1、第2课时等比数列的性质目标 记住等比数列的常见性质，并会用这些性质解答一些简单的等比数列问题重点 等比数列的性质及应用难点 对等比数列性质的理解知识点一等比数列的性质 填一填1在等比数列an中，如果m，n，k，l为正整数，且mnkl，则有amanakal.特别地，当mn2k时，amana.2在等比数列an中，每隔k项(kN*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列为等比数列，公比为qk1.3若数列an，bn是项数相同的等比数列，则anbn也是等比数列特别地，若an是等比数列，c是不等于0的常数，则can也是等比数列4数列an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积5在
2、等比数列an中，奇数项数列a2n1是公比为q2的等比数列，偶数项数列a2n是公比为q2的等比数列答一答1若等比数列an和bn的公比分别为q1与q2，则数列，|an|，是否为等比数列，若是，它们的公比分别是多少？提示：它们都是等比数列，数列，|an|，的公比分别是，|q1|，.2若等比数列an的公比为q，则数列中各项的符号相同吗？提示：不一定当q0时，各项符号相同，当q1，a10或0q1，a11，a10或0q0时，数列an为递减数列；3当q1时，数列an(非零)为常数列；4当q0时，数列an为摆动数列答一答3在等比数列an中，如果公比为q，且q1，那么等比数列an是(D)A递增数列B递减数列C常
3、数列 D无法确定单调性解析：如等比数列(1)n的公比q1，为摆动数列，不具有单调性由公比q0,8a2a50，则数列an为递增数列(填“递增”或“递减”)解析：由8a2a50，可知q38，解得q2.又a10，所以数列an为递增数列类型一等比数列的性质及应用例1已知数列an为等比数列(1)若an0，且a2a42a3a5a4a625，求a3a5的值；(2)若a1a2a37，a1a2a38，求数列an的通项公式分析利用等比数列的通项及性质求解解(1)a2a42a3a5a4a625.且数列an是等比数列a2a3a5a25.即(a3a5)225.又an0，a3a55.(2)将aa1a3代入已知，得a8，a
4、22.设前三项为，2,2q，则有22q7.整理，得2q25q20，q2或q.或an2n1或an23n.在等比数列的有关运算中，常常涉及次数较高的指数运算.若按常规解法，往往是建立a1，q的方程组，这样解起来有时显得很麻烦，如果结合等比数列的性质，进行整体变换，会起到化繁为简的效果.变式训练1(1)在等比数列an中，a7a116，a4a145，则等于(C)A. B.C.或 D或解析：a7a11a4a146，a4，a14为方程x25x60的两个根，解得a42，a143或a43，a142，q10或.(2)已知各项均为正数的等比数列an中，a1a2a35，a7a8a910，则a4a5a6(A)A5 B
5、7C6 D5解析：由等比数列的性质知a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9构成等比数列，所以(a1a2a3)(a7a8a9)(a4a5a6)2，所以a4a5a65.又数列各项均为正数，所以a4a5a65.类型二灵活设项求解等比数列例2有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12，求这四个数分析根据条件，用两个未知数表示这四个数解解法一：设四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或所以，当a4，d4时，所求四个数为0,4,8,16；当a9，d6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为：0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：设这四
6、个数依次为a，a，aq(a0)，由条件得解得或当q2，a8时，所求四个数为0,4,8,16；当q，a3时，所求四个数为15,9,3,1.三个数或四个数成等比数列的设元技巧：1.若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq；2.若四个数成等比数列，可设a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正(负)数，可设，aq，aq3.变式训练2在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为(B)A4或17 B4或17C4 D17解析：设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为.由a，20成等差数列得2a20.a2a200，解得a4或a5.当a4时，插入的
7、两个数的和为a4.当a5时，插入的两个数的和为a17.类型三等比数列的实际应用例3从盛满a L纯酒精的容器中倒出1 L，然后加满水，再倒出1 L混合溶液后又用水加满，如此继续下去第n次操作后酒精的浓度是多少？若a2，至少倒几次后才能使酒精浓度低于10%?解第一次取出纯酒精1 L，加水后，浓度为1，记为a11；第二次取出纯酒精1 L，再加水后，浓度为2，记为a22；依次类推，第n次取出纯酒精n11 L，再加水后，浓度为n，记为ann.当a2时，由ann0)，则有(ad)a(ad)300，解得a100.又由题意知(ad)10，a10，(ad)11组成等比数列，所以(a10)2(ad)10(ad)1
8、1，将a100代入上式，得1102(110d)(111d)，即d2d1100，解得d10或d11(舍去)所以原计划三年中每年的产值分别为90万元、100万元、110万元1如果数列an是等比数列，那么(A)A数列是等比数列B数列是等比数列C数列2an是等比数列D数列nan是等比数列解析：由等比数列的定义判断即可2在等比数列an中，a2 0138a2 010，则公比q的值为(A)A2 B3C4 D8解析：a2 0138a2 010，a2 010q38a2 010.q38.q2.3在等比数列an中，若a3a69，a2a4a527，则a2的值为(B)A2 B3C4 D9解析：设等比数列的公比为q，由题
9、意可得a3a6aq59，a2a4a5aq527，得a23.故选B.4已知等比数列an为递增数列若a10，且2(anan2)5an1，则数列an的公比q2.解析：数列an是等比数列，且2(anan2)5an1，2(ananq2)5anq，即2(1q2)5q.解方程得q或q2.a10，且数列递增，q2.5已知an是正数组成的等比数列，求证：lga1lga3lga5lga2n1nlgan(nN*)证明：因为an是等比数列，所以a1a2n1a3a2n3a5a2n5a，所以lga1lga3lga5lga2n1lg(a1a3a5a2n1)lg(a1a3a5a2n1)2lg(a1a2n1)(a3a2n3)(a2n1a1)lganlgan.本课须掌握的两大问题1等比数列的常用性质(1)若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq.特例：若mn2p(m，n，pN*)，则amana.(2)qnm(m，nN*)(3)在等比数列an中，每隔k项取出一项，取出的项，按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列(4)数列an为等比数列，则数列an(为不等于0的常数)，仍然成等比数列2等比数列的实际应用数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；通过归纳得到结论，再用数列知识求解