1、第一部分专题突破破译命题密码 第 2 课时 数列求和与综合应用高考对本部分考查主要从以下方面进行：(1)考查等差、等比数列前 n 项和公式以及其他求和方法，尤其是错位相减法及裂项相消法是高考的热点内容(2)数列主观题常与函数、不等式等知识点交汇，综合考查函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.高考题型突破 题型一 数列求和(2017山东卷)已知an是各项均为正数的等比数列，且 a1a26，a1a2a3.(1)求数列an的通项公式；(2)bn为各项非零的等差数列，其前 n 项和为 Sn.已知 S2n1bnbn1，求数列bnan 的前 n 项和 Tn.解析：(1)设an的公比为 q，由题意知：a
2、1(1q)6，a21qa1q2，又 an0，解得 a12，q2，所以 an2n.(2)由题意知：S2n12n1b1b2n12(2n1)bn1，又 S2n1bnbn1，bn10，所以 bn2n1.令 cnbnan，则 cn2n12n.因此 Tnc1c2cn32 522 7232n12n1 2n12n，又12Tn 322 523 7242n12n2n12n1，两式相减得12Tn3212 122 12n1 2n12n1，所以 Tn52n52n.1.数列求和最常用的四种方法(1)公式法求和适合求等差数列或等比数列的前 n 项和对等比数列利用公式法求和时，一定注意公式 q 是否取 1.(2)错位相减法这
3、是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，主要用于求数列anbn的前n 项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列(3)裂项相消法把数列和式中的各项分别裂开后，消去一部分从而计算和的方法，适用于求通项为1anan1的数列的前 n 项和其中an若为等差数列，则1anan11d1an 1an1.(4)分组求和法一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分即能分别求和，然后再合并2警示(1)裂项求和的系数出错：裂项时，把系数写成它的倒数或者忘记系数导致出错(2)求错项数致误：错位相减法求和时，易漏掉减数式的最后一项.变式训练1已知等差数列a
4、n的前 n 项和为 Sn，且 a11，S3a5.令 bn(1)n1an，则数列bn的前 2n 项和 T2n 为()AnB2nCnD2n解析：设等差数列an的公差为 d，由 S3a5，得 3a2a5，3(1d)14d，解得 d2，an2n1，bn(1)n1(2n1)，T2n1357(4n3)(4n1)2n，选 B.答案：B2(2017全国卷)等差数列an的前 n 项和为 Sn，a33，S410，则k1n1Sk_.解析：设等差数列an的公差为 d，则由a3a12d3，S44a1432 d10，得a11，d1.Snn1nn121nn12，1Sn2nn121n 1n1.i1n1Sk 1S1 1S2 1
5、S3 1Sn2112121313141n 1n121 1n1 2nn1.答案：2nn13(2017合肥市第一次教学质量检测)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 S424，S763.(1)求数列an的通项公式；(2)若 bn2anan，求数列bn的前 n 项和 Tn.解析：(1)an为等差数列，S44a1432 d24S77a1762 d63a13d2an2n1.(2)bn2anan22n1(2n1)24n(2n1)，Tn2(4424n)(352n1)2414n14 n32n1283(4n1)n22n.题型二 与数列求和有关的综合问题已知数列an和bn满足 a1a2a3an(2)bn
6、(nN*)若an为等比数列，且 a12，b36b2.(1)求 an 与 bn；(2)设 cn 1an 1bn(nN*)记数列cn的前 n 项和为 Sn.求 Sn；求正整数 k，使得对任意 nN*均有 SkSn.解析：(1)由题意 a1a2a3an(2)bn，b3b26，知 a3(2)b3b28.又由 a12，得公比 q2(q2 舍去)，所以数列an的通项为 an2n(nN*)所以，a1a2a3an2nn12(2)n(n1)故数列bn的通项为 bnn(n1)(nN*)(2)由(1)知 cn 1an 1bn 12n1n 1n1(nN*)，所以 Sn 1n1 12n(nN*)因为 c10，c20，c
7、30，c40；当 n5 时，cn1nn1nn12n1，而nn12nn1n22n1n1n22n10，得nn12n551251，所以，当 n5 时，cn30 成立的正整数 n 的最小值解析：(1)令 n1，得 a10.当 n2 时，anSnSn1nan2 n1an12.可得(n2)an(n1)an1，当 n3 时，anan1n1n2，所以 an anan1an1an2a3a2a22(n1)，显然当 n1,2 时，满足上式所以 an2(n1)(2)因为 anlog2bn22，所以 2(n1)log2bn22log2b2nlog242log2bn2，即 2n2log2bn，bn2n，anbn2n12n
8、n12n1，所以 Tn 020 121 222 323n12n1，12Tn 021 122 223n22n1 n12n，作差得12Tn12 122 12n1n12n 1 12n1n12n1n12n.Tn2n12n1.所以 n12Tn2n130，当 n6 时，不等式恒成立，所以正整数 n 的最小值为 6.微专题 数列与其他知识的交汇 交汇创新数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化为特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用(2017山东卷)已知xn是各项均为正数的等比数列，且 x1x23，x3x22.(1)求数
9、列xn的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1(x1,1)，P2(x2,2)，Pn1(xn1，n1)得到折线 P1P2Pn1，求由该折线与直线 y0，xx1，xxn1 所围成的区域的面积 Tn.解析：(1)设数列xn的公比为 q，由已知知 q0.由题意得x1x1q3，x1q2x1q2.所以 3q25q20.因为 q0，所以 q2，x11.因此数列xn的通项公式为 xn2n1.(2)过 P1，P2，Pn1 向 x 轴作垂线，垂足分别为 Q1，Q2，Qn1.由(1)得 xn1xn2n2n12n1，记梯形 PnPn1Qn1Qn 的面积为 bn，由题意 bnnn122n1
10、(2n1)2n2，所以 Tnb1b2bn321520721(2n1)2n3(2n1)2n2，2Tn320521722(2n1)2n2(2n1)2n1.得Tn321(2222n1)(2n1)2n132212n112(2n1)2n1.所以 Tn2n12n12.(1)本题是数列与解析几何的交汇，求解的关键推出 bn 的表达式(2)求解数列与其他知识交汇问题，要注意以下几点：数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视；解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；不等关系证明中进行适当的放缩.变式训练1正项等比数列an中的 a1，a4 031 是函数 f(x)13x
11、34x26x3 的极值点，则 log6a2 016()A1 B2C.2D1解析：因为 f(x)x28x6，且 a1，a4 031 是方程 x28x60 的两根，所以 a1a4 031a22 0166，即 a2 016 6，所以 log 6a2 0161.答案：A2设数列an满足 a2a410，点 Pn(n，an)对任意的 nN*，都有向量 PnPn1(1,2)，则数列an的前 n 项和 Sn_.解析：Pn(n，an)，Pn1(n1，an1)，PnPn1(1，an1an)(1,2)，an1an2，an是公差 d 为 2 的等差数列又由 a2a42a14d2a14210，解得 a11，Snnnn122n2.答案：n2高考专题集训 点击进入WORD链接谢谢观看！