1、第2课时均值不等式与最大值、最小值内容标准学科素养1.熟练掌握均值不等式及变形的应用逻辑推理、数学运算、数学建模2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题.授课提示：对应学生用书第34页教材提炼知识点用均值不等式求最值用均值不等式求最值应注意：(1)x，y是不是正数；(2)若x，y是正数，如果xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2；如果xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2.(3)等号成立的条件是否满足自主检测1x2y24，则xy的最大值是()A.B1C2D4答案：C2已知1x1，则1x2的最大值为_答案：13当x1时，x的最小值为
2、_答案：3授课提示：对应学生用书第35页探究一用均值不等式求最值例1(1)若x0，求函数yx的最小值，并求此时x的值；解析x0.x24当且仅当x，即x24，x2时取等号函数yx(x0)在x2时取得最小值4.(2)设0x，求函数y4x(32x)的最大值；解析0x，32x0，y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x，即x时，等号成立，函数y4x(32x)的最大值为.(3)已知x2，求x的最小值；解析x2，x20，xx22226，当且仅当x2，即x4时，等号成立x的最小值为6.(4)已知x0，y0，且1，求xy的最小值解析x0，y0，1，xy(xy)1021061016，当且仅当，1
3、，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.应用均值不等式的常用技巧(1)常值代替这种方法常用于“已知axbym(a，b，x，y均为正数)，求的最小值”和“已知1(a，b，x，y均为正数)，求xy的最小值”两类题型(2)构造不等式当和与积同时出现在同一个等式中时，可利用均值不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围(3)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件设x0，y0，且2xy1，求的最小值解析： x0，y0,2xy1，33232，当且仅当，即yx时，等号成立，解得x
4、1，y1，当x1，y1时，有最小值32.探究二均值不等式的实际应用例2如图，汽车行驶时，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们把这段距离叫做“刹车距离”在某公路上，“刹车距离”s(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式：sv2v.为保证安全行驶，要求在这条公路上行驶着的两车之间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米现假设行驶在这条公路上的汽车的平均身长5米，每辆车均以相同的速度v行驶，并且每两辆车之间的间隔均是“安全距离”(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v的函数关系式；(2)问v为多少时，经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大？解析(1
5、)T.(2)经过A点的车流量最大，即每辆车之间的时间间隔T最小T2，当且仅当，即v20时取等号当v20米/秒时，经过观测点A的车流量最大利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件某公司一年需要一种计算机元件8 000个，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元已购进而未使用的元件要付库存费，假设平均库存量为x件，每个元件的库存费为每年2元，如果不计其他费用，请你帮公司计算，每年进货几次花费最小？解析：设每年购进8 000个元件的总花费为S，一年总库
6、存费用为E，手续费为H，每年分n次进货，则x，E2，H500 n.所以SEH2500n500n5004 000.当且仅当n，即n4时总费用最少，故以每年进货4次为宜.授课提示：对应学生用书第36页一、用均值不等式求最值的策略1配凑以拼凑出和是定值或积是定值的形式为目标，根据代数式的结构特征，利用系数的变化或对常数的调整进行巧妙变形，注意做到等价变形一般地，形如f(x) axb的函数求最值时可以考虑配凑法典例函数y(x1)的最小值为_解析因为yx1x12，因为x1，所以x10，所以y220，当且仅当x0时，等号成立答案02常值代换利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如“已知axby(或)为
7、定值，求cxdy(或)的最值(其中a，b，c，d均为常参数)”时可用常值代换处理典例若正数x，y满足3xy5xy，则4x3y的最小值是()A2B3C4D5解析由3xy5xy，得5，所以4x3y(4x3y)()(49)(492)5，当且仅当，即y2x时，等号成立，故4x3y的最小值为5.答案D3探究通过换元法使得问题的求解得到简化，从而将复杂问题化为熟悉的最值问题处理，然后利用常值代换及均值不等式求最值典例设x，y是正实数，且xy1，则的最小值为_解析令x2m，y1n，则mn4，且m2，n1，所以2()()22，当且仅当即m，n时取等号所以的最小值为.答案4减元当题中出现了三个变元，我们要利用题
8、中所给的条件构建不等关系，并减元，在减元后应注意新元的取值范围典例已知x，y，z均为正实数，且x2y3z0，则的最小值为_解析由x2y3z0得y，所以.又x，z均为正实数，所以0，0，所以23，当且仅当即x3z时取等号所以的最小值为3.答案3二、忽视均值不等式的应用条件典例已知一次函数mxny2过点(1，2)(m0，n0)则的最小值为()A3B2C.D.解析由题意得n1，所以()(n)2，当且仅当即mn时取等号故选C.答案C纠错心得应用均值不等式求最值时，必须遵循“一正、二定、三相等”的顺序本题中求出n1后，若采用两次均值不等式，有如下错解：n12，所以，又2，所以2.选B.此错解中，式取等号的条件是n，式取等号的条件是即mn，两式的等号不可能同时取得，所以2不是的最小值
