1、第2课时参数方程1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程(2)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f(x，y)0叫作曲线的普通方程2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆x2y2r2(为参数)椭圆1(ab0
2、)(为参数)双曲线1(a0，b0)(为参数)1直线l的参数方程为(t为参数)，求直线l的斜率解将直线l的参数方程化为普通方程为y23(x1)，因此直线l的斜率为3.2已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，求k的值解直线l1的方程为yx，斜率为；直线l2的方程为y2x1，斜率为2.l1与l2垂直，()(2)1k1.3已知点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，求|PF|的值解将抛物线的参数方程化为普通方程为y24x，则焦点F(1,0)，准线方程为x1，又P(3，m)在抛物线上，由抛物线的定义知|PF|3(1)4.4(2016北京东城区模拟)已知曲线C的极坐标方程是1
3、，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)，求直线l与曲线C相交所截的弦长解曲线C的直角坐标方程为x2y21，直线l的普通方程为3x4y30.圆心到直线的距离d.直线l与曲线C相交所截的弦长为2.题型一参数方程与普通方程的互化例1(1)如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0的参数方程(2)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为(s为参数)，曲线C的参数方程为(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，求|AB|的长解(1)圆的半径为，记圆心为C(，0)，连接CP，则PCx2，故xPcos 2cos2，yPsin 2sin
4、 cos (为参数)所以圆的参数方程为(为参数)(2)直线l的普通方程为xy2，曲线C的普通方程为y(x2)2(y0)，联立两方程得x23x20，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB|.思维升华消去参数的方法一般有三种：(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围(1)求直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数(2)在平面直角
5、坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，求常数a的值解(1)将消去参数t得直线xy10；将消去参数得圆x2y29.又圆心(0,0)到直线xy10的距离d0，所以方程有两个实数解故曲线C1与曲线C2的交点个数为2.6(2016全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A、B两点，|AB|，求l的斜率解(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程212cos 110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R
6、)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110.于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以l的斜率为或.7(2015陕西)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为2sin .(1)写出C的直角坐标方程；(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标解(1)由2sin ，得22sin ，从而有x2y22y，所以x2(y)23.(2)设P，又C(0，)，则|PC| ，故当t0时，PC取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3
7、,0)8(2016全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos .(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan 02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.解(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2，C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆将xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin 1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，由方程组得16cos28sin cos 1a20
8、，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，从而1a20，解得a1(舍去)，a1.a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上所以a1.9(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段|AB|的长解直线l的方程化为普通方程为xy0，椭圆C的方程化为普通方程为x21，联立方程组得解得或A(1,0)，B.故|AB| .10(2016全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标解(1)C1的普通方程为y21.C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin )因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d()的最小值，d().当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.