1、专题一 函数与导数 专题七 客观题与创新题的解法 创新型数学试题大致可分为两大类：一是新概念问题，二是新情境问题新概念问题是指试题中自定义一个概念、一种运算、一个规定等，再提出一个与此相关的问题，要求结合所学数学知识进行解答；新情境问题是指给出一个陌生的数学背景，要求在深刻、准确理解题意的基础上，运用所学数学知识解决相关问题，这类试题的设问方式多种多样，具有开放性和探索性创新型问题中包含着知识的再生与整合，创新问题的分析、研究和解决，也是一种探究性学习过程，通过对新概念、新情境提供的信息进行感知、识别、加工，把创新问题化为常规数学问题来解决，是解题的基本策略 5“”5|0,1,2,3,4.20
2、1113301234“”0()A 1 B 2 C 3 kkknk nkabab ZZZ在整数集 中，被 除所得余数为 的所有整数组成一个 类，记为，即，给出如下四个结论：；整数，属于同一 类 的充要条件是“”其中，正确结论一、新概念、新定义下的创新型的个数是例题1 问 D 4 2011540212011135123250,1,2,3,401234 Z因为，则，结论正确；因为，则，结论不正确；因为所有的整数被 除的解析：余数为五类，则，结论正确；121212112212121212“”55()50055(C)50.“”abkankbnk nnabnnabankbnk nnabnnkkkkabZZ
3、若整数，属于同一 类，可设，则；反之，若，可设，则；所以，则整数，属于同一 类，结论正确解，故选析：121212120000,10,1011001021(0,1)0,1012213,xf xxf xfxxxxf xxf xf xf xf xfg xxf xxf xff xx对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：对任意的，总有；若，都有成立，则称函数为理想函数若函数为理想函数，求的值；判断函数是否为理想函数，并予以证明；若函数为理想函数，假定存在，使得，且例000.f xx，求证：12121212121212121221000000.00210,1011.0012121212221212
4、10.00.21xxxfffffg xg xgxxxxg xxg xg xxxxxxxxxxxfg x 取，可得，所以又由条件，故显然在上满足条件；也满足条件若，故则，即满足条是理解析：件想函数 0000000000000,10,13.mnmnmnnmf nf nmmf nmf mf mxf xf xff xxxf xf xffxxfxx证明：由条件知，任给、，当时，由知，所以若，则，前后矛盾；若，则，所以前后矛盾 1 23中应用新定义条件讨论，判断所求问题；中利用新定义下的理想函数条件进一步分析函数性质，创新性解【点评】决问题 320003(0)0()?”“”_“”“2”1f xaxbxcx
5、d afxyf xyfxfxxxf xyf xf xxg二、新情境、新背景下的创新对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点，为函数的 拐点 函数的 拐点 为；有同学发现 任何一个三型问次函数都有 拐点；任意一个三次函数都有对称中心；且 拐点 就是对称中心请你根据这一发现题例，写出函数3 3231_xxxx 的对称中心为 3203203236.600“”0,04(1122322.22011313)3f xxfxxxfxxxf xxg xgxxxgxxgxxxg xxxx 由定义可知，将函数连续两次求导可得令，即，所以函数的 拐点因为拐点就是对称中心，对函数求导可得，所以令
6、，即，所以函解数为，的对称中心为析：考查阅读理解能力，解决新概念、新符号等创新问题【点评】的能力 221201ypx pFlABOOA OBFlABPPA PB已知抛物线，过焦点 的动直线 交抛物线于、两点，为坐标原点，求证：为定值；由可知，过抛物线的焦点 的动直线 交抛物线于、两点，存在定点，使得为定值，请写出关于椭圆的类似结论，并例4给出证明 11222222121222121212222222.(0).22()()2022244124ABppFlxmyA xyB xypxmyypmypypxyypmy ypmppx xm y yyyppm pm p 思路：由直线与抛物线、椭圆的位置关系，
7、求、两点对应坐标的积，通过计算确定结论过焦点，的直线 的方程为设，由，得，解则，析:，212122222222222112234123.4010,0()()(OA OBpOA OBx xy ypxyabFablABPPA PBxylababF ccabA xyB xy 所以，所以关于椭圆有类似的结论：过椭圆的一个焦点 的动直线交椭圆于、两点，存在定点，使为定值证明：不妨设直线 过椭圆的右焦点其中与椭圆相交于，定值，为2)222222222222222222222212122222221212221212()1202.,01lxyk xcyk xcxyaba kbxa ck xa c ka ba
8、 cka c ka bxxx xa kba kbPxmPA PBxmxmy ykx xmckxx若直线 不与 轴垂直，则设其方程为由，所以，由对称性可知，设点 在 轴上，其坐标为，所以22222222222222222222221mc ka c ka ba ckkmckmc ka kba kb24224222222222422422222242242222222262244224(2)().22(2)22(2)44(4)4aa bba ma cm kma ba kbPA PBaa bba ma cmamaaa bbab cma caabcaPA PBmaab caa要使为定值，只要，即，此时4
9、224(3).4babalx 若 垂直于 轴，222222242224222242244224,0(2)(3(0()()(2)(0)2(2)2(4)(3).4)42bbxcA cB caaab cPaabF clABab cbaPPA PBacbPA PBcaab cababaa综上，过焦点的任意直线 交椭圆于、两点，存在定点，则其方程为，取，有使24)4ba为定值 1通过过抛物线焦点的直线与抛物线位置关系证明的结论，类比推理椭圆中的性质，并由定值条件确定定点的坐标，探究并证【点评】明结论 121212120001.24()123Mf xxf xxfxxsinxf xMf xMf xxxxxf
10、 xf xxxMf xf xDmnDxmnf nf mnm fx设是由满足下列条件的函数构成的集合：关于 的方程有实根；试判断函数是否属于，并说明理由；若，求证：对于定义域内任意的、，有成立；已知集合中的元素具有如下性质：若的定义域为，对于任意，都存在，使得等式备选题 0“0”f xMf xx成立，试利用这一性质推断命题 若，则方程只有一个实根 的真假 002400.111 3cos0,1244 401.1Mxsinxf xff xxxfxxfxf xM思路：以集合的元素的性质为依据，结合导数的运算与性质进行推理和证明对于函数，有，所以方程有实根又，所以，故解析：121121211222112
11、221.011002.xxfxf xf xf xf xf xxfxfxyf xxf xxf xxf xf xxxxxx 证明：不妨设因为，所以为增函数，从而又，即，则为减函故数，所以，即，00000()()()()()()0013)(1f xMf xxxfffxfffxfxxxfxf 当，假设方程存在所以方程两实根、，则存在，使成立因为，只有一个实，则数根，即，这与，故命矛盾，题为真M依据集合的元素性质进行演绎推理，是解题的基本策略对含绝对值的不等式，通常去掉绝对值符号，对唯一性问题的证明，一般采用【点评】反证法1创新意识是理性的高层次表现，对数学问题的“观察、猜想、抽象、概括、证明”是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、整合的程度越高，显示出的创新意识就越强，因此提高处理创新题的能力，关键是提高自己观察、猜想、抽象、概括、证明的能力，提高自己对知识的迁移能力2解“新概念、新定义创新题”，关键是阅读理解所定义的新概念、新运算，从中获得解题所需信息、知识，并设法将其转化到已学知识上去，用已学知识解决新问题3对于新背景问题、探究性问题的解决，关键是理解题目给出的新概念，提取相关信息，研究其中的一般规律，由此解决较为复杂的相关问题