条件的直线.若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.当x=时,易知A(,),B(,-),所以|+|=2,|=2.此时,|+|.当x=-时,同理可知,|+|.若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=,x1x2=.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3,因此=x1x2+y1y2=+=0,于是+2+-2,即|+|2|-|2,故|+|.综合,可知,不存在符合题设条件的直线.关闭Word文档返回原板块
