1、2017-2018学年高二升级考试理数试题一、选择题（共12小题，每题5分，共计60分）1.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹.古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（ ）A B C D2.已知复数（是虚数单位），则（ ）A B C D3.已知随机变量服从正态分布
2、，若，则等于（ ）A0.3 B0.35 C0.5 D0.7 4.把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ）A B C D5.展开式中的系数为（ ）A10 B30 C45 D2106.已知点，则它的极坐标是（ ）A B C D7.某校高中三个年级人数饼图如图所示，按年级用分层抽样的方法抽取一个样本，已知样本中高一年级学生有8人，则样本容量为（ ）A24 B30 C32 D358.“”是“函数存在零点”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条
3、件9.圆锥底面半径为，高为2，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是（ ）A B C3 D410.已知、分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于、两点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A B C D11.由曲线，直线，及轴所围成的曲边四边形的面积为（ ）A B C D12.定义：如果函数在上存在满足，则称函数是 上的“双中值函数”.已知函数是上的“双中值函数”，则实数的取值范围是（ ）A B C D二、填空题（共4小题，每题5分，共计20分）13.已知双曲线和椭圆焦点相同，则该双曲线的方程为 14.刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参
4、加自主招生考试，考试结束后刘老师和四名学生了解考试情况.四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好.”乙说：“我们四人中有人考得好.”丙说：“乙和丁至少有一人没考好.”丁说：“我没考好.”结果四名学生中有两人说对了，则这四名学生中说对了的是 两人15.直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角大小为 16.已知定义在上的函数在导函数为，若，且当时，则满足不等式的实数的取值范围是 三、解答题：（共计6小题）17.已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于，两点.（）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；（） 已知点：，求当直线倾斜角变化时，的范围.18.某公司
5、的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目，的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过，每个项目测试的概率都是.（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的概率分布和数学期望.19.在如图所示的多面体中，平面，是的中点.（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值.20.中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛.据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长.下面是40个城市
6、北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设为产值不超过500万元的城市个数，求的分布列及期望和方差.21.如图，已知，分别为椭圆：的上、下焦点，是抛物线：的焦点，点是与在第二象限的交点，且.（1）求椭圆的方程；（2）与圆相切的直线：（其中）交椭圆于点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围.22.已知函数.（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求，的值；（2）当时，在区间上至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围.高二理数答案一、选择题1-5: CBBBB 6-10: CC
7、ACA 11、12：CC二、填空题13. 14. 乙、丙 15. 16. 三、解答题17、【解答】解：（）曲线C的参数方程：（为参数），曲线C的普通方程为当=时，直线AB的方程为，y=x1，代入，可得3x24x=0，x=0或x=|AB|=；（）直线参数方程代入，得（cos2+2sin2）t2+2tcos1=0设A，B对应的参数为t1，t2，|PA|PB|=t1t2=，118、解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为； （2）因为每人可被录用的概率为，所以，；故随机变量X的概率分布表为：X0123P所以，X的数学期望为 19、解：（1）证EF平面ABE，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，
8、EFBE，又AEEB，FE，BE，AE两两垂直以点E为坐标原点，FE，BE，AE分别为X，Y，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0），BDEG（2）由已知得是平面DEF的法向量设平面DEG的法向量为，即，令x=1，得设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为，则cos=平面EDG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为20、解：（1）根据频率分布直方图可知，产值小于500万元的城市个数为：（0.03+0.04）540=14（2）Y的所有可能取值为0，1，2，Y的分布列为：Y012P期望为：
9、，方差为：21、解：（1）根据题意，抛物线C2：x2=4y的焦点为（0，1），则椭圆的焦点F1（0，1），所以a2b2=1，又由抛物线定义可知，得，于是易知，从而，由椭圆定义知，2a=|MF1|+|MF2|=4，得a=2，故b2=3，从而椭圆C1的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则由知，x1+x2=x0，y1+y2=y0，且，又直线l：y=k（x+t）（其中kt0）与圆x2+（y+1）2=1相切，所以有，由k0，可得（t1，t0），又联立消去y得（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t212=0，且0恒成立，且，所以，所以得，代入式，得，所以，又将式代入得，
10、t0，t1，易知，且，所以22、解：（1）f（x）=+n，故f（0）=nm，即nm=3，又f（0）=m，故切点坐标是（0，m），切点在直线y=3x+2上，故m=2，n=1；（2）f（x）=+x，f（x）=，当m0时，f（x）0，故函数f（x）在（，1）递增，令x0=a0，此时f（x）0，符合题意，当m0时，即0me时，则函数f（x）在（，lnm）递减，在（lnm，+）递增，当lnm1即0me时，则函数f（x）在（，lnm）递减，在（lnm，1递增，f（x）min=f（lnm）=lnm+10，解得：0m，当lnm1即me时，函数f（x）在区间（，1）递减，则函数f（x）在区间（，1）上的最小值是
11、f（1）=+10，解得：me，无解，综上，m，即m的范围是（，） 高二理数答案一、选择题：1、C2、B【解答】解：=，故选：B3. B【解答】解：由题意可得，故选：B4、B【解答】解：如图，要使硬币完全落在托盘上，则硬币圆心在托盘内以6为边长的正方形内，硬币在托盘上且没有掉下去，则硬币圆心在托盘内，由测度比为面积比可得，硬币完全落在托盘上的概率为P=故选：B5、B 【解答】解：（1+xx2）10=1+（xx2）10 的展开式的通项公式为Tr+1=（xx2）r对于（xx2）r，通项公式为Tm+1=xrm（x2）m，令r+m=3，根据0mr，r、m为自然数，求得，或（1+xx2）10展开式中x3项
12、的系数为=90+120=30故选：B6、C【解答】解：设P的极坐标为（，），则=2，02，=故选：C7、C【解答】解：由分层抽样的方法可设样本中有高中三个年级学生人数为x人，则，解得：x=32故选：C8、 A【解答】解：m0，函数f（x）=m+log2x（x1），又x1，log2x0，y=log2x在x1上为增函数，求f（x）存在零点，要求f（x）0，必须要求m0，f（x）在x1上存在零点；若m=0，代入函数f（x）=m+log2x（x1），可得f（x）=log2x，令f（x）=log2x=0，可得x=1，f（x）的零点存在，“m0”是“函数f（x）=m+log2x（x1）存在零点”充分不必要
13、条件，故选：A9、C【解答】解：圆锥底面半径，高为2，SA是一条母线，P点是底面圆周上一点，P在底面的射影为O；SA=3，OASO，经过SA的轴截面如图：ASQ90，过Q作QTSA于T，则QTQS，在底面圆周，选择P，使得PSA=90，则P到SA的距离的最大值为3故选：C10 、A【解答】解：F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于A、B两点，且F1AB为等边三角形，则A（，），代入双曲线方程可得：，即：e2，可得e2=4，即e48e2+4=0可得e2=4+2，e=故选：A11、C【解答】解：由xy=1得，由得xD=1，所以曲边四边形的面积为：，故选：C
14、12、C【解答】解：由题意可知，f（x）=x3x2+a，f（x）=3x22x在区间0，a存在x1，x2（ax1x2b），满足f（x1）=f（x2）=a2a，f（x）=x3x2+a，f（x）=3x22x，方程3x22x=a2a在区间（0，a）有两个不相等的解令g（x）=3x22xa2+a，（0xa）则，解得；实数a的取值范围是（，1）故选：C二、填空题：13、【解答】解：根据题意，椭圆焦点的在x轴上，且其焦点坐标为（2，0），若双曲线和椭圆焦点相同，则有m+1=8，解可得m=7；则双曲线的方程为：y2=1；故答案为：y2=114、【解答】解：甲与乙的关系是对立事件，二人说的话矛盾，必有一对一错，
15、如果丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时，乙正确故答案为：乙、丙15、【解答】解：根据题意，直线l的参数方程为（t为参数），则到直线的方程为，所以直线的斜率为，倾斜角为，16、【解答】解：由f（x）=f（2x），得函数关于x=1对称，当x1时，f（x）0，此时函数为减函数，不妨设f（x）=（x1）2，则不等式f（m+1）f（2m）等价为（m+11）2（2m1）2，即m24m2+4m1，即3m24m+10，得m1，故实数m的取值范围是，1，故答案为：，1，三、解答题：17、【解答】解：（）曲线C的参数方程：（为参数），曲线C的普通方程为当=时，直线AB的方程为，y=x1，代入，可得
16、3x24x=0，x=0或x=|AB|=；（）直线参数方程代入，得（cos2+2sin2）t2+2tcos1=0设A，B对应的参数为t1，t2，|PA|PB|=t1t2=，118、【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为； （4分）（2）因为每人可被录用的概率为，所以，；故随机变量X的概率分布表为：X0123P（8分）所以，X的数学期望为 19、【解答】解：（1）证EF平面ABE，AE平面AEB，BE平面AEB，EFAE，EFBE，又AEEB，FE，BE，AE两两垂直以点E为坐标原点，FE，BE，AE分别为X，Y，Z轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0
17、），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0），BDEG（2）由已知得是平面DEF的法向量设平面DEG的法向量为，即，令x=1，得设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为，则cos=平面EDG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为20、【解答】解：（1）根据频率分布直方图可知，产值小于500万元的城市个数为：（0.03+0.04）540=14（2）Y的所有可能取值为0，1，2，Y的分布列为：Y012P期望为：，方差为：21、【解答】解：（1）根据题意，抛物线C2：x2=4y的焦点为（0，1），则椭圆的焦点F1（0，1），所以a2b2=1，又由抛物线定义可知，得，于是
18、易知，从而，由椭圆定义知，2a=|MF1|+|MF2|=4，得a=2，故b2=3，从而椭圆C1的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则由知，x1+x2=x0，y1+y2=y0，且，又直线l：y=k（x+t）（其中kt0）与圆x2+（y+1）2=1相切，所以有，由k0，可得（t1，t0），又联立消去y得（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t212=0，且0恒成立，且，所以，所以得，代入式，得，所以，又将式代入得，t0，t1，易知，且，所以22、【解答】解：（1）f（x）=+n，故f（0）=nm，即nm=3，又f（0）=m，故切点坐标是（0，m），切点在直线y=3x+2上，故m=2，n=1；（2）f（x）=+x，f（x）=，当m0时，f（x）0，故函数f（x）在（，1）递增，令x0=a0，此时f（x）0，符合题意，当m0时，即0me时，则函数f（x）在（，lnm）递减，在（lnm，+）递增，当lnm1即0me时，则函数f（x）在（，lnm）递减，在（lnm，1递增，f（x）min=f（lnm）=lnm+10，解得：0m，当lnm1即me时，函数f（x）在区间（，1）递减，则函数f（x）在区间（，1）上的最小值是f（1）=+10，解得：me，无解，综上，m，即m的范围是（，）
