1、高考资源网（） 您身边的高考专家高三数学试卷（文科）一、选择题1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解不等式求得集合，由此求得两个集合的并集.【详解】由，得，解得，,所以.故选：A【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题.2.若，则（ ）A. 的实部大于的实部B. 的实部等于的实部C. 的虚部大于的虚部D. 的虚部小于的虚部【答案】C【解析】【分析】利用复数的乘法运算计算即可.【详解】因为，所以的实部小于的实部，的虚部大于的虚部.故选：C【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.3.设双曲线（）的焦距为12，则（ ）
2、A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】根据可得关于的方程，解方程即可得答案.【详解】因为可化为，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查已知双曲线的焦距求参数的值，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.4.若向量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得，由此求得.【详解】依题意，所以，两式相加得，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查向量加法和减法的坐标运算，属于基础题.5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得的值，由此求得.【详解】由于，所以，故，解得.所以故选：A【点睛】本小题主要
3、考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.6.如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（ ）A. 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了B. 1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C. 2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D. 2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率【答案】ABC【解析】【分析】根据曲线图可得ABC正确，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺
4、炎累计确诊病例增加了，D说法不正确.【详解】1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为，故A正确；由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确；2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了例，故C正确；2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，显然，故D错误.故选：ABC【点睛】此题考查曲线图，根据图象特征判断选项说法是否正确，关键在于识图，弄清图中的数据变化.7.若，则（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用对数运算公
5、式化简已知条件，由此确定正确选项.【详解】由于，所以，即，所以，两边平方得.故选：B【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.8.哥德巴赫在1742年6月7日给大数学家欧拉的信中提出：任一大于2的偶数都可写成两个质数的和这就是著名的“哥德巴赫猜想”，可简记为“” 1966年，我国数学家陈景润证明了“”，获得了该研究的世界最优成果若从大于10且不超过30的所有质数中，随机选取两个不同的数，则这两数之和超过30的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用列举法结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】大于且不超过的所有质数有：，共个，从中任取个，所有可能情况为，共
6、种.其中两数之和超过的有：，共种.所以所求的概率为.故选：C【点睛】本小题主要考查古典概型计算，属于基础题.9.已知函数的图象关于点对称，当时，且在上单调递增，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知可得在上单调递增，结合二次函数的图象即可得到答案.【详解】函数的图象关于点对称且在上单调递增，所以在上单调递增，所以对称轴，即.故选：C【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、对称性等知识，考查学生数形结合的思想，是一道容易题.10.已知函数，则（ ）A. 的最小正周期为B. 曲线关于对称C. 的最大值为2D. 曲线关于对称【答案】D【解析】【分析】由已知可得
7、，根据三角函数的性质逐一判断.【详解】，则.的最大值为，当时，故曲线关于对称，当时，故曲线不关于对称.故选：D.【点睛】本题考查三角函数的性质，其中对称轴和对称中心可代入判断，是基础题.11.如图，在正四棱柱中，分别为的中点，异面直线与所成角的余弦值为，则( )A. 直线与直线异面，且B. 直线与直线共面，且C 直线与直线异面，且D. 直线与直线共面，且【答案】B【解析】【分析】连接，由正四棱柱的特征可知，再由平面的基本性质可知，直线与直线共面.，同理易得，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线与所成角为，然后再利用余弦定理求解.【详解】如图所示：连接，由正方体的特征得，所以直线与直线共面.由
8、正四棱柱的特征得，所以异面直线与所成角为.设，则，则，由余弦定理，得.故选：B【点睛】本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.12.已知直线yk（x1）与抛物线C：y24x交于A，B两点，直线y2k（x2）与抛物线D：y28x交于M，N两点，设|AB|2|MN|，则（ ）A. 16B. 16C. 120D. 12【答案】D【解析】【分析】分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，然后计算，可得结果.【详解】设， 联立则，因为直线经过C的焦点， 所以.同理可得，所以故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的
9、焦点弦求参数，属基础题。二、填空题13.分别为内角的对边.已知，则_.【答案】【解析】【分析】由根据正弦定理有，可得答案.【详解】因为，所以，又，所以.故答案为：【点睛】本题考查利用正弦定理进行边角的互化，属于基础题.14.若x，y满足约束条件，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】作出可行域，几何意义为可行域内的点与点连线的斜率，根据图形观察计算可得答案.【详解】作出可行域，如图所示，则，故z的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查分式型目标函数的最值问题，关键是画出可行域，是基础题.15.四面体ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB，AC，AD两两垂直，且，则四面体ABCD的体积为_
10、，球O的表面积为_【答案】 (1). 1 (2). 【解析】【分析】根据四面体的特征，利用锥体体积公式求解，利用补图法可得该四面体的外接球与以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球相同，求出体对角线长度即直径，即可得解.【详解】因为AB，AC，AD两两垂直，且，所以四面体ABCD的体积，该四面体的外接球与以AB，AC，AD为长宽高的长方体的外接球相同，直径为该长方体的体对角线长球O的表面积为.故答案为：1，【点睛】此题考查求锥体体积，解决几何体的外接球问题，需要积累常见几何体外接球半径的求解方法，以便于解题中能够事半功倍.16.函数的最小值为_【答案】【解析】【分析】结合换元法以及利用导数求
11、得的最小值.【详解】令，函数变为，所以在上递减，在上递增，所以，也即函数的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的最值，属于中档题.三、解答题17.某公司A产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：十万元）存在较好的线性关系，下表记录了该公司最近8次该产品的相关数据，且根据这8组数据计算得到y关于x的线性回归方程为x（万元）6781112141721y（十万元）1.21.51.722.22.42.62.9（1）求的值（结果精确到0.0001），并估计公司A产品投入成本30万元后产品的销售收入（单位：十万元）（2）该公司B产品生产的投入成本u（单位：万元）与产品
12、销售收入v（单位：十万元）也存在较好的线性关系，且v关于u的线性回归方程为（i）估计该公司B产品投入成本30万元后的毛利率（毛利率）；（ii）判断该公司A，B两个产品都投入成本30万元后，哪个产品的毛利率更大【答案】（1）；产品投入成本万元后的收入估计值为（单位：十万元）.（2）（i）产品投入成本万元后的毛利率为；（ii）产品投入成本万元后的毛利率的毛利率更大.【解析】【分析】（1）将代入回归直线方程，求得，并由此对销售收入进行估计.（2）（i）根据毛利率的计算公式，计算出产品投入成本万元后的毛利率.（ii）根据毛利率的计算公式，计算出产品投入成本万元后的毛利率，由此判断出毛利率更大的产品.【
13、详解】（1）依题意，代入回归直线方程，得，解得，所以，令，可得（单位：十万元）（2）（i）由于，所以当时，（单位：十万元），故毛利率为.（ii）由（1）得当时，（单位：十万元），故毛利率为所以产品的毛利率更大.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行估计，考查运算求解能力，属于中档题.18.设等差数列的公差为2，等比数列的公比为2，且，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意可得，联立解方程可得数列的通项公式；（2）通过分组求和法可得数列的前n项和.【详解】解：（1）因为，所以， 依题意可得， ， 故；（2）由
14、（1）可知，故 .【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，考查分组法求和，是基础题.19.如图，四棱锥的底面是正方形，为的中点，.（1）证明：平面.（2）求三棱锥的侧面积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）要证明平面，只需证明，即可；（2）只需计算，的面积，相加即可.【详解】（1）证明：因为为的中点，所以，所以，从而.又，所以底面，所以.因为四边形是正方形，所以.又，所以平面.（2）由（1）知平面，因为，所以平面，因为平面，所以，所以的面积为.易证，所以的面积为.故三棱锥的侧面积为.【点睛】本题考查线面垂直的判定定理以及三棱锥侧面积的计算问题，考查学生逻辑推理能力、
15、数学运算能力，是一道容易题.20.已知函数.（1）讨论在上的单调性；（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1），分，四种情况讨论即可；（2）当，易得在上单调递增，而，利用函数单调性只需解不等式即可.【详解】（1）.当时，则在上单调递增.当时，令，得.（i）当时，令，得；令，得.所以得单调递减区间为，单调递增区间为.（ii）当时，令，得；令，得或.所以得单调减区间为，单调递增区间为，.（iii）当时，令，得；令，得.所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）因为，所以，当时，所以在上单调递增，因为，所以，解得，故所求不等式的解集为.【点睛】本题考查利用导数研
16、究函数的单调性以及利用单调性解不等式的问题，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.21.已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程得到，结合基本不等式，求得取得最小值时，进而证得椭圆的离心率为.（2）当直线的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得到直线的距离.当直线的斜率存在时，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用，则列方程，求得的关系式，进而求得到直
17、线的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程.【详解】（1）证明：椭圆经过点，当且仅当，即时，等号成立，此时椭圆的离心率.（2）解：椭圆的焦距为2，又，.当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.，在椭圆上，到直线的距离.当直线的斜率存在时，设的方程为.由，得，.设，则，.，即，到直线的距离.综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.【点睛】本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参
18、数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若点P极坐标为，过P的直线与曲线C交于A，B两点，求的最大值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先将中的消去得普通方程，再利用可得极坐标方程；（2）先求出AB的参数方程，代入曲线C的普通方程，利用韦达定理及三角函数的性质可得的最大值.【详解】解：（1）由，得， 即，所以，即，故曲线C的极坐标方程为. （2）因为P的极坐标为，所以P的直角坐标为，故可设AB的参数方程为（为参数）.将代入，得， 设点对应的参数分别为，则， 所以， 故的最大值为.【点睛】本题考查普通方程，参数方程，极坐标方程之间的互化，考
19、查直线参数方程中参数几何意义的应用，是中档题.23.已知函数（1）求不等式的解集；（2）记函数f（x）的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且，求a2+b2+c2的最小值【答案】（1）x|x2或x0（2）最小值为1【解析】【分析】（1）去绝对值将函数写成分段函数形式，分别解不等式即可；（2）分析函数单调性求出最小值m，利用柯西不等式即可求得最小值.【详解】（1），或或，解得或，不等式的解集为x|x2或x0（2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则，由柯西不等式，有，当且仅当2abc，即a，bc时取等号，的最小值为1【点睛】本题考查解绝对值不等式，柯西不等式的应用，属于中档题.- 20 - 版权所有高考资源网
