1、解答题(四)17(2019全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216.(1)求an的通项公式；(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和解(1)设an的公比为q，由题设得2q24q16，即q22q80.解得q2(舍去)或q4.因此an的通项公式为an24n122n1.(2)由(1)得bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前n项和为13(2n1)n2.18(2019北京人大附中信息卷二)某绿色有机水果店中一款有机草莓，味道鲜甜店家每天以每斤10元的价格从农场购进适量草莓，然后以每斤20元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的草莓由果汁厂以每斤2元的价格回收(1)若水
2、果店一天购进17斤草莓，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：斤，nN)的函数解析式；(2)水果店记录了100天草莓的日需求量(单位：斤)，整理得下表：日需求量n14151617181920频数1422141615136假设水果店在这100天内每天购进17斤草莓，求这100天的日利润(单位：元)的平均数；若水果店一天购进17斤草莓，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于150元的概率解(1)当日需求量n17时，利润y1710170；当日需求量n16时，利润y10n8(17n)18n136.所以当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为y(2)假设水
3、果店在这100天内每天购进17斤草莓，则日需求量为14斤时，利润为116；日需求量为15斤时，利润为134；日需求量为16斤时，利润为152；日需求量不小于17时，利润为170.故这100天的日利润(单位：元)的平均数为(1411622134141521617015170131706170)，解得152(元)利润不低于150元时，当日需求量当且仅当不少于16斤以频率预估概率，得当天的利润不少于150元的概率为p0.140.160.150.130.060.64.19(2019江西省名校5月联考)已知空间几何体ABCDE中，BCD与CDE均为边长为2的等边三角形，ABC为腰长为的等腰三角形，平面C
4、DE平面BCD，平面ABC平面BCD.(1)试在平面BCD内作一条直线，使直线上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行，并证明；(2)求点B到平面AEC的距离解(1)如图所示，分别取BC和BD的中点H，G，作直线HG，则HG为所求直线证明如下：因为点H，G分别为BC和BD的中点，所以HGCD，分别取CD，BC的中点O，H，连接EO，AH，则EOCD，AHBC，因为平面CDE平面BCD，且EOCD，EO平面BCD，又平面ABC平面BCD，AHBC，则AH平面BCD，所以EOAH，又AH平面CDE，EO平面CDE，所以AH平面CDE.因为GHCD，GH平面CDE，CD平面CDE，所以GH平面C
5、DE，因为AH，GH平面AGH，AHGHH，则平面AHG平面CDE，所以直线HG上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行(2)由(1)可得EOAH，即EO平面ABC，所以点E到平面ABC的距离和点O到平面ABC的距离相等，连接DH，则DHBC，又平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，则DH平面ABC.记点E到平面ABC的距离为d，则dDH，又ABC的面积S22，ACE的面积S1，因为VEABCVBACE，设点B到平面AEC的距离为h，所以2h，解得h.即点B到平面AEC的距离为.20已知抛物线C：y22px的焦点为F，抛物线C上的点M(2，y0)到F的距离为3.(1)求抛物线C的
6、方程；(2)斜率存在的直线l与抛物线相交于相异两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x24，若AB的垂直平分线交x轴于点G，且5，求直线l的方程解(1)由抛物线定义知|MF|2，所以23，p2，所以，抛物线C的方程为y24x.(2)解法一：设AB中点坐标(2，m)，直线l的斜率存在，所以m0，kAB，所以直线AB的方程为ym(x2)即2xmym240.由得y22my2m280，其中0得到m28，AB的垂直平分线方程为ym(x2)，令y0，得x4，所以G(4,0)，(x14，y1)，(x24，y2)，因为5，所以(x14)(x24)y1y25，x1x24(x1x2)16y1y25，4416
7、y1y25.把代入得(m24)28(m24)200，(m26)(m26)0，m260)或3k22(舍去)所以，直线l的方程为2xy20或2xy20.21(2019安徽皖南八校联考三)已知函数f(x)aln x(a21)xax2，其中aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)x0对x1恒成立，求a的取值范围解(1)由题意，得f(x)a21ax(x0)，当a0时，f(x)0，f(x)的单调递减区间为(0，)，没有单调递增区间当0a1时，当ax时，f(x)0；当0xa或x时，f(x)0.f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为.当a1时，f(x)0对x0成立，f(x)的单调递增区间
8、为(0，)，没有单调递减区间当a1时，当xa时，f(x)0；当0x或xa时，f(x)0.f(x)的单调递增区间为，(a，)，单调递减区间为.(2)f(x)x0，即aln xa2xax20，当a0时，ln xaxx20，ax，令g(x)x，x1，则g(x)，令h(x)22ln xx2，则h(x)2x，当x1时，h(x)0，h(x)是增函数，h(x)h(1)30，g(x)0.当x1时，g(x)是增函数，g(x)的最小值为g(1)，0a.当a0时，显然f(x)x0不成立，当a0时，由g(x)的最小值为，且g(x)没有最大值，得ag(x)不成立，综上，a的取值范围是.22在直角坐标系xOy中，圆锥曲线
9、C1的参数方程为(为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系中取相同的长度单位，曲线C2的极坐标方程为(cosk)2(sin2)2k225(为参数，kR)(1)写出C1，C2的直角坐标方程；(2)是否存在曲线C2包围曲线C1？请说明理由解(1)C1：1，C2：x2y22kx4y210.(2)若k0，由620212k0211512k0可知点(6,0)在曲线C2外；若k0可知点在曲线C2外综上，无论k取何值，曲线C2都不能包围曲线C1.23已知函数f(x)|2x1|，g(x)|x1|.(1)在图中画出f(x)和g(x)的图象，并写出不等式f(x)g(x)的解集；(2)若|f(x)2g(x)|a(aR)恒成立，求a的取值范围解(1)f(x)，g(x)的图象如图，不等式f(x)g(x)的解集为.(2)|f(x)2g(x)|2x1|2|x1|所以|f(x)2g(x)|1，所以a1.