1、复习课(三)三角恒等变换三角函数式的求值(1)给值求值问题是考查的热点，题型既有填空题，又有解答题，属于中、低档题目，主要考查三角公式的灵活应用(2)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题； 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论； 给值求角：实质上是转化为“给值求值”问题，由所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角典例已知cos 2，求sinsin2 的值 解由题意，co
2、s 22cos21，所以cos2，因为，所以cos 0.所以cos ，sin ，所以sinsin 2sin coscos sin2sin cos 2.类题通法涉及到角的某种三角函数，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好1求值：sin 50(1tan 10)_.解析：sin 50(1tan 10)sin 50sin 50sin 501.答案：12已知0，0，且tan()2tan .4tan1tan2，则_.解析：4tan1tan2，tan ，tan()
3、2tan 21.0，0，.答案：3已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值解：tan tan()0，0.又tan 20，02，tan (2)1.tan 0，20，2.三角函数式的化简与证明(1)三角函数的化简与证明是必考的内容，题型有填空题、解答题，有时作为解题中的一步，有时独立成题，一般属于中、低档题(2)和差角公式变形：tan xtan ytan(xy)(1 tan xtan y)；倍角公式变形：降幂公式cos2，sin2，配方变形：1sin 2,1cos 2cos2，1cos 2sin2.典例化简：(1)sin 10_；(2)_.解析(1)原式sin 10.(2)原式tan 15
4、2.答案(1)(2)2类题通法(1)常用方法：切化弦、异名化同名、异角化同角、高次降幂、分式通分、无理化有理、常数(如“1”)的处理(2)基本技巧：凑倍角公式；遇1cos 常用升幂公式；1sin 化为1cos再升幂或化为sin2；遇asin bcos 常用辅助角公式1化简：(0)解：因为tan，所以(1cos )tansin .又因为cossin ，且1cos 2sin2，所以原式.因为0，所以00.所以原式2cos.2求证：.证明：证明原不等式成立，即证明1sin 4cos 4tan 2(1sin 4cos 4)成立tan 2(1sin 4cos 4)(2cos2 22sin 2cos 2)
5、2sin 2(cos 2sin 2)2sin 2cos 22sin2 2sin 41cos 4.三角函数的综合应用(1)立足于考查三角函数的图象、图象变换、图象的解析式，考查三角函数的性质如值域或最值、单调区间、对称性等；考查数形结合思想，依托三角恒变换手段先行变换，然后研究其性质(2)辅助角公式：asin bcos sin()，其中tan ；或 asin bcos cos()，其中tan .典例已知函数f(x)2cos22sin xcos x3.(1)化简函数f(x)的解析式，并求f(x)的最小正周期；(2)若方程fsin xt0恒有实数解，求实数t的取值范围解(1)因为f(x)2cos22
6、sin xcos x3cossin 2x2cos 2xsin 2x2sin2.故其最小正周期为.(2)方程fsin xt0恒有实数解，等价于求函数tfsin x的值域因为tfsin xsinsin x2cos 2xsin x22sin2xsin x122，又1sin x1，所以t.故实数t的取值范围为.类题通法先通过三角恒等变换，将函数化成yAsin(x)B或yAcos(x)B, yAtan(x)B的形式，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质1当0x时，函数f(x)1cos 2x8sin2x的最小值为_解析：f(x)1cos 2x8sin2x112sin2x8sin2x6sin2x2.x
7、，sin x0,1，当x0时，f(x)取最小值，f(0)2.答案：22设f(x)6cos2xsin 2x.(1)求f(x)的最大值及最小正周期；(2)若锐角满足f()32，求tan的值解：(1)f(x)6sin 2x33cos 2xsin 2x232cos3，故f(x)的最大值为23.最小正周期T.(2)由f()32得2cos332，故cos1.又由0得2，故2，解得.从而tantan .三角函数的实际应用(1)主要解决以实际问题或几何问题为载体的实际应用，有填空题或解答题，属于中档题，主要考查三角恒等变换的应用(2)建立三角函数模型解决生活中的实际问题首先需要认清自变量是角，其范围十分重要；
8、同时，在恒等变形的过程中，注意防止出现变形过程中的错误典例某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB100 米，宽BC50 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且EHF为直角，如图所示(1)设CHEx(弧度)，试将三条路的全长(即HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(参考值：取1.732，取1.414)解(1)在RtCHE中，CH50，C90，CHE
9、x，HE.在RtHDF中，HD50，D90 ，DFHx，HF.又EHF90，EF，三条路的全长(即HEF的周长)L.当点F在A点时，这时角x最小，求得此时x；当点E在B点时，这时角x最大，求得此时x.故此函数的定义域为.(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求HEF的周长L的最小值即可由(1)得L，x，设sin xcos xt，则sin xcos x，L.由tsin xcos xsin，x，得t，从而11，当x，即CE50时，Lmin100(1)，所以当CEDF50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560 元类题通法解有关三角函数的实际应用的步骤(1)审题：理解题中的含义和数学本质；
10、(2)建立模型：根据审题所得到的信息，把实际问题抽象成数学问题，建立三角函数式或三角方程或三角不等式；(3)解决三角函数模型：根据三角知识解决(2)中建立的模型；(4)作出结论：根据(3)中解答，根据实际要求作出对应结论1.如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连接EC，ED，则sinCED_.解析：由题意知sinBEC，cosBEC，又CEDBEC，所以sinCEDsin cosBECcos sinBEC.答案：2.如图所示，在半径为2、圆心角为45的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接平行四边形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，设BOP，平行四边形PNMQ的面积为S.(1)求S与之间的函数关系；(2)求S的最大值及相应的的值解：(1)如图所示，分别过点P，Q作PDOB，QEOB垂足分别为D，E，则SMNPDEDPD(2cos 2sin )2sin 4sin cos 4sin22sin 22cos 22，.(2)S2sin 22cos 222sin2，当2，即时，Smax22.