1、第5节古典概型最新考纲1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.知 识 梳 理1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.(2)每一个试验结果出现的可能性相同.3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A).4.古典概型的概率公式P(A)
2、.微点提醒概率的一般加法公式P(A+B)P(A)P(B)P(AB)中，易忽视只有当AB，即A，B互斥时，P(A+B)P(A)P(B)，此时P(AB)0.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.()(3)从3，2，1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.()解析对于(
3、1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，所有可能结果不是有限个，不是古典概型，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修3P135例2改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为()A. B. C. D.非以上答案解析从袋中任取一球，有15种取法，其中抽到白球的取法有6种，则所求概率为p.答案A3.(必修3P157A7改编)某人有4把钥匙，其中2把能打开门.现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才
4、能打开门的概率是_.如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是_.解析第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开的概率为；如果试过的钥匙不扔掉，这个概率为.答案4(2018全国卷)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为()A0.6 B0.5C0.4 D0.3解析将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有
5、(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)0.3.答案D5(2016全国卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A. B.C. D.解析(M，1)，(M，2)，(M，3)，(M，4)，(M，5)，(I，1)，(I，2)，(I，3)，(I，4)，(I，5)，(N，1)，(N，2)，(N，3)，(N，4)，(N，5)，事件总数有15种正确的开机密码只有1种，p.答案C6.(2019延安模拟改编)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出
6、一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大，则口袋中原有小球的个数为_.解析设原来口袋中白球、黑球的个数分别为n个，依题意，解得n5.所以原来口袋中小球共有2n10个.答案10考点一基本事件及古典概型的判断【例1】 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.又因为所
7、有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.规律方法古典概型中基本事件个数的探求方法：(1)枚举法：适合于给定的基本事件个数较少且易一一列举出的问题.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定基本事件时(
8、x，y)可看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同，有时也可看成是无序的，如(1，2)与(2，1)相同.【训练1】 甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽1张.(1)写出甲、乙抽到牌的所有情况.(2)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜，否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？解(1)设(i，j)表示(甲抽到的牌的数字，乙抽到的牌的数字)，则甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4表示)为(2，3)，(2，4)，(2，4)，(3，2)，(3，4)，(3，4)，(4，2)，(4，
9、3)，(4，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共12种.(2)由(1)可知甲抽到的牌的牌面数字比乙大有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4，2)，(4，3)，共5种情况，甲胜的概率p，此游戏不公平.考点二简单的古典概型的概率【例2】 (1)已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计未来三天恰有一天下雨的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表未来三天是否下雨的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，6
10、83，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989.据此估计，该地未来三天恰有一天下雨的概率为()A0.2 B0.25C0.4 D0.35(2)(2017全国卷)从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A. B.C. D.解析(1)指定1，2，3，4表示下雨，未来三天恰有一天下雨就是三个数字中只有一个数字在集合1，2，3，4中，20组随机数中，有8组符合题意，为925，458，683，257，027，488，730，537，所求概率p0.4.(2)从5张卡片中随机抽取1
11、张，放回后再随机抽取1张的情况如图：基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，故所求概率p.答案(1)C(2)D规律方法1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率p.2用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏【训练2】 (1)(2016全国卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A. B.C. D.(2)(2019泉州质检)用3种不同颜色给甲、乙两个小
12、球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，则两个小球颜色不同的概率为()A. B.C. D.解析(1)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄白紫、红白黄紫、红紫白黄、黄白红紫、黄紫红白、白紫红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄白紫、红白黄紫、黄紫红白、白紫红黄，共4种故所求概率为p.(2)设3种不同的颜色分别用A，B，C表示，所包含的基本事件为(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9个，其中两个小球颜色不同的事件有6个，则两个小球颜色不同的概率p.答案(1
13、)C(2)C考点三古典概型的交汇问题多维探究角度1古典概型与平面向量的交汇【例31】 设平面向量a(m，1)，b(2，n)，其中m，n1，2，3，4，记“a(ab)”为事件A，则事件A发生的概率为()A. B.C. D.解析有序数对(m，n)的所有可能情况为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共16个，由a(ab)得m22m1n0，即n(m1)2.由于m，n1，2，3，4，故事件A包含的基本事件为(2，1)和(3，4)，共2个，所以P(A).
14、答案A角度2古典概型与解析几何的交汇【例32】 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线axby0与圆(x2)2y22有公共点的概率为_解析依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(6，6)，共36种，其中满足直线axby0与圆(x2)2y22有公共点，即满足，即a2b2的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(6，6)，共65432121种，因此所求的概率为.答案角度3古典概型与函数的交汇【例33】 已知函数f(x)x3ax2b2x1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中
15、任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为()A. B.C. D.解析f(x)x22axb2由题意知f(x)0有两个不等实根，即4(a2b2)0，ab，有序数对(a，b)所有结果为9种，其中满足ab有(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)共6种，故所求概率p.答案D角度4古典概型与统计的交汇【例34】 (2019合肥质检)一企业从某条生产线上随机抽取100件产品，测量这些产品的某项技术指标值x，得到如下的频率分布表：x11，13)13，15)15，17)17，19)19，21)21，23频数2123438104(1)作出样本的频率分布直方图，并估计该技术指标值x
16、的平均数和众数；(2)若x13或x21，则该产品不合格现从不合格的产品中随机抽取2件，求抽取的2件产品中技术指标值小于13的产品恰有1件的概率解(1)频率分布直方图为估计平均数为120.02140.12160.34180.38200.10220.0417.08.由频率分布直方图，x17，19)时，矩形面积最大，因此估计众数为18.(2)记技术指标值xx，yz时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合1，2，3，4中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为()A. B.C. D.解析从集合1，2，3，4中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123，124，
17、132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432，其中是“凸数”的是132，142，143，231，241，243，341，342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率为，故选B.答案B12标有数字1，2，3，4，5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率为()A. B.C. D.解析5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n20，抽得的第1张卡
18、片上的数大于第2张卡片上的数的情况有：第1张抽到2，第2张抽到1；第1张抽到3，第2张抽到1或2；第1张抽到4，第2张抽到1或2或3；第1张抽到5，第2张抽到1或2或3或4.共10种故抽取的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数的概率p，故选A.答案A13.某同学同时掷两颗质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，则双曲线1的离心率e的概率是_解析由题意得e，即b2a.同时抛掷两颗骰子，得到的点数a，b满足b2a的情况有：当a1时，b3，4，5，6，共4种情况；当a2时，b5，6，共2种情况，所以满足题意的情况共有6种，又同时掷两颗骰子有36种情况，所求概率为.答案14如图所示的茎叶图记录了甲、乙
19、两组各四名同学的植树棵数，其中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示(1)如果X8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率解(1)当X8时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵数分别是8，8，9，10，故x，s2.(2)当X9时，记甲组四名同学分别为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学分别为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，其包含的基本事件为A1，B1，A1，B2，A1，B3，A1，B4，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A2，B4，A3，B1，A3，B2，A3，B3，A3，B4，A4，B1，A4，B2，A4，B3，A4，B4，共16个设“选出的两名同学的植树总棵数为19”为事件C，则事件C中包含的基本事件为A1，B4，A2，B4，A3，B2，A4，B2，共4个故P(C).