1、第二章 圆锥曲线与方程 2.2 椭圆2.2.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养 1根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形(重点)2依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质、图形(重点、难点)1通过椭圆性质的学习与应用，培养学生的数学运算的核心素养2借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养自 主 预 习 探 新 知 1椭圆的简单几何性质 焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上 图形 标准方程x2a2y2b21(ab0)1(ab0)y2a2x2b2范围_ 对称性对称轴为，对称中心为_ 顶点_轴长短轴长|B1B2|，长
2、轴长|A1A2|_ 焦点_ 焦距|F1F2|_ axa且bybbxb且aya坐标轴原点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)2b2aF1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)2c2离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的(2)性质：离心率e的范围是当e越接近于1时，椭圆；当e越接近于时，椭圆就越接近于圆ca离心率(0,1)越扁0思考：(1)离心率e能否用ba表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？提示(1)e2c2a2a2b2a21ba2，所以 e1ba2(2)不是离心率相同的椭
3、圆焦距与长轴长的比值相同1椭圆 6x2y26 的长轴的端点坐标是()A(1,0)，(1,0)B(6,0)，(6,0)C(6，0)，(6，0)D(0，6)，(0，6)D 椭圆方程可化为 x2y261，则长轴的端点坐标为(0，6)2椭圆 25x29y2225 的长轴长、短轴长、离心率依次是()A5,3,08 B10,6,08C5,3,06D10,6,06B 椭圆方程可化为x29y2251，则 a5，b3，c 2594，eca45，故选 B3已知椭圆x210m y2m21，长轴在 y 轴上若焦距为 4，则m 等于()A8B7C5D4A 由题意得 m210m 且 10m0，于是 6m10，再由(m2)
4、(10m)22，得 m84经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程是_x29 y24 1 由已知a3，b2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆标准方程是x29y241合 作 探 究 释 疑 难 根据椭圆的方程研究其几何性质【例1】求椭圆m2x24m2y21(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解 由已知得 x21m2y214m21(m0)，因为0m2 14m2，所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a1m，短半轴长b 12m，半焦距c 32m，所以椭圆的长轴长2a2m，短轴长2b1m，焦点坐标为 32m，0，32m，0，顶点坐标为1m，0，1m，0，0，12m，0，12m，离心率
5、eca32m1m 32 用标准方程研究几何性质的步骤 1将椭圆方程化为标准形式.2确定焦点位置.焦点位置不确定的要分类讨论 3求出a，b，c.4写出椭圆的几何性质.提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍.跟进训练1已知椭圆C1：x2100y2641，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质解(1)由椭圆C1：x2100 y264 1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率e35(2)椭圆C2：y2100 x264
6、1 性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；离心率：e35利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e 63；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆 x212y26 1有相同离心率的椭圆的标准方程思路探究：(1)焦点位置不确定，分两种情况求解(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系再用待定系数法求解 法二：设与椭圆 x
7、212y26 1有相同离心率的椭圆方程为 x212y26 k1(k10)或y212x26k2(k20)解(1)若焦点在x轴上，则a3，eca 63，c 6，b2a2c2963 椭圆的方程为x29y231 若焦点在y轴上，则b3，eca1b2a21 9a2 63，解得a227 椭圆的方程为y227x291 所求椭圆的方程为x29y231或y227x291(2)设椭圆方程为x2a2y2b21(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232，故所求椭圆的方程为x232y2161(3)法一：由题意知e21b2a21
8、2，所以b2a212，即a22b2，设所求椭圆的方程为 x22b2y2b21或 y22b2x2b21 将点M(1,2)代入椭圆方程得 12b2 4b21或 42b2 1b21，解得b292或b23 故所求椭圆方程为x29y2921或y26x231 法二：设所求椭圆方程为 x212y26 k1(k10)或 y212x26 k2(k20)，将点M的坐标代入可得 11246k1或 41216k2，解得k134，k212，故x212y2634或y212x2612，即所求椭圆的标准方程为x29y2921或y26x231 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 1利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用
9、待定系数法，其步骤是：确定焦点位置；设出相应椭圆的标准方程对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程；根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程组求参数，列方程组时常用的关系式有b2a2c2，eca等.2在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.提醒：与椭圆x2a2y2b21ab0有相同离心率的椭圆方程为x2a2y2b2k1k10，焦点在x轴上或y2a2x2b2k2k20，焦点在y轴上.跟进训练2(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为()Ax29y2161
10、Bx225y2161Cx216y2251Dx216y291B 由题意，得2a2b18，c3，a2b2c2，解得a5，b4.因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为x225y2161(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cosOFA 23，则椭圆的标准方程是_x29y251或x25y291 因为椭圆的长轴长是6，cosOFA23，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)所以|OF|c，|AF|a3，所以c323，所以c2，b232225，所以椭圆的方程是x29y251或x25y291求椭圆的离心率 探究问题1已知F是椭圆的左焦点，A，B分
11、别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆上的一点，且PFx轴，OPAB，怎样求椭圆的离心率？提示 如图，设椭圆的方程为 x2a2 y2b2 1(ab0)，P(c，m)OPAB，PFOBOA，camb，又P(c，m)在椭圆上，c2a2m2b21 将代入，得2c2a2 1，即e212，e 22 2已知椭圆 x2a2 y2b2 1(ab0)的左焦点为F1(c,0)，A(a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为 b7，求椭圆的离心率e提示 由A(a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kABba，故AB所在的直线方程为ybbax，即bxayab0 又F1(c,0)，由点到
12、直线的距离公式可得d|bcab|a2b2 b7，7(ac)a2b2 又b2a2c2，整理，得8c214ac5a20，即8ca214ca50 8e214e50，e12或e54(舍去)综上可知，椭圆的离心率e12【例3】(1)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是_(2)椭圆 x2a2 y2b2 1(ab0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是()A0，23B0，23C23，1D23，1思路探究：(1)ABF2为正三角形AF2F130 把|AF1|，|AF2|用
13、c表示(2)在焦点三角形中有|PF1|PF2|F1F2|，利用定义求出各量后可得关于a，b，c的不等关系，即可求离心率的取值范围(1)33 (2)C(1)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABF1F2，且ABF2为正三角形，所以在RtAF1F2中，AF2F130，令|AF1|x，则|AF2|2x，所以|F1F2|AF2|2|AF1|2 3x2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|AF2|2a3x，所以e2c2a 3x3x 33 (2)由椭圆定义可得|PF1|PF2|2a，结合|PF1|5|PF2|得|PF2|a3 在焦点PF1F2中有|PF1|PF2|F1F2|，即4|PF2|F1F2|2c，43a2
14、c，ca23，e23，1，故选C求椭圆离心率及范围的两种方法 1直接法：若已知a，c可直接利用e ca 求解.若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式eca求解.2方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围.跟进训练3(1)椭圆 x2a2 y2b2 1(ab0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是()A 31B2 3 C 21D2 2A 如图，设F(c,0)
15、，由OAF是等边三角形，得Ac2，3c2，因为点A在椭圆上，所以有 c24a23c24b21，在椭圆中有a2b2c2，联立，得c2(423)a2，即c(31)a，则其离心率eca 31(2)椭圆x2a2y2b21(ab0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_31 法一：如图，DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，F1NF2N，|NF2|c，|NF1|F1F2|2|NF2|2 4c2c2 3c，由椭圆的定义可知|NF1|NF2|2a，3cc2a，eca231 31 法二：注意到焦点三角形NF1F2中，NF1F230，NF2F160
16、，F1NF290，则由离心率的三角形式，可得esinF1NF2sinNF1F2sinNF2F1sin 90sin 30sin 60112 32 31课 堂 小 结 提 素 养 1已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率e、焦距3椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用，也可用于求最值、求轨迹等问题时的检验等4椭圆的对称性(椭圆既是轴对称
17、图形，也是中心对称图形)是椭圆的几何性质中较简单而又实用的性质，在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解1已知椭圆 x2a2 y2b2 1(ab0)与椭圆 x225 y216 1有相同的长轴，椭圆x2a2y2b21(ab0)的短轴长与 y221x29 1的短轴长相等，则()Aa215，b216Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225Da225，b29D 由题意得，椭圆x2a2y2b21的焦点在x轴上，且a225，b292若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A45 B35 C25 D15B 由题意得：2bac，4b2(ac)2，又a2b2c2，4(a2c2)a22acc2，即3a22ac5c20，32ca5ca20，即5ca22ca30，eca353若焦点在y轴上的椭圆 x2m y22 1的离心率为 12，则m的值为_32 由题意知0m2，且e21b2a21m214 所以m324已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，其离心率为12，长轴长为8求椭圆的标准方程解 由题意知2a8，a4 又离心率eca12，c2，b2a2c216412，椭圆的标准方程为x216y2121点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!