1、【课时训练】函数的奇偶性与周期性一、选择题1(2018河南洛阳统考)下列函数为奇函数的是()Af(x)Bf(x)exCf(x)cos x Df(x)exex【答案】D【解析】对于A，定义域不关于原点对称，故不是；对于B, f(x)exf(x)，故不是；对于C，f(x)cos(x)cos xf(x)，故不是；对于D，f(x)exex(exex)f(x)，是奇函数，故选D.2(2018江南十校联考)设函数f(x)xsin x(xR)，则下列说法错误的是()Af(x)是奇函数Bf(x)在R上单调递增 Cf(x)的值域为R Df(x)是周期函数【答案】D【解析】因为f(x)xsin(x)(xsin x
2、)f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；因为f (x)1cos x0，所以函数f(x)在R上单调递增，故B正确；f(x)的值域为R，故C正确；f(x)不是周期函数，故D错误3(2018兰州模拟)已知函数f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()ABCD【答案】B【解析】f(x)是偶函数，f(x)f(x)，b0.又a12a，a，ab.故选B.4(2018四川遂宁一模)已知函数f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(2,0)时，f(x)2x2，则f(2 019)()A2B2C98D98【答案】B【解析】由f(x4)f(x)知，函数f(x)的周期为4，则f
3、(2 019)f(50443)f(3)，又f(3)f(1)，且f(1)2，f(2 019)2.5(2018湖南师范大学附属中学月考)已知函数yf(x)满足yf(x)和yf(x2)都是偶函数，且f(1)1，则f(1)f(7)()A0B1C2D3【答案】C【解析】yf(x)为偶函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)，yf(x)为偶函数，当x1时，有f(1)f(1)1.又yf(x2)是偶函数，f(x2)f(x2)，f(x2)f(x2)则f(x)f(x4)，函数yf(x)为周期函数，且周期为4.f(7)f(81)f(1)1.故f(1)f(7)2.故选C.6(2019吉林东北师大附中第一次摸底)已知定
4、义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)【答案】D【解析】因为奇函数f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间2,0上是增函数又因为函数f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x4)f(x)，所以函数f(x)为周期函数，且周期为8，因此f(25)f(1)f(0)f(80)f(11)f(3)f(1)f(1)故选D.7(2018安徽十大名校年联考)设e是自然对数的底数，函数f(x)是周期为4的奇函数，且当0x2时，
5、f(x)ln x，则ef()的值为()ABCD【答案】D【解析】因为函数以4为周期，所以ffffln ，所以ef()eln .故选D.8(2018江西九江七校联考)已知函数f(x)对任意xR，都有f(x6)f(x)0，yf(x1)的图象关于点(1,0)对称，且f(2)4，则f(2 014)()A0 B4C8 D16【答案】B【解析】由题意可知，函数f(x)对任意xR，都有f(x6)f(x)，f(x12)f (x6)6f(x6)f(x)，函数f(x)的周期T12.把yf(x1)的图象向左平移1个单位得yf(x11)f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，f(2 014)f
6、(1671210)f(10)f(1012)f(2)f(2)4.故选B.二、填空题9(2018山东菏泽模拟)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，且当0x1时，f(x)9x，则ff(2)_.【答案】3【解析】函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，ffff.又当0x0时， f(x)1，则当x0时， f(x)1，当x0，有 f(x)f(x)(1)，即x0时， f(x)(1)1.12(2018山东烟台模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x.若f(2a2)f(a)，则实数a的取值范围是_【答案】(2,1) 【解析】f(x)是奇函数，当x0时， f(x)x2
7、2x.做出函数f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知f(x)是R上的增函数由f(2a2)f(a)，得2a2a，解得2a1.三、解答题13(2018云南民族中学月考)已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围【解】(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时， f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1a3，故实数a的取值范围是(1,314(2018天津六校期中联考)已知函数f(x)的定义域为Dx|
8、x0，且满足对任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2, 且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围【解】(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题意有f(44)f(4)f(4)2，又由(2)知， f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)f(x)在(0，)上是增函数，0|x1|16，解得15x17且x1.x的取值范围是(15,1)(1,17)