1、专题一 函数与导数 专题六 解析几何 1椭圆、双曲线和抛物线的几何性质有：范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近线等，对不同的曲线以及焦点在不同坐标轴上的同类曲线，其几何性质既有共同点也有不同点，应用时应加以区分2设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则椭圆上的点到椭圆中心的最大距离为a，最小距离为b，椭圆上一点到一个焦点的距离的最大值为a+c，最小距离为a-c.椭圆与抛物线的焦点弦中通径是最短的焦点弦，双曲线的通径是端点在同一支的焦点弦中最短的一条3圆锥曲线中有关元素与参数的取值范围问题，一般通过圆锥曲线特有的几何性质，建立目标函数或不等关系求解，或者运用“数形结合”、“几何法”求
2、解4圆锥曲线中的证明与探究，常将证明或探究的结论化归与转换为求值问题、最值问题、范围问题、轨迹问题等 122 2(02 2)(0,2 2).3(201)12112FFelMNMNl已知椭圆的两个焦点分别为，离心率求椭圆的方程；一条不与坐标轴平行的直线 与椭圆交于不同的两点、，且线段中点的横坐一、确标为，求直线定参数的范围的倾斜角的烟取台模拟例1值范围 2222222222102 22 233102()191.920yxxyabbacccabecaabykxm kykxmyx根据题意可设椭圆方程为，其中 为半焦距，所以，所以椭圆方程为由题意知，直线的倾斜角不可能为 和，所以设直线方程为，联立椭圆
3、析:方程，得解，222222222112212222292904499090.2()()2()()3 22.9121219.29223.333ykxkmxmk mkmkmkmM xyN xyxxkMNkmkmkkkkkl 消去，得，即设，则因为线段中点的横坐标为，所以，即把代入，化简得，所以或所以直线 的倾斜角的取值，范围为凡涉及弦中点问题常用“点差法”，也可以将直线方程代入曲线方程得到一个一元二次方程，利用根与系数关【点评】系求解 221222221210,026.)(1)()0|2|xyFFababFcacAyxMNNPQNPNPF FNPNQPQAM已知、分别是椭圆的左、右焦点，右焦点到
4、上顶点的距离为，若求此椭圆的方程；点 是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于、两点 点 在第一象限内，又、是此椭圆上两点，并且满足，求证：向量二、圆锥曲线背景下几例的证2质与何性明共线 22222222/64231.43144PQAMPQAMPQ AMkkkkacaababcxy思路：要证，可计算与，利用证明由题知，解得，所以椭圆的方程是解析 12()0|(11)1,10121NPNPF FNPNQNPNPPNQNPNQPNQxyxMNPNkQNkkPNyk x证明：因为，而与的平分线共线，所以的平分线垂直于 轴又直线与椭圆交点，不妨设的斜率为，则的斜率为，且，因此直线的方程为，22222222211
5、.11314413613610.1,11361.13361.13PQQNyk xyk xxykxk kxkkNxkkxkkkxk 的方程为由，得因为在椭圆上，故是该方程的一根，则同理，221111223121311 .1232,0(113)PQPQPQPQPQPQPQAMPQAMPQyyk xk xkxxxxk xxkxxkkkkkAMkkkPQAM 因此，的斜率为又，所以所以，所以向量与共线/PQ AM以圆锥曲线为背景下的几何关系或基本量关系的证明，常转化为几何元素的数值、最值等计算，或轨迹问题探求等问题解决，本题证明转化为由直线与圆锥曲线的关系条件下，直线斜率【评析】的计算 22222()
6、(0)(1)2(0)122()(0)141.44121()1230.2P ab bxOylbQlxpy pabpQxP ab abypQxyabP ababpQab设，是平面直角坐标系中的点，是经过原点与点，的直线，记 是直线 与抛物线的异于原点的交点已知，求点 的坐标；已知点，在椭圆上，求证：点 落在双曲线上；已知点，满足三、圆锥曲线背景下的探，若点究性例问题3始终落xP在一条关于 轴对称的抛物线上，试探究动点 的轨迹落在何种二次曲线上，并说明理由 22()2280418,602111162QPQP abbpxxxyyyyxQxxyaabbybxya 思路：证明点 的轨迹落在双曲线上或探究点
7、的轨迹落在何种二次曲线上，实质上是求证点 的坐标满足的轨迹方程和探求，的轨迹方程当，时，解方程组，得或，即点 的坐标为证明：由方程析：组，得解，222222222222221()14144()4()112(0)1()12()2441032.02.bQa aaPbbbaaaQQyq xcqbQ axabqcbaqqcaaaqccbqya即点 的坐标为，因为点 是椭圆上的点，即，所以，因此点 落在双曲线设点 所在抛物线的方程为将，代入方程，得，即当，即时，上2222222222()122()10212221142()0P abqcbqaaaqbqP abqcqcabcbqaqcaqccP abqc
8、 此时动点，的轨迹落在抛物线上当时，即，此时动点，的轨迹落在圆上当且时，可化为，此时动点，的轨迹落在椭圆上当时，222221222114)2(abcbqPaqcaqccab 可此时动点，的轨迹落在化为，双曲线上注意参数取值对曲线类型的影响，体会分类讨论思想与转化化【点评】归思想 222221024 331123xyCababyxCABPCxAPBPyGHCGHGHCTTPAT已知椭圆：的短轴长为，且与抛物线有共同的焦点，椭圆 的左顶点为，右顶点为，点 是椭圆上位于 轴上方的动点，直线，与直线分别交于，两点求椭圆 的方程；求线段的长度的最小值；在线段的长度取得最小值时，椭圆 上是否存在一点，使得
9、的面积为？若存在，求出点 的坐标；若不存在，备选题说明理由 22222222222(3 0)3221.4.12,02,002231(2,3)141416164042.1cbbabcCABPxAPkkAPyk xyk xxGxkykxxkyk 由已知得，抛物线的焦点为，则椭圆中，又，即所以故椭圆 的方程为由知，是椭圆上位于 轴上方的点，故的斜率存在，设为，且，故直线的方程为，从而得由，得解析：2111221122222164()2142841414284()141412,04211222433BPkP xyxkkkxykkkkPkkBkkBPyxxkyxkyy 设，则，所以，从而，即，又，所以，
10、则直线的方程为由，得，122,333|2 122124|.301221212.312.12.22203812HkGHkkkkkkkkkkkkGHkAPGyHx所以故因为，当且仅当，即时等号成立所以由可知，当取最小值时，则直线的方程为时，线段的长度取最小值，22220,15.12 552 5512122220.14PAPCTTPATAPTAPAPllyxtyxtxtxtxy此时，若椭圆 上存在点，使得的面积等于，则点 到直线的距离等于，所以点 在平行于且与距离等于的直线 上设直线：，则由，得22248102.|22|2 50212(2)222(2)251.()5lyxTTPttttAtt 所以：，存在点，即由两平行，其坐标线间的距离公式，得，解得或舍去为，或，使得的面积等于1解决圆锥曲线背景下的参数取值范围时，常用方法有几何法、函数法和不等式法，其中几何法是根据图形的几何性质求解的方法；函数法是将所求变量表示成某个相关变量的函数，求函数的值域；不等式法是根据曲线特征或方程有解条件等建立关于变量的不等式，再解不等式得取值范围2证明或探究圆锥曲线有关性质的基本思想是化归与转换，通常将所要证明或探究的问题化归转换为求值问题、最值问题、范围问题及轨迹问题等