1、1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos .(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(
2、4)cos .(5)|ab|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)cacbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(4)若a，b都是非零向量，是a与b的夹角，则cos .【知识拓展】1两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，
3、b的夹角为钝角ab0且a，b不共线2平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2.(2)(ab)2a22abb2.(3)(ab)2a22abb2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(3)由ab0可得a0或b0.()(4)(ab)ca(bc)()(5)两个向量的夹角的范围是0，()1(教材改编)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0，则k等于()A12 B6C6 D12答案D解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)
4、，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得k12.2(2017南宁质检)已知向量a与b的夹角为30，且|a|1，|2ab|1，则|b|等于()A. B. C. D.答案C解析由题意可得ab|b|cos 30|b|,4a24abb21，即42|b|b21，由此求得|b|，故选C.3(2017银川调研)若平面四边形ABCD满足0，()0，则该四边形一定是()A直角梯形 B矩形C菱形 D正方形答案C解析由0得平面四边形ABCD是平行四边形，由()0得0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形，故选C.4(2016北京)已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小
5、为_答案解析设a与b的夹角为，则cos ，又因为0，所以.5(2016厦门模拟)设xR，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|_.答案解析ab，ab0，即x20，x2，a(2,1)，a25，b25，|ab|.题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2016天津)已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A B.C. D.(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_答案(1)B(2)11解析(1)如图，由条件可知，所以()()22.因为ABC是边长为1的等边三角形，所以|1
6、，BAC60，所以.(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，故的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，在方向上的投影都是CB1，|11，当E运动到B点时，在方向上的投影最大，即为DC1，()max|11.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)
7、，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解(1)(2016全国丙卷)已知向量，则ABC等于()A30 B45 C60 D120(2)(2015四川)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则等于()A20 B. 15 C9 D6答案(1)A(2)C解析(1)|1，|1，cosABC，又0ABC180，ABC30.(2)，(43)(43)(16292)(1662942)9，故选C.题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模例2(1)(2016西安模拟)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，在ABC中，2a2b，2a6b，D为BC
8、的中点，则|_.(2)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_答案(1)2(2)1解析(1)因为()(2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2)4(322cos 4)4，所以|2.(2)设D(x，y)，由(x3，y)及|1，知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又O(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)间距离的最大值圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.即|的最大值是1.命题点2求向量的夹角例3(1)已知单位向量
9、e1与e2的夹角为，且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.(2)若向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_答案(1)(2)解析(1)因为a2(3e12e2)2923212cos 49，所以|a|3，因为b2(3e1e2)2923112cos 18，所以|b|2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，所以cos .(2)2a3b与c的夹角为钝角，(2a3b)c0，即(2k3，6)(2,1)0，4k660，k3.又若(2a3b)c，则2k312，即k.当k时，2a3b(12，6)6c，即
10、2a3b与c反向综上，k的取值范围为.思维升华平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos ，要注意0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2或|a|.|ab|.若a(x，y)，则|a|.(1)(2015湖北)已知向量，|3，则_.(2)在ABC中，若A120，1，则|的最小值是()A. B2C. D6答案(1)9(2)C解析(1)因为，所以0.所以()2|20329.(2)1，|cos 1201，即|2，|2|22222|26，|min.题型三平面向量与三角函数例4(20
11、15广东)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因为0x，所以x，所以x，即x.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或
12、者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等(1)已知O为坐标原点，向量(3sin ，cos )，(2sin ，5sin 4cos )，且，则tan 的值为()A BC. D.(2)已知向量a(，)，ab，ab，若OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则OAB的面积为_答案(1)A(2)1解析(1)由题意知6sin2cos (5sin 4cos )0，即6sin25sin cos 4cos20，上述等式两边同时除以cos2，得6tan25tan 40，由于，则tan 0，解得tan ，故选A.(2)由题意得，|a|1，又OAB是以O为直角顶点的等
13、腰直角三角形，所以，|.由得(ab)(ab)|a|2|b|20，所以|a|b|，由|得|ab|ab|，所以ab0.所以|ab|2|a|2|b|22，所以|，故SOAB1.5利用数量积求向量夹角典例已知直线y2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(1,1)，B(3,3)求使向量与夹角为钝角的充要条件错解展示现场纠错解错解中，cos 0包含了，即，反向的情况，此时a1，故，夹角为钝角的充要条件是0a4，且tsin 取最大值4时，求.解(1)由题设知(n8，t)，a，8n2t0.又|，564(n8)2t25t2，得t8.当t8时，n24；当t8时，n8，(24,8)或(8，8)(2)由题设知(ksin 8，t)，与a共线，t2ksin 16，tsin (2ksin 16)sin 2k(sin )2.k4，01，当sin 时，tsin 取得最大值.由4，得k8，此时，(4,8)，(8,0)(4,8)32.