1、第八节曲线与方程【知识重温】一、必记3个知识点1曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是_.(2)以这个方程的解为坐标的点都是_.那么这个方程叫做_，这条曲线叫做_.2求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)(3)列式列出动点P所满足的关系式(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程3两曲线的交点(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的_，即
2、两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点，方程组_，两条曲线就没有交点(2)两条曲线有交点的_条件是它们的方程所组成的方程组有实数解可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题二、必明2个易误点1曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)2求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响【小题热身】一、判断正误1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)方程x2xyx
3、的曲线是一个点和一条直线()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的()(4)方程y与xy2表示同一曲线()二、教材改编2已知M(2,0)，N(2,0)，|PM|PN|4，则动点P的轨迹是()A双曲线 B双曲线左边一支C一条射线 D双曲线右边一支3和点O(0,0)，A(c,0)距离的平方和为常数c的点的轨迹方程为_三、易错易混4方程x所表示的曲线是()A双曲线的一部分 B椭圆的一部分C圆的一部分 D直线的一部分5设线段AB的两个端点A，B分别在x轴、y轴上滑动，且|AB|5，则点M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1直接法求轨迹方程自主练透型12021杭州调研已知点F(0,1)，直线l
4、：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹C的方程为()Ax24y By23xCx22y Dy24x2已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()Ax2y22 Bx2y24Cx2y22(x2) Dx2y24(x2)悟技法直接法求轨迹方程的方法在不能确定轨迹形状时，要根据题设条件，通过“建(系)、设(点)、限(条件)、代(代入坐标)、化(化简与证明)”的步骤求轨迹方程，关键是把位置关系(如垂直、平行、距离等)转化为坐标关系.考点二定义法求轨迹方程互动讲练型例1已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆
5、M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程悟技法定义法求轨迹方程的解题策略(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.变式练(着眼于举一反三)1本例中圆M，N方程分别变为“圆M：(x4)2y22；圆N：(x4)2y22”，其余条件不变，求C的方程2若本例中的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为_考点三代入法(相关点法)求轨迹方程互
6、动讲练型例22017全国卷设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 .(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.悟技法代入法也叫坐标转移法，是求轨迹方程常用的方法，其题目特征是：点P的运动与点Q的运动相关，且点Q的运动有规律(有方程)，只需将点P的坐标转移到点Q的方程中，整理可得点P的轨迹方程.变式练(着眼于举一反三)32021河北石家庄模拟已知点Q在椭圆C：1上，点P满足()(其中O为坐标原点，F1为椭圆C的左焦点)，则点P的轨迹为()A圆 B抛物线C双曲线 D椭圆第八节曲线与方程【知识重温】
7、这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线公共解无解充要【小题热身】1答案：(1)(2)(3)(4)2解析：因为|PM|PN|MN|4，所以动点P的轨迹是以N(2,0)为端点向右的一条射线答案：C3解析：设点的坐标为(x，y)，由题意知()2()2c，即x2y2(xc)2y2c，即2x22y22cxc2c0.答案：2x22y22cxc2c04解析：x两边平方，可变为x24y21(x0)，表示的曲线为椭圆的一部分答案：B5解析：设M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)，由，得(x，y)(x0,0)(0，y0)，则解得由|AB|5，得2225，化简得1.答案：A课堂考点突破考点一1解析：设点
8、P(x，y)，则Q(x，1)，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，动点P的轨迹C的方程为x24y.答案：A2解析：解法一设P(x，y)，MPN为直角三角形，|MP|2|NP|2|MN|2，(x2)2y2(x2)2y216，整理得x2y24.M，N，P不共线，x2，轨迹方程为x2y24(x2)解法二设P(x，y)，MPN为直角三角形，PMPN，0，(2x，y)(2x，y)0，整理得，x2y24.M、N、P不共线，x2.轨迹方程为x2y24.(x2)答案：D考点二例1解析：由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为N(1,0)，
9、半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)变式练1解析：设动圆P的半径为r，|PM|r，|PN|r.|PM|PN|2，又M(4,0)，N(4,0)，|MN|8.2|MN|.由双曲线定义知，P点轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支a，c4，b2c2a214.方程为1(x )2解析：因为圆M与圆N相内切，设其切点为A，又因为动圆P与圆M、圆N都外切，所以动圆P的圆心在MN的连线上，且经过点A，因此动
10、点P的轨迹是射线AM的反向延长线(不含切点A)，其方程为：y0(x2)答案：y0(x2)考点三例2解析：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，(xx0，y)，(0，y0)由 得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)由题意知F(1,0)设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点P存在唯 一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.变式练3解析：因为点P满足()，所以Q是线段PF1的中点设P(a，b)，由于F1为椭圆C：1的左焦点，则F1(，0)，故Q，由点Q在椭圆C：1上，则点P的轨迹方程为1，故点P的轨迹为椭圆答案：D
