1、2.3函数的奇偶性与周期性必备知识预案自诊知识梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)是偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有,那么函数f(x)是奇函数关于对称2.函数的周期性(1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足条件:T0;对定义域内的任意x都成立.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个,那么这个就叫做f(x)的最小正周期.(3)周期不唯一:若T是函数y=f(x)(xR)的一个周期,则nT(nZ,且n0)也是函数f(x)的周期,即f(x+nT)=f(x).1.函
2、数奇偶性的五个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性.(4)在公共定义域内有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.(5)只有f(x)=0(定义域是关于原点对称的非空数集)既是奇函数又是偶函数.2.周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x(a,b为非零常数):(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a;(2)若f(x+a)=1f(x),则T=2a;(3)若
3、f(x+a)=f(x-b),则T=a+b.3.对称性的四个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称;(4)若y=f(x)对任意的xR,都有f(a-x)=f(b+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a+b2对称;都有f(a-x)=b-f(x),即f(a-x)+f(x)=b
4、,则函数y=f(x)的图象关于点a2,b2中心对称.(5)已知函数f(x)图象的对称轴为x=m,若f(x)在区间(m,+)上单调递增,则当|x1-m|x2-m|时,f(x1)f(x2);若f(x)在区间(m,+)上单调递减,则当|x1-m|x2-m|时,f(x1)0时,f(x)=aln x+a.若f(-e)=4,则f(0)+f(1)=()A.-1B.0C.-2D.13.(2019全国2,文6)设f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=ex-1,则当x0),x2+2x-1(x0时,f(x)=xln x,则x4,则f(5+log26)的值为.解题心得利用函数的周期性,可将其他区间上的求值、求零点个
5、数、求解析式等问题,转化为已知区间上的相应问题,再进行求解.对点训练3(1)(2020陕西西安中学八模,理8)已知函数f(x)定义域为R且满足f(-x)=-f(x),f(x)=f(2-x),若f(1)=4,则f(6)+f(7)=()A.-8B.-4C.0D.4(2)(2020陕西二模,文6)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0x0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=.考点函数性质的综合应用【例5】(1)(2020江西名校大联考,理9)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(log24.1),b=g(-20.2
6、),c=g(),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.cbaC.bacD.bca(2)(2020安徽合肥一中模拟,理5)已知函数f(x)的图象为-1,1上连续不断的曲线,且2 019f(-x)=12019f(x),f(x)在0,1上单调递减.若flog12m0的解集为()A.(-,1)B.-,13C.13,+D.(1,+)思考解有关函数的单调性、奇偶性、周期性综合问题的策略有哪些?解题心得函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合.注意奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周
7、期性进行转换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间,再利用奇偶性和单调性求解.对点训练5(1)(2020河南开封三模,文12,理11)若函数f(x)对a,bR,同时满足当a+b=0时有f(a)+f(b)=0;当a+b0时有f(a)+f(b)0,则称f(x)为函数.下列函数:f(x)=x-sin x,f(x)=ex-e-x,f(x)=ex+e-x,f(x)=0,x=0,-1x,x0,是函数的为()A.B.C.D.(2)(2020河北张家口二模,文6,理6)已知函数f(x)是偶函数,f(x+1)为奇函
8、数,并且当x1,2时,f(x)=1-|x-2|,则下列选项正确的是()A.f(x)在(-3,-2)上为减函数,且f(x)0B.f(x)在(-3,-2)上为减函数,且f(x)0D.f(x)在(-3,-2)上为增函数,且f(x)0时,f(x)=-2lnx-2,所以f(1)=-2.又因为f(0)=0,所以f(0)+f(1)=-2.故选C.3.Df(x)是奇函数,f(-x)=-f(x).当x0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1.故选D.4.A由题意可知,f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称.f(x)=x3-1x3,f(-x)=(-x)3-1(-x)3=-x3
9、-1x3=-f(x),f(x)为奇函数.易知f(x)=x3-1x3在区间(0,+)内单调递增.故选A.5.-4本题考查奇函数的定义和性质.y=f(x)是奇函数,f(-8)=-f(8)=-823=-4.关键能力学案突破例1解(1)x2+1|x|0,函数f(x)的定义域为R,关于原点对称.又f(-x)=(-x)lg(-x+(-x)2+1)=-xlg(x2+1-x)=xlg(x2+1+x)=f(x),即f(-x)=f(x),f(x)是偶函数.(2)由题意知函数的定义域为x|x0,关于原点对称.当x0时,-x0,此时f(x)=-x2+2x+1,f(-x)=x2-2x-1=-f(x);当x0,此时f(x
10、)=x2+2x-1,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x).故对于x(-,0)(0,+),均有f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.(3)4-x20,|x+3|3,-2x2,且x0.函数的定义域关于原点对称.f(x)=4-x2x+3-3=4-x2x.又f(-x)=4-(-x)2-x=-4-x2x,f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.对点训练1(1)C(2)B(1)f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故函数f(x)g(x)是奇函数,故A错误;|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x
11、),故函数|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故函数f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故函数|f(x)g(x)|为偶函数,故D错误.故选C.(2)由题意,f(-x)=2-x-1-12-x+1=12x+1-2x-1=-f(x),所以f(x)为R上的奇函数.因为2x-1和-12x+1都为R上的增函数,所以f(x)=2x-1-12x+1为R上的增函数.对于A,y=ex不是奇函数,排除A;对于B,由f(-x)=ln(-x+(-x)2+1)=ln1x+x2+1=-ln(x+x2+1)=-f(x),
12、所以f(x)为奇函数,由复合函数的单调性知y=ln(x+x2+1)为增函数,故B正确;对于C,y=x2不是奇函数,排除C;对于D,y=tanx在R上不是单调函数,排除D.故选B.例2(1)B(2)18(3)B(1)因为f(x)=x2+g(x),且函数f(x)为偶函数,所以有(-x)2+g(-x)=x2+g(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,由选项可知,只有选项B中的函数为偶函数,故选B.(2)因为函数y=f(x+1)-2为奇函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,2)对称,g(x)=2x-1x-1=1x-1+2关于点(1,2)对称,所以两个函数图象的交点也关于点(1,2)对称
13、,则(x1+x2+x6)+(y1+y2+y6)=23+43=18.故答案为18.(3)f(x)是定义在2b,1-b上的偶函数,2b+1-b=0,b=-1.f(x)在-2,0上单调递增,f(x)在0,2上单调递减.由f(x-1)f(2x)可得|x-1|2x|,即(x-1)24x2,且-2x-12,-22x2,求得-1x13,故选B.对点训练2(1)B(2)B(3)12(1)设x0,所以f(-x)=-xln(-x).又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)=xln(-x).故选B.(2)由题意得f(0)=0,a-22=0,a=1.经检验,当a=1时,函数f(x)
14、是奇函数.所以f(1)=1-22+1=13.故选B.(3)f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),即a(-x)-log2(2-x+1)+cos(-x)=ax-log2(2x+1)+cosx,变形可得2ax=log2(2x+1)-log2(2-x+1)=x,解得a=12.例3(1)C(2)12(1)f(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).f(x)的周期为4.f(x)为奇函数,f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0).f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=
15、0.f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.(2)由题意当x4时,函数f(x)=f(x-1),所以f(x)在(4,+)上的周期为1.因为2log263,所以5+log26(7,8),1+log26(3,4),所以f(5+log26)=f(1+log26)=21+log26=26=12.对点训练3(1)B(2)A(1)由f(-x)=-f(x),得f(x)为奇函数,所以f(0)=0.由f(x)=f(2-x)=-f(x-2),则f(x-2)=-f(x-4)=-f(x),所以f(x)的周期为4.f(6)+f(7)=f(2)+f(-1)=f(0)-f(1)=0-4
16、=-4.故选B.(2)因为f(x)的周期为2,所以f-52=f-12,f(2019)=f(1).因为f(x)为奇函数,所以f-12=-f12=-2,f(-1)=-f(1).又因为f(-1)=f(1),所以f(-1)=f(1)=0.故f-52+f(2019)=-2.故选A.例4B由f(-x)=2-f(x)得f(-x)+f(x)=2,即函数f(x)的图象关于点(0,1)中心对称.又y=x+1x=1+1x的图象也关于点(0,1)中心对称,x1+x2+xm=0,y1+y2+ym=m,i=1m(xi+yi)=m.对点训练4-8f(x)是奇函数,f(x-4)=-f(x)可化为f(x)=-f(x-4)=f(
17、4-x),即f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(0)=0.由f(x-4)=-f(x)可知函数周期为8.不妨设x1x2x30时,f(x)0.对任意的x1,x2(0,+)且x1x2,有0f(x1)f(x2),故g(x1)g(x2),所以g(x)在(0,+)上单调递增.因为g(-x)=-xf(-x)=xf(x),所以g(x)为偶函数.又因为log24.1(2,3),20.2(1,2),所以120.2log24.1,而b=g(-20.2)=g(20.2),所以balog14(m+2),-1log12m1,-1log14(m+2)1,m0,m+20,解得12m0,则f(x)在0,+)上单调递增.f(
18、x)为奇函数,则f(x)在区间(-,0上也单调递增,故f(x)为R上的增函数.由f(2x-1)+f(x-2)0,可得f(2x-1)-f(x-2),即f(2x-1)f(2-x),又因为f(x)在R上为增函数,所以2x-12-x,解得x1,故选D.对点训练5(1)A(2)C(1)当a+b=0时有f(a)+f(b)=0,即f(-a)=-f(a),则f(x)为R上的奇函数;当a+b0时有f(a)+f(b)0,即当a-b时有f(a)-f(b)=f(-b),可得f(x)为R上的增函数.则函数f(x)为R上的奇函数,且为增函数.由f(x)=x-sinx,定义域为R,f(-x)=-x-sin(-x)=-x+s
19、inx=-f(x),即有f(x)为奇函数;又f(x)=1-cosx0,可得f(x)为R上的增函数,故是函数.f(x)=ex-e-x,定义域为R,f(-x)=e-x-ex=-f(x),即有f(x)为奇函数,又f(x)=ex+e-x0,可得f(x)为R上的增函数,故是函数.f(x)=ex+e-x,定义域为R,f(-x)=e-x+ex=f(x),可得f(x)为偶函数,故不是函数.f(x)=0,x=0,-1x,x0,定义域为R,当x0时,f(-x)=1x=-f(x),可得f(x)为奇函数,又f(x)在(-,0),(0,+)上单调递增,但在R上不为增函数,比如f(-1)f(1),故不是函数.故选A.(2)根据题意,函数f(x+1)为奇函数,则有f(x+1)=-f(-x+1),即f(x+2)=-f(-x).又由f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),则有f(x+2)=-f(x),即有f(x+4)=f(x).当x1,2时,f(x)=1-|x-2|=x-1,若x(-3,-2),则x+4(1,2),则f(x+4)=(x+4)-1=x+3,则当x(-3,-2)时,有f(x)=x+3,则f(x)为增函数且f(x)f(-3)=0.故f(x)在(-3,-2)上为增函数,且f(x)0.故选C.