1、第2课时 一元二次不等式及其解法习题课 学习目标1.会利用一元二次不等式的解法解分式不等式.(逻辑推理、数学运算)2.掌握含参数的一元二次不等式的解法.(逻辑推理、数学运算)3.会解决一元二次不等式恒成立问题.(逻辑推理、数学运算)【关键能力合作学习】类型一分式不等式的简单应用(逻辑推理、数学运算)1.不等式-1的解集为()A.B.C.D.【解析】选B.根据题意-10(3x-2)(x-3)0,且x-30,解得x或x3,即原不等式的解集为.2.不等式0的解集是.【解析】不等式0等价于(x-2)(x+4)0.解得-4x2.故解集为x|-4x2.答案:x|-4x23.不等式5的解集是.【解析】原不等
2、式0解得00f(x)g(x)0;0f(x)g(x)0;0 0 【补偿训练】1.不等式0的解集是()A.0x3B.(-,1(3,+)C.1,3)D.1,3【解析】选C.不等式0,等价于,解得1x3,所以不等式的解集是1,3).2.不等式1的解集是()A.2,3B.(2,3C.(-,2)3,+)D.(-,23,+)【解析】选B.根据题意,100(x-3)(x-2)0且x2,解得:20的解集为(-,-1)(4,+),则实数a=.【解析】0(x+1)(x-a)0(x+1)(x-4)0,所以a=4.答案:4类型二含参数的一元二次不等式的解法(逻辑推理、数学运算)【典例】解关于x的不等式ax2-(a+1)
3、x+10.四步内容理解题意条件: ax2-(a+1)x+10.结论:解不等式.思路探求对于二次项的系数a是否分a=0,a0三类进行讨论?当a0时,是否还要比较两根的大小?书写表达当a=0时,原不等式可化为x1.当a0时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)0.当a0,因为1,所以x1.当a0时,原不等式可化为(x-1)0.若1,则x1,即0a1,则1x.综上所述,当a1;当0a1时,原不等式的解集为题后反思本题关键是找准讨论的切入点对于含参数的一元二次不等式常常要分情况讨论,分类讨论的标准有:(1)二次项系数(若二次项系数中含有字母);(2)判别式;(3)两根x1,x2的大小关系.在解题时,要
4、根据题目合理选择.解下列关于x的不等式.(1)x2-(a+2)x+2a0;(2)x2+2x+a0.【解析】(1)x2-(a+2)x+2a0可化为(x-2)(x-a)0.当a=2时,原不等式化为(x-2)20,得x2.当a2时,不等式的解集为x|xa或x2.当a2时,不等式的解集为x|x2.综上所述,当a=2时,原不等式的解集为x|xR且x2,当a2时,原不等式的解集为x|xa,当a2时,原不等式的解集为x|x2.(2)因为x2+2x+a0中的=4-4a.当=0,即a=1时,原不等式可化为(x+1)20,得x-1.当=4-4a1时,x2+2x+a0恒成立,原不等式的解集为R.当=4-4a0,即a
5、-1+或x1时,原不等式的解集为R,当a1时,原不等式的解集为(-,-1-)(-1+,+).【拓展延伸】解含参数的一元二次不等式的一般步骤注:对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集,不能合并.【拓展训练】解关于x的不等式ax2-x-0(aR).【解析】当a=0时,-x-0,解得x-;当a0时,=(-1)2-4a=1+a;当a-1时,0,不等式的解集为;当a=-1时,=0,不等式的解集为;当-1a0,不等式的解集为;当a0时,0,不等式的解集为.综上所述,当a-1时,不等式的解集为;当a=-1时,不等式的解集为;当-1a0时,不等式的解集为.【补偿训练】1.解关于x的不等式
6、x2-(a+a2)x+a30(aR).【解析】原不等式可化为(x-a)(x-a2)0.所以当a0时,aa2,解集为x|xa2;当a=0时,a2=a,解集为x|x0;当0a1时,a2a,解集为x|xa;当a=1时,a2=a,解集为x|x1;当a1时,aa2,解集为x|xa2.综上所述,当a1时,解集为x|xa2;当0a1时,解集为x|xa;当a=0时,解集为x|x0;当a=1时,解集为x|x1.2.解关于x的不等式:(a+1)x2-(2a+3)x+20.【解析】(1)当a=-1时,原不等式变为-x+22;(2)当a-1时原不等式可转化为(x-2)0,若-1a2,所以2x-,则2,所以x2;(3)
7、当a0;因为a-1,所以2,所以x2.综上可知原不等式的解集为当a-时,解集为;当a=-时,解集为;当-1a2.当a0对一切实数x都成立,则实数a的取值范围为()A.aB.a或aD.-a0对一切实数x都成立,即不等式的解集为R,a=0时不满足;则,即,解得a,所以实数a的取值范围是a.将本例中的条件改为“ax2-x+a0”,其他条件不变,试求实数a的范围.【解析】不等式ax2-x+a0对一切实数x都成立,即不等式的解集为R,则 即 解得a-.角度2在定区间上的恒成立问题【典例】1.当x1,4时,不等式x2-4x-2-a0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,-2B.-2,+)C.-6,+)
8、D.(-,-6【思路导引】利用不等式对应函数的最值解题.【解析】选D.令f(x)=x2-4x-2-a,x1,4,f(x)=x2-4x-2-a=(x-2)2-6-a,所以f(x)min=-6-a0,所以a-6.2.已知不等式x2+2(a-2)x-40在-3,1上恒成立.则实数a的取值范围是.【思路导引】转化为相应的函数图象解题.【解析】令f(x)=x2+2(a-2)x-4,若对任意x-3,1时,f(x)0恒成立,f(x)的图象如图所示.由图象可知,此时a应该满足即 解得a.答案:a0 ax2+bx+c0,ax2+bx+c0在D上恒成立 a0在D上恒成立 1.若函数f(x)=ax2+ax-1在R上
9、满足f(x)0恒成立,则实数a的取值范围是()A.a0B.a-4C.-4a0D.-4a0【解析】选D.当a=0时f(x)=-1在R上满足f(x)0恒成立;当a0时,因为f(x)在R上满足f(x)0恒成立,所以解得-4a0.综上所述,实数a的取值范围是-4a0.2.已知f(x)=x2+ax+3-a,若x-2,2,f(x)0恒成立,求a的取值范围.【解析】设函数f(x)=x2+ax+3-a在x-2,2时的最小值为g(a),则(1)当对称轴x=-4时,g(a)=f(-2)=7-3a0,解得a,与a4矛盾,不符合题意.(2)当-2,2,即-4a4时,g(a)=3-a-0,解得-6a2,此时-4a2.(
10、3)当-2,即a-4时,g(a)=f(2)=7+a0,解得a-7,此时-7af(x)恒成立af(x)max;(2)若f(x)有最小值f(x)min,则af(x)恒成立af(x)min.【拓展训练】设x2-2x+a-80对于任意x(1,3)恒成立,则a的取值范围是.【解析】原不等式x2-2x+a-80转化为a-x2+2x+8对任意x(1,3)恒成立,设f(x)=-x2+2x+8,易知f(x)在1,3上的最小值为f(3)=5.所以a(-,5.答案: (-,5【补偿训练】设函数f(x)=mx2-mx-1.(1)若对于一切实数x,f(x)0恒成立,求m的取值范围;(2)对于任意x1,3,f(x)-m+
11、5恒成立,求m的取值范围.【解析】(1)要使mx2-mx-10恒成立,若m=0,显然-10,满足题意;若m0,-4m0.所以-4m0.(2)方法一:要使f(x)-m+5在x1,3上恒成立.就要使m+m-60时,g(x)在1,3上是增函数,所以g(x)max=g(3)=7m-60,所以0m;当m=0时-60恒成立;当m0时,g(x)在1,3上是减函数,所以g(x)max=g(1)=m-60,得m6,所以m0.综上所述:m.方法二:当x1,3时,f(x)-m+5恒成立,即当x1,3时,m(x2-x+1)-60,又m(x2-x+1)-60,所以m.因为函数y=在1,3上的最小值为,所以只需m0的解集
12、是()A.(-3,2)B.(2,+)C.(-,-3)(2,+)D.(-,-2)(3,+)【解析】选C.不等式0可化为(x-2)(x+3)0得,x2或x0恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-2,2)B.(-,2)(2,+)C.-2,2 D.(-,22,+)【解析】选A.由题意可知=a2-40,解得-2a1.【解析】(1)原不等式可化为解得所以x-或x,所以原不等式的解集为.(2)方法一:原不等式可化为或解得或所以-3x0,化简得0,即0,所以(2x+1)(x+3)0解得-3x-.所以原不等式的解集为.【新情境新思维】若不等式x2+x+m20的解集不是空集,则实数m的取值范围为()A.B.C.D.【解析】选B.不等式x2+x+m20,-m,所以实数m的取值范围是.