1、2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷04（人教A版2019）（本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1若双曲线的一个焦点为，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】由双曲线性质：，故选B。2在三棱锥中，平面平面，则的长为( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】建立以为原点的空间直角坐标系，则，故选C。3若点是直线：外一点，则方程表示( )。A、过点且与垂直的直线 B、过点且与平行的直线C、不过
2、点且与垂直的直线 D、不过点且与平行的直线【答案】D【解析】点不在直线：上，直线不过点，又直线与直线：平行，故选D。4已知圆：和两点、，若圆上存在点，使得，则的最小值为( )。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】由得点在圆上，因此由两圆有交点得： ，即的最小值为，故选A。5若圆上有且仅有两个点到原点的距离为，则实数的取值范围为( )。A、 B、C、 D、【答案】B【解析】由题意已知圆与圆相交，解得且，故选B。6如图所示，在三棱锥中，平面，是棱的中点，已知，则异面直线与所成角的余弦值为( )。A、 B、C、 D、【答案】C【解析】平面，、，过点作，又，则、两两垂直，如图，以为坐标原点，直线、
3、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则、，又为中点，则故，设异面直线与所成的角为，则，故选C。另解：还原长方体，则， ，则异面直线与所成的角为与所成的角即，在中，故选C。7已知、是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线、的斜率分别为、()，若的最小值为，则椭圆的离心率为( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】设，则，可得，又时，又，故选D。8已知双曲线(，)与抛物线()有相同的焦点，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线交于点，则双曲线的离心率为( )。A、 B、C、 D、【答案】C【解析】由题意知抛物线()的焦点坐标为，准线方程为，由在抛物线的准线上，则，则，则焦点坐标为，则，解
4、得，双曲线的渐近线方程是，将代入渐近线的方程，即，则双曲线的离心率为，故选C。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程为( )。A、 B、 C、 D、【答案】AC【解析】设所求直线方程为(、不同时为)，显然，当或时，所得直线方程不满足题意，故、均不为，当时，当时，根据题意，直线在两坐标轴上的截距相等，则，令，则，整理，得，解得，或，则，或，故所求直线方程为或，故选AC。10给出下列命题，其中正确的有( )。A、空间任意三个向量都可以作为一组基底B、已
5、知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底C、是空间四点，若、不能构空间的一组基底，则、共面D、已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间的一组基底【答案】BCD【解析】A选项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错，B选项，若，则、与任何向量都共面，故不能构成空间的一组基底，故B对，C选项，若、不能构空间的一组基底，则、共面，又、过相同的点，则、四点共面，故C对，D选项，是空间向量的一组基底，则、与向量一定不共面，也可以构成空间向量的一组基底， 故选CBD。11设抛物线：()的焦点为，点在上，若以为直径的圆过点，则的方程为( )。A、 B、 C、 D、【答案】BD【解析】设，
6、则，则，又，则以为直径的圆的方程为，将代入，得，即，由得：，解得或，则方程为或，故选BD。12我们把离心率为的双曲线(，)称为黄金双曲线。如图所示，、是双曲线的实轴顶点，、是虚轴顶点，、是焦点，过右焦点且垂直于轴的直线交双曲线于、两点，则下列命题正确的是( )。A、双曲线是黄金双曲线B、若，则该双曲线是黄金双曲线C、若，则该双曲线是黄金双曲线D、若，则该双曲线是黄金双曲线【答案】BCD【解析】A选项，不是黄金双曲线；B选项，化成，即，又，解得，是黄金双曲线；C选项，化简得，由知是黄金双曲线；D选项，轴，且是等腰，即，由知是黄金双曲线；综上，BCD是黄金双曲线，故选BCD。三、填空题：本题共4小
7、题，每小题5分，共20分.13已知入射光线经过点，被直线：反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为 。【答案】【解析】设点关于直线：的对称点为，则反射光线所在直线过点，解得，又反射光线经过点，所求直线的方程为，即。14如图所示，平面，则二面角的余弦值大小为_。【答案】【解析】以点为原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，、，设平面的法向量为，设平面的法向量为，则且，可取，。15抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于、两点，且满足，点为原点，则的面积为 。【答案】【解析】如图，由题意可知，由得，又根据可得，即，即，解得，点的坐标为或，。16如图所示，在正四棱柱中，动点、分别在线段、上，则线段长
8、度的最小值是 。【答案】【解析】如图建系，则，设点，则，则，设点，则，则，则当且仅当、时，线段长度取最小值是。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分10分）已知圆上一定点，为圆内一点，、为圆上的动点。(1)求线段中点的轨迹方程；(2)若，求线段中点的轨迹方程。【解析】(1)设的中点为，由中点坐标公式可知，点坐标为， 2分点在圆上， 4分故线段中点的轨迹方程为； 5分(2)设的中点为，在中， 6分设为坐标原点，连接，则， 8分，故线段中点的轨迹方程为。 10分18（本小题满分12分）已知点，点是圆：上的任意一点，线段的垂直平分线与直线交于点。
9、(1)求点的轨迹方程；(2)若直线与点的轨迹有两个不同的交点和，且原点总在以为直径的圆的内部，求实数的取值范围。【解析】(1)由题意知：， 2分的轨迹是以、为焦点的椭圆，其轨迹方程为； 3分(2)设、，则将直线与椭圆的方程联立得，消去得： 5分，由得：， 7分， 8分原点总在以为直径的圆的内部，即， 9分而， 10分即，且满足式的取值范围是。 12分19（本小题满分12分）如图所示，已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，为的中点，为的中点。(1)证明：直线平面；(2)求平面和平面所成的锐二面角的余弦值。 【解析】(1)证明：由题意可知，三棱柱为直三棱柱，则四边形为矩形，连接交于点，连、，
10、则为和的中点，又为的中点， 2分又为的中点， ，四边形为平行四边形， 4分又平面，平面，平面； 5分(2)三角形为正三角形，又底面，底面，以为原点，、为、轴建立直角坐标系，如图建系， 6分则， 7分设平面的法向量为，又，则，得，令，则，则， 9分又可知平面的法向量为， 10分设平面与平面的夹角的平面角为，则，平面和平面所成的锐二面角的余弦值。 12分20（本小题满分12分）已知椭圆：()的左、右顶点分别为、，其离心率，过点的直线与椭圆交于、两点(异于、)，当直线的斜率不存在时，。(1)求椭圆的方程；(2)若直线与交于点，试问：点是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由。【
11、解析】(1)由题意可设椭圆的半焦距为，由题意得：， 2分解得，椭圆的方程为：； 4分(2)由题意可知直线的倾角不为，设直线的方程为，、， 5分联立，由题意可知恒成立， 6分由、是上方程的两根可知：， 7分直线的方程为：，直线的方程为：， 8分得：， 10分把代入得：， 11分即，故点恒在定直线上。 12分21（本小题满分12分）如图所示，在多面体中，底面是梯形，底面，点为的中点，点在线段上。(1)证明：平面；(2)如果直线与平面所成的角的正弦值为，求点的位置。【解析】(1)证明：在梯形中，则， 1分点为的中点， 2分四边形是平行四边形， 3分又底面，底面， 4分又平面，平面，平面； 5分(2)
12、解：以建系，则、， 6分设()，则，则， 7分设平面的法向量为，由得， 8分令得平面的一个法向量为， 9分则，解得或(舍)，即， 11分当点与点重合时直线与平面所成的角的正弦值为。 12分22（本小题满分12分）已知椭圆：()上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上。(1)求椭圆的方程；(2)过点任作一条直线，与椭圆交于不同于的、两点，与直线：交于点，记直线、的斜率分别为、，求证：。【解析】(1)椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为、，依题意有：， 1分，故可设椭圆的方程为：， 2分点在椭圆上，将其代入椭圆的方程得， 3分椭圆的方程为； 4分(2)依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：，即， 5分设与椭圆的两个交点为、，将代入方程化简得：， 6分恒成立， 7分 ， 9分又由，解得， 10分即点的坐标为， 11分，原命题得证。 12分