1、1(2015课标全国)已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E 的离心率为()A.5B2C.3D.2答案 D解析 如图，设双曲线 E 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则|AB|2a，由双曲线的对称性，可设点 M(x1，y1)在第一象限内，过 M 作 MNx 轴于点 N(x1,0)，ABM 为等腰三角形，且ABM120，|BM|AB|2a，MBN60，y1|MN|BM|sinMBN2asin 60 3a，x1|OB|BN|a2acos 602a.将点 M(x1，y1)的坐标代入x2a2y2b21，可得 a2b2，eca
2、a2b2a2 2，选 D.2.如图，已知椭圆 C 的中心为原点 O，F(2 5，0)为 C 的左焦点，P 为 C 上一点，满足|OP|OF|，且|PF|4，则椭圆 C 的方程为()A.x225y251B.x236y2161C.x230y2101D.x245y2251答案 B解析 设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，焦距为 2c，右焦点为 F，连接 PF，如图所示，因为 F(2 5，0)为 C 的左焦点，所以 c2 5.由|OP|OF|OF|知，FPF90，即 FPPF.在 RtPFF中，由勾股定理，得|PF|FF|2|PF|24 52428.由椭圆定义，得|PF|PF|2a4812
3、，所以 a6，a236，于是 b2a2c236(2 5)216，所以椭圆的方程为x236y2161.3设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为()A.3 34B.9 38C.6332D.94答案 D解析 由已知得焦点坐标为 F(34，0)，因此直线 AB 的方程为 y 33(x34)，即 4x4 3y30.方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得4y212 3y90，故|yAyB|yAyB24yAyB6.因此 SOAB12|OF|yAyB|1234694.方法二 联立方程得 x2212 x 9160，故 x
4、AxB212.根据抛物线的定义有|AB|xAxBp212 3212，同时原点到直线 AB 的距离为 h|3|424 3238，因此 SOAB12|AB|h94.4(2016北京)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_.答案 2解析 设 B 为双曲线的右焦点，如图所示四边形 OABC 为正方形且边长为 2，c|OB|2 2，又AOB4，batan41，即 ab.又 a2b2c28，a2.5已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)和椭圆x216y291 有相同的焦点，且双
5、曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_答案 x24y231解析 由题意得，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦点坐标为(7，0)，(7，0)，c 7且双曲线的离心率为 2 74 72 caa2，b2c2a23，双曲线的方程为x24y231.题型一 求圆锥曲线的标准方程例 1 已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A、B 两点若AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为()A.x245y2361B.x236y2271C.x227y2181D.x218y291答案 D解析 设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，所以x
6、21a2y21b21，x22a2y22b21运用点差法，所以直线 AB 的斜率为 kb2a2，设直线方程为 yb2a2(x3)，联立直线与椭圆的方程得(a2b2)x26b2x9b2a40，所以 x1x2 6b2a2b22，又因为 a2b29，解得 b29，a218.思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、几何性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程(2015天津)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23 相切，则双曲线的方程为()A.x29y2131B.x213y291C.x23y21Dx2y23
7、1答案 D解析 双曲线x2a2y2b21 的一个焦点为 F(2,0)，则 a2b24，双曲线的渐近线方程为 ybax，由题意得2ba2b2 3，联立解得 b 3，a1，所求双曲线的方程为 x2y231，选 D.题型二 圆锥曲线的几何性质例 2(1)(2015湖南)若双曲线x2a2y2b21 的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A.73B.54C.43D.53(2)(2016天津)设抛物线x2pt2，y2pt(t 为参数，p0)的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作l 的垂线，垂足为 B.设 C72p，0，AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|2|AF|，且ACE
8、的面积为 3 2，则 p 的值为_答案(1)D(2)6解析(1)由条件知 ybax 过点(3，4)，3ba 4，即 3b4a，9b216a2，9c29a216a2，25a29c2，e53.故选 D.(2)由x2pt2，y2pt(p0)消去 t 可得抛物线方程为 y22px(p0)，Fp2，0，|AB|AF|32p，可得 A(p，2p)易知AEBFEC，|AE|FE|AB|FC|12，故 SACE13SACF133p 2p12 22 p23 2，p26，p0，p 6.思维升华 圆锥曲线的几何性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线，是常考题型，解决这类问题的关键是熟练掌握各性质的定义，
9、及相关参数间的联系掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力 已知椭圆x2a2y2b21(ab0)与抛物线 y22px(p0)有相同的焦点 F，P，Q 是椭圆与抛物线的交点，若 PQ 经过焦点 F，则椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为_答案 21解析 因为抛物线 y22px(p0)的焦点 F 为p2，0，设椭圆另一焦点为 E.当 xp2时，代入抛物线方程得yp，又因为 PQ 经过焦点 F，所以 Pp2，p 且 PFOF.所以|PE|p2p22p2 2p，|PF|p，|EF|p.故 2a2pp,2cp，e2c2a 21.题型三 最值、范围问题例 3 若直线 l：y 3x3 2 33
10、 过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行(1)求双曲线的方程；(2)若过点 B(0，b)且与 x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点 M，N，MN 的垂直平分线为 m，求直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围解(1)由题意，可得 c2，ba 33，所以 a23b2，且 a2b2c24，解得 a 3，b1.故双曲线的方程为x23y21.(2)由(1)知 B(0,1)，依题意可设过点 B 的直线方程为ykx1(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由ykx1，x23y21，得(13k2)x26kx60，所以 x1x26k13k2，36k224(13k
11、2)12(23k2)00k223，且 13k20k213.设 MN 的中点为 Q(x0，y0)，则 x0 x1x223k13k2，y0kx01113k2，故直线 m 的方程为 y113k21kx3k13k2，即 y1kx413k2.所以直线 m 在 y 轴上的截距为413k2，由 0k223，且 k213，得 13k2(1,0)(0,1)，所以413k2(，4)(4，)故直线 m 在 y 轴上的截距的取值范围为(，4)(4，)思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和均值不等式法、换元法、导数法等方法求最值
12、；二是几何法，从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值与范围 直线 l：xy0 与椭圆x22y21 相交于 A，B 两点，点 C 是椭圆上的动点，则ABC 面积的最大值为_答案 2解析 由xy0，x22y220，得 3x22，x 63，设点 A 在第一象限，A(63，63)，B(63，63)，|AB|4 33.设与 l 平行的直线 l：yxm 与椭圆相切于 P 点则ABP 面积最大由yxm，x22y21，得 3x24mx2m220，(4m)243(2m22)0，m 3.P 到 AB 的距离即为 l 与 l的距离，d 32.SABC124 33 32 2.题型四 定值、定点问题
13、例 4(2016全国乙卷)设圆 x2y22x150 的圆心为 A，直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合，l 交圆 A 于 C，D 两点，过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E.(1)证明|EA|EB|为定值，并写出点 E 的轨迹方程；(2)设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M，N 两点，过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P，Q 两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围解(1)因为|AD|AC|，EBAC，故EBDACDADC，所以|EB|ED|，故|EA|EB|EA|ED|AD|.又圆 A 的标准方程为(x1)2y216，从而|AD|4，所以|EA
14、|EB|4.由题设得 A(1,0)，B(1,0)，|AB|2，由椭圆定义可得点 E 的轨迹方程为x24y231(y0)(2)当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由ykx1，x24y231，得(4k23)x28k2x4k2120.则 x1x2 8k24k23，x1x24k2124k23，所以|MN|1k2|x1x2|12k214k23.过点 B(1,0)且与 l 垂直的直线 m：y1k(x1)，点 A 到 m 的距离为2k21，所以|PQ|2422k21244k23k21.故四边形 MPNQ 的面积S12|MN|PQ|12114k
15、23.可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ 面积的取值范围为(12,8 3)当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x1，|MN|3，|PQ|8，四边形 MPNQ 的面积为 12.综上，四边形 MPNQ 面积的取值范围为12,8 3)思维升华 求定点及定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值(2016北京)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，OAB 的面积为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 P 是椭圆 C 上一点，直
16、线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证：|AN|BM|为定值(1)解 由已知ca 32，12ab1.又 a2b2c2，解得 a2，b1，c 3.椭圆方程为x24y21.(2)证明 由(1)知，A(2,0)，B(0,1)设椭圆上一点 P(x0，y0)，则x204y201.当 x00 时，直线 PA 方程为 y y0 x02(x2)，令 x0，得 yM2y0 x02.从而|BM|1yM|1 2y0 x02.直线 PB 方程为 yy01x0 x1.令 y0，得 xN x0y01.|AN|2xN|2 x0y01.|AN|BM|2 x0y01 1 2y0 x02x02y0
17、2y01x02y02x02x204y204x0y04x08y04x0y0 x02y024x0y04x08y08x0y0 x02y024.当 x00 时，y01，|BM|2，|AN|2，|AN|BM|4.故|AN|BM|为定值题型五 探索性问题例 5(2015广东)已知过原点的动直线 l 与圆 C1：x2y26x50 相交于不同的两点 A，B.(1)求圆 C1 的圆心坐标；(2)求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；(3)是否存在实数 k，使得直线 L：yk(x4)与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由解(1)圆 C1：x2y26x50 化为(x3)2
18、y24，圆 C1 的圆心坐标为(3,0)(2)设 M(x，y)，A，B 为过原点的直线 l 与圆 C1 的交点，且 M 为 AB 的中点，由圆的性质知 MC1MO，MC1 MO 0.又MC1(3x，y)，MO(x，y)，由向量的数量积公式得 x23xy20.易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ymx，当直线 l 与圆 C1 相切时，d|3m0|m212，解得 m2 55.把相切时直线 l 的方程代入圆 C1 的方程，化简得 9x230 x250，解得 x53.当直线 l 经过圆 C1 的圆心时，M 的坐标为(3,0)又直线 l 与圆 C1 交于 A，B 两点，M 为 AB 的中点，
19、53x3.点 M 的轨迹 C 的方程为 x23xy20，其中53x3.(3)由题意知直线 L 表示过定点(4,0)，斜率为 k 的直线，把直线 L 的方程代入轨迹 C 的方程 x23xy20，其中53x3，化简得(k21)x2(38k2)x16k20，其中53x3，记 f(x)(k21)x2(38k2)x16k2，其中530 时，若 x3 是方程的解，则 f(3)0k0另一根为 x053，故在区间53，3 上有且仅有一个根，满足题意；若 x53是方程的解，则 f 53 0k2 57 另外一根为 x6423，5364233，故在区间53，3 上有且仅有一根，满足题意；若 x3 和 x53均不是方
20、程的解，则方程在区间53，3 上有且仅有一个根，只需 f 53 f(3)02 57 kb0)以抛物线 y28x 的焦点为顶点，且离心率为12.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若直线 l：ykxm 与椭圆 E 相交于 A，B 两点，与直线 x4 相交于 Q 点，P 是椭圆 E上一点且满足OP OA OB(其中 O 为坐标原点)，试问在 x 轴上是否存在一点 T，使得OP TQ为定值？若存在，求出点 T 的坐标及OP TQ的值；若不存在，请说明理由解(1)抛物线 y28x 的焦点为椭圆 E 的顶点，即 a2.又ca12，故 c1，b 3.椭圆 E 的方程为x24y231.(2)设 A(x1，y1)
21、，B(x2，y2)，OP OA OB，P(x1x2，y1y2)，联立ykxm，3x24y212，得(4k23)x28kmx4m2120.由根与系数的关系，得 x1x2 8km4k23，y1y2k(x1x2)2m 6m4k23.将 P 8km4k23，6m4k23 代入椭圆 E 的方程，得 64k2m244k23236m234k2321，整理，得 4m24k23.设 T(t,0)，Q(4，m4k)，TQ(4t，m4k)，OP 8km4k23，6m4k23.即OP TQ32km8kmt4k236mm4k4k236m28km8kmt4k23.4k234m2，OP TQ6m28km8kmt4m2322
22、k1tm.要使OP TQ为定值，只需2k1tm24k21t2m24m231t2m2为定值，则 1t0，t1，在 x 轴上存在一点 T(1,0)，使得OP TQ为定值32.1(2015陕西)如图，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)，经过点 A(0，1)，且离心率为 22.(1)求椭圆 E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q(均异于点 A)，证明：直线AP 与 AQ 的斜率之和为 2.(1)解 由题设知ca 22，b1，结合 a2b2c2，解得 a 2，所以椭圆的方程为x22y21.(2)证明 由题设知，直线 PQ 的方程为 yk(x1)1(
23、k2)，代入x22y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0，由已知 0，设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则 x1x24kk112k2，x1x22kk212k2，从而直线 AP，AQ 的斜率之和kAPkAQy11x1 y21x2 kx12kx1kx22kx22k(2k)1x11x2 2k(2k)x1x2x1x22k(2k)4kk12kk22k2(k1)2.2已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 3 2，其中一条渐近线的方程为 x 2y0.以双曲线 C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为 E，过原点 O 的动直线与椭圆 E 交于 A，B两点(1
24、)求椭圆 E 的方程；(2)若点 P 为椭圆 E 的左顶点，PG 2GO，求|GA|2|GB|2 的取值范围解(1)由双曲线x2a2y2b21 的焦距为 3 2，得 c3 22，a2b292.由题意知ba 22，由解得 a23，b232，椭圆 E 的方程为x2323y21.(2)由(1)知 P(3，0)设 G(x0，y0)，由PG 2GO，得(x0 3，y0)2(x0，y0)即x0 32x0，y02y0，解得x0 33，y00，G(33，0)设 A(x1，y1)，则 B(x1，y1)，|GA|2|GB|2(x1 33)2y21(x1 33)2y212x212y21232x213x2123x21
25、113.又x1 3，3，x210,3，113 x21113 203，|GA|2|GB|2 的取值范围是113，203 3(2016北京顺义尖子生素质展示)已知椭圆x24y231 的左顶点为 A，右焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 B，C 两点(1)求该椭圆的离心率；(2)设直线 AB 和 AC 分别与直线 x4 交于点 M，N，问：x 轴上是否存在定点 P 使得 MPNP？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由解(1)由椭圆方程可得 a2，b 3，从而椭圆的半焦距 c a2b21.所以椭圆的离心率为 eca12.(2)依题意，直线 BC 的斜率不为 0，设其方程为 xty1.将其代
26、入x24y231，整理得(43t2)y26ty90.设 B(x1，y1)，C(x2，y2)，所以 y1y2 6t43t2，y1y2 943t2.易知直线 AB 的方程是 y y1x12(x2)，从而可得 M(4，6y1x12)，同理可得 N(4，6y2x22)假设 x 轴上存在定点 P(p,0)使得 MPNP，则有PM PN0.所以(p4)236y1y2x12x220.将 x1ty11，x2ty21 代入上式，整理得(p4)236y1y2t2y1y23ty1y290，所以(p4)2369t293t6t943t20，即(p4)290，解得 p1 或 p7.所以 x 轴上存在定点 P(1,0)或
27、P(7,0)，使得 MPNP.4如图，已知 M(x1，y1)是椭圆x2a2y2b21(ab0)上任意一点，F 为椭圆的右焦点(1)若椭圆的离心率为 e，试用 e，a，x1 表示|MF|，并求|MF|的最值；(2)已知直线 m 与圆 x2y2b2 相切，并与椭圆交于 A，B 两点，且直线 m 与圆的切点 Q 在 y轴右侧，若 a2，求ABF 的周长解(1)设 F(c,0)，则|MF|x1c2y21，又x21a2y21b21，则 y211x21a2 b2，所以|MF|1b2a2 x212cx1a2c2a2x212cx1a2 ex1a2，又ax1a 且 0e0)，连接 OQ，OA，在 RtOQA 中，|AQ|2x20y20b2，又 y201x20a2 b2，所以|AQ|2c2x20a2，则|AQ|cx0a，同理|BQ|cx2a，所以|AB|AF|BF|2acax0cax2 cax0cax22a，又 a2，所以所求周长为 4.
