1、重庆市缙云教育联盟2020-2021学年高一数学9月月考试题注意：本试卷包含、两卷。第卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一、选择题1. 已知函数，若且，则函数取得最大值时x的可能值为A. B. C. D. 2. 已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是A. ，B. ，C. D. 3. 直线与圆O：相交于M，N两点，若，P为圆O上任意一点，则的取值范围为A. B. C. D. 4. 已知平面向量，满足，记与夹角为，则的最小值是A. B. C. D. 5. 已知且，若向量满足
2、，则当向量、的夹角取最小值时，A. B. 8C. D. 6. 已知函数，若使得在区间上为增函数的整数有且仅有一个，则实数的取值范围是A. B. C. D. 7. 平面上的两个向量和，若向量，且，则的最大值为 A. B. C. D. 8. 已知函数在定义域R上的导函数为，若函数没有零点，且，当在上与在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是 A. B. C. D. 二、不定项选择题9. 把函数的图象沿x轴向左平移个单位，纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变后得到函数的图象，对于函数有以下四个判断，其中正确的是A. 该函数的解析式为B. 该函数图象关于点对称C. 该函数在上是增函数D. 函数在上的最小
3、值为，则10. 下列说法中错误的为 A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B. 向量不能作为平面内所有向量的一组基底C. 若，则在方向上的投影为D. 非零向量和满足，则与的夹角为11. 已知函数，下列说法正确的是 A. 是周期函数B. 若，则C. 在区间上是增函数D. 函数在区间上有且仅有1个零点12. 在平面直角坐标系xOy中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合已知点是角终边上一点，定义对于下列说法：其中正确的是A. 函数的值域是；B. 函数的图象关于直线对称；C. 函数是周期函数，其最小正周期为；D. 函数的单调递减区间是，第II卷（非选择题）三、填空题13. 已
4、知，向右平移个单位后为奇函数，则_，若方程在上恰有两个不等的根，则m的取值范围是_14. 在中，已知，则的面积为_15. 已知平面向量，满足，若平面向量且，则的最小值是_16. 半径为R的圆外接于，且，若，则面积的最大值为_四、解答题17. 如图所示，海平面上有3个岛屿A，B，C，它们位于海平面上，已知B在A的正东方向，C在A的北偏西的方向，C在B的北偏西方向上，某一天上午8时，甲，乙两人同时从A岛屿乘两个汽艇出发分别前往B，C两个岛屿执行任务，他们在上午的10时分别同时到达B，C岛屿现在已知甲乙都是匀速前进的，且乙的前进速度为3海里小时求A、B两个岛屿之间的距离；当天下午2时甲从B岛屿乘汽艇
5、出发前往C岛屿执行任务，且速度为海里小时，1个小时后乙立即从C岛屿乘汽艇以原速度返回A岛屿，求乙前进多少小时后，甲乙两个人之间的距离最近？注意：18. 已知向量，且函数的两条对称轴之间的最小距离为若方程恰好在有两个不同实根，求实数m的取值范围及的值设函数，且，求实数a，b的值19. 已知函数求的最小正周期和单调递增区间；将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于x的方程在上恰有2个根，求a的取值范围20. 已知向量，且函数的两条对称轴之间的最小距离为若方程恰好在有两个不同实根，求实数m的取值范围设函数，且，求实数a的值21.
6、 已知向量且函数的两条对称轴之间的最小距离为若方程恰好在有两个不同实根，求实数m的取值范围及的值设函数，且，求实数a，b的值22. 已知向量，函数，当时，求的值；若的最小值为，求实数m的值；是否存在实数m，使函数有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由答案和解析1.【答案】B【解析】解：由可知函数的对称轴为，所以由题意可得，解得，又因为，所以，即，可得，所以可得，所以，所以取到最大值时，则，即，当k取适当的整数时，只有适合，故选：B由可知函数的对称轴为，进而求出的取值集合，再由，可得的取值集合，代入函数中可得，进而求出函数取到最大值时x的集合，k取适当的整数可得x的取值选
7、项本题考查函数的对称性及函数的最值的求法，属于中档题2.【答案】D【解析】解：当时，要使函数在区间上的最小值为，则，即，则可得；当，则，则可得，故选：D分的正负讨论，要使函数在区间上的最小值为可知，或，分别求出的范围即可本题考查求由三角函数的单调性求最值的应用，属于中档题3.【答案】A【解析】解：取MN的中点A，连接OA、OP，则，点O到直线MN的距离，在中，当，同向时，取得最小值，为；当，反向时，取得最大值，为的取值范围为故选：A取MN的中点A，连接OA、OP，由点到直线的距离公式可得，于是推出，而，故，其中，从而得解本题考查平面向量在几何中的应用，除了平面向量的线性运算和数量积运算外，还用
8、到了点到直线的距离公式、二倍角公式等，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题4.【答案】D【解析】解：设，则又则，则，当时，有最大值为，有最小值为，又，的最小值是故选：D设，则，用数量积表示与的夹角的余弦值，转化为二次函数求最值本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用二次函数求最值，考查计算能力，是中档题5.【答案】C【解析】解：如图，设，由，得C在以A为圆心，以2为半径的圆上，由图可知，当OC与圆A相切时，向量、的夹角取最小值，可得，则向量、的夹角取最小值为，且故选：C由题意画出图形，求得向量、的夹角的最小值，并求得当向量、的夹角取最小值时的，代入向量数量积公式求解本题考查平面向量的数
9、量积运算，考查数形结合的解题思想方法，是中档题6.【答案】D【解析】解：函数，使得在区间上为增函数，可得：，可得，当时，满足整数至少有1，2，舍去；当时，由，时，由时，要使整数有且仅有一个，需，解得实数的取值范围是故选：D由已知可求，可得，分类讨论，可得当时，由，时，由时，要使整数有且仅有一个，需，即可解得实数的取值范围本题主要考查利用的图象特征，单调性的应用，是中档题7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查平面向量的数量积及模长公式，考查与圆有关的最值问题，属于较难题由题意得出，画出图形，取AB的中点D，求出，说明C在以D为圆心的圆上，利用求O点到圆上点的最大值的方法即可求出【解答】解：，
10、取AB的中点D，且，如图所示：则，在以D为圆心，为半径的圆上，的最大值为故选B8.【答案】A【解析】【分析】本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于较难题由题意可知：为R上的单调函数，则为定值，由指数函数的性质可知为R上的增函数则在单调递增，求导，则恒成立，则，根据函数的正弦函数的性质即可求得k的取值范围【解答】解：若方程无解，则或恒成立，所以为R上的单调函数，都有，则为定值，设，则，易知为R上的增函数，又与的单调性相同，在R上单调递增，则当，恒成立，当时，此时，故选A9.【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查的图象变换规律，正弦函数
11、的图象和性质，属于中档题利用的图象变换规律，求得的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，的得出结论【解答】解：把函数的图象沿着x轴向左平移个单位，可得的图象；再把纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变后得到函数的图象，对于函数，故选项A不正确；由于当时，故该函数图象关于点对称，故B正确；在上，故该函数在上不是增函数，故C错误；在上，故当时，该函数在上取得最小值为，故D正确故选BD10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，属于较难的题由向量的数量积、向量的投影、基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解【解答】解：对
12、于与的夹角为锐角，且时与的夹角为，所以且，故A错误；对于B向量，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确；对于若，则在方向上的正射影的数量为，故C错误；对于因为，两边平方得，则，故，而向量的夹角范围为，得与的夹角为，故D项错误故错误的选项为ACD故选ACD11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查正弦、余弦函数的图象与性质，二倍角公式，属于较难题，先对函数化为分段函数，利用三角函数的图象和性质，逐一分析每一个选项即可【解答】解：函数化为分段函数对于A，是周期为的函数，故A正确；对于B，因为，可得，则有，此时可得，可得，故B正确；对于C，故C错误；对于D，可知，故D错误故选AB12.【
13、答案】ABC【解析】【分析】本题主要考查新定义，任意角的三角函数的定义，函数的周期性、单调性的定义，函数的图象的对称性，属于中档题由题意可得，再利用函数的周期性、单调性的定义，函数的图象的对称性得出结论【解析】解：由已知点是角终边上一点，定义，当时，函数取最大值为；当时，取最小值为，可得的值域是，故A正确由于点关于直线即的对称点为，故，故函数的图象关于直线对称，故B正确由于角和角的终边相同，故函数是周期函数，其最小正周期为，故C正确在区间上，x不断增大，同时y值不断减小，r始终不变，故不断增大，故是增函数，故函数在区间，上不是减函数，故D不对，故选ABC13.【答案】【解析】解：，其中，则其向
14、右平移后，因为此时函数为奇函数，故，则或，即或，因为，故只能，即此时有，所以；方程在上恰有两个不等的根等价于函数与在图象有2个不同的交点，作出函数的图象如下：由图可得根据平移后函数为奇函数，结合得范围可得，；方程有不等两根等价于函数与图象有2个交点，数形结合即可本题考查三角函数相关性质，考查方程根与图象交点个数之间的转化，涉及数形结合思想，属于中档题14.【答案】【解析】解：，作，则，则，即，设，则，在中，由余弦定理得：，即，整理解得：，在中，由余弦定理得则，则的面积，故答案为：作，则，设，则，在中，由余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出CD与BD的长，在三角形BCD中，利
15、用余弦定理即可求出cosB的值，然后求出sinB，利用三角形的面积公式进行求解即可本题主要考查解三角形的应用，根据条件作出辅助线，利用余弦定理以及三角形的面积公式是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度15.【答案】【解析】解：，即，不妨令，由于，所以，如图所示，分别以和为横、纵轴建立平面直角坐标系，则，且x，点S的轨迹是以4为焦距的双曲线的右支，如图，设的夹角为，则，即，的夹角为，当且仅当即时，取得等号故答案为：由，可知，于是可分别以和为横、纵轴建立平面直角坐标系，此外，不妨设，则，于是有，而，且x，所以点S的轨迹是以4为焦距的双曲线的右支再设的夹角为，可推知，的夹角为，将其代入，可得，最后
16、结合双曲线的定义、平面向量的减法运算、勾股定理和均值不等式等可求得的最小值本题主要考查的是平面向量的运算，实际需要将其转化为双曲线，利用双曲线的性质来解题，其中还用到了三角函数和均值不等式的知识，综合性很强，考查学生转化与化归的能力、逻辑推理能力和运算能力，属于难题16.【答案】【解析】【分析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式及应用，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，函数的图象与性质，属于中档题利用正弦定理将已知条件转化为边之间的关系，然后用余弦定理求得利用三角形面积公式，结合两角差的正弦函数公式和二倍角公式得，再利用辅助角公式得，最后利用函数的值域计算得结论【解答】解：因为所
17、以由正弦定理得：，即，所以由余弦定理可得：，又，故由正弦定理得：，所以，所以当时，S最大，若，则面积的最大值为故答案为17.【答案】解：由题意知，海里，中，由正弦定理得，所以，所以A、B两个岛屿之间的距离为海里；由正弦定理得，所以；设乙从C岛峪乘汽艇以原速度返回A岛屿运行t小时到达P处，则甲从B岛屿乘汽艇出发前往C岛屿执行任务运行小时到达Q处，其中，当且仅当时，取得最小值；又，所以；所以乙前进小时后，甲乙两个人之间的距离最近【解析】中由正弦定理求得AB的值即可；由正弦定理求出BC，再利用余弦定理求，计算取最小值时对应的时间即可本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题18.【
18、答案】解：因为函数的两条对称轴之间的最小距离为，所以，解得，当时，由正弦型函数的图象性质知，在上递增，在上递减，在上递增，所以，且，所以，或因为，所以，所以，即当时，在上递增，满足，解得，；当时，在上递减，满足，解得，综上所述：或【解析】先根据二倍角公式和辅助角公式将函数化简为，再由函数的周期性可求得，从而可得根据正弦型函数的图象性质，判断函数在上的单调性，再求出最大值、最小值和端点处的函数值，从而得解；易知，再分两类：和，并结合一次函数的单调性，列出关于a和b的方程组，解之即可本题考查了平面向量数量积的运算、三角函数与三角恒等变换的综合应用，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解题的关键，考查学生
19、的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题19.【答案】解：，所以，的最小正周期为令，得所以的单调递增区间为由知，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍纵坐标不变，得到的图象；再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以由，得，或当时，当且仅当，即时，由题意，仅有一个根，因为，所以，a的取值范围是【解析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性，得出结论由题意利用函数的图象变换规律，求得的解析式，再结合三角函数的图象与性质，求得a的范围本题考查三角恒等变换、正弦函数的周期性和单调性，定义域和值域，函数的图象变换规律，三角函数的图象与性质，属
20、于中档题20.【答案】解：依题又因为两条对称轴之间的最小距离为，所以由得：， ；当时，由正弦函数的图像和性质易知：在上递增，在上递减，在上递增，当时，取得最大值，当时，取得最小值，且，所以；当时，所以，所以，当时：在上递增，满足：，此时无解，当时：在上递减，满足：，解得：，综上所述，【解析】本题考查三角函数的图像和性质，考查平面向量的数量积、三角函数的恒等变形，属于中档题首先根据数量积的坐标运算以及三角函数的恒等变形公式得到依题，由两条对称轴之间的最小距离为，求出w得到函数解析式，利用正弦型函数的性质得到的单调性即可求出m的取值范围；首先根据三角函数的图象和性质求出，利用一次函数的性质讨论的单
21、调性得到关于a的方程即可求解21.【答案】解：依题又因为两条对称轴之间的最小距离为，所以由得：，；当时，由图像性质知：在上递增，在上递减，在上递增，当，取得最大值，当时，取得最小值，且，所以，或；易知，当时：在上递增，满足：解得：，当时：在上递减，满足：解得：综上所述：或【解析】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，的图象和性质，正弦函数的定义域和值域、单调性，属于中档题首项利用两个向量的数量积的定义、三角函数的恒等变换，化简函数的解析式为，由周期求出，从而确定函数的解析式根据函数的图像性质可知当时最大值和最小值，以及，可求出m的取值范围，再根据对称性可得的值根据已
22、知条件可求得的值域，即为值域，分当时和当时，结合的定义域，根据一次函数增减性列出方程组，分别求出a、b22.【答案】解：，当时，；因为所以，所以，所以，令，则，对称轴，当当时，函数取得最小值，即；当当时，函数取得最小值，即；当当时，函数取得最小值，即，舍综上，若的最小值为，则实数；令，解得，因为函数有四个不同的零点，所以方程或在上共有四个不同的实根，所以，得解得，故m的取值范围【解析】本题主要考查三角函数的图像和性质，两角和与差的三角函数公式，平面向量的坐标运算，向量的模，二次函数性质的运用，不等式求解等知识的综合运用，考查了分析和运算能力，属于较难题当时，代入求解即可；由已知得，令，则，分类讨论即可解得实数m的值；令，解得，因为函数有四个不同的零点，所以方程或在上共有四个不同的实根，由此列不等式求解即可