1、2016年上海市六校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、填空题（本大题满分42分）1复数z=32i的模为_2函数y=cos（3x）的最小正周期为_3抛物线y2=2x的准线方程是_4在（x2）7的二项展开式中，x5项的系数为_5已知地球的半径为6371千米，上海位于约东经121，北纬31，台北的位置约为东经121，北纬25，则两个城市之间的球面距离约为_千米（结果精确到1千米）6直线l的方程为=0，则直线l的倾斜角为_7已知=，cos+cos=，则cos=_8已知递增的等差数列an的公差为d，又a2，a3，a4，a5，a6这5个数列的方差为3，则d=_9已知直线经过点P（2，0），且被圆（
2、x3）2+（y2）2=4截得的弦长为2，则这条直线的方程为_10设函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间0，1上的图象为如图所示的线段AB，则方程f（x）2=x的最大实数根的值为_11等比数列an的公比为q，前n项积为Tn，且满足a11，a2015a20161，（a20151）（a20161）0，给出以下四个命题：q1；a2015a20171；T2015为Tn的最大值；使Tn1成立的最大的正整数4031，则其中正确的命题序号为_12已知，为空间三个向量，又，是两个相互垂直的单位向量，向量满足|=3， =2， =1，则对于任意实数x，y，|xy|的最小值为_13在极坐标下，定义两个点
3、（1，1）和（2，2）（1，20，01，22）的“极坐标中点“为（，），设点A、B的极坐标为（4，）与（8，），设M为线段AB的中点，N为点A、B的“极坐标中点”，则线段MN的长度的平方为_14先阅读参考材料，再解决此问题：参考材料：求抛物线弧y=x2（0x2）与x轴及直线x=2围成的封闭图形的面积解：把区间0，2进行n等分，得n1个分点A（，0）（i=1，2，3，n1），过分点Ai，作x轴的垂线，交抛物线于Bi，并如图构造n1个矩形，先求出n1个矩形的面积和Sn1，再求Sn1，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为，第i个矩形的高为（）2，所以第i个矩形的面积为（）2；Sn1= += 12+2
4、2+32+（n1）2= 所以封闭图形的面积为=阅读以上材料，并解决此问题：已知对任意大于4的正整数n，不等式+an恒成立，则实数a的取值范围为_二、选择题15函数y=f（x）是实数集R上的偶函数，且在（，0上是单调递增函数，若f（a）f（2），则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2或a2C2a2Da216复数z满足z+z+=17，则|z+2i|的最小值为（）A2B3C4D517给定正三棱锥PABC，M点为底面正三角形ABC内（含边界）一点，且M到三个侧面PAB、PBC、PAC的距离依次成等差数列，则点M的轨迹为（）A椭圆的一部分B一条线段C双曲线的一部分D抛物线的一部分18某年数学竞赛请来一位来
5、自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9，8，7，4，3，2，1，5，6，10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，则n的值为（）A512B511C1024D1023三、解答题：本大题共5小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCco
6、sB+sinBcosC=3sinAcosB（1）求cosB的值；（2）若，且，求a和c的值20（理）在长方体ABCDABCD中，AB=2，AD=1，AA=1求：（1）顶点D到平面BAC的距离；（2）二面角BACB的大小（结果用反三角函数值表示）21已知f1（x）=|3x1|，f2（x）=|a3x9|，xR，且f（x）=（1）当a=1时，请写出f（x）的单调递减区间；（2）当2a9时，设f（x）=f2（x）对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间m，n的长度定义为nm）求l关于a的表达式，并求出l的取值范围22已知椭圆： +=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点T（2，）在椭圆上，且|TF1
7、|+|TF2|=8（1）求椭圆的方程；（2）点P，Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线OP，OQ的斜率之积为，求证：|OP|2+|OQ|2为定值；（3）直线l过点（1，0）且与椭圆交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此常数的值；若不存在，请说明理由23已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当nyn+1（n=0，1，2，）时，该图象是斜率为bn的线段，其中常数b0且b1，数列xn由f（xn）=n（n=0，1，2）定义（1）若b=3，求x1，x2；（2）求xn的表达式及f（x）的解析式（不必求f（x）的定义域）；（3）当b1时，求f（x）的定义域，
8、并证明y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的公共点2016年上海市六校联考高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分42分）1复数z=32i的模为【考点】复数求模【分析】直接利用复数模的求法，求解即可【解答】解：复数z=32i的模为：|32i|=故答案为：2函数y=cos（3x）的最小正周期为【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】利用y=Asin（x+）的周期等于 T=，得出结论【解答】解：函数y=cos（3x）的最小正周期为，故答案为：3抛物线y2=2x的准线方程是【考点】抛物线的简单性质【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得
9、答案【解答】解：抛物线y2=2x，p=1，准线方程是x=故答案为：4在（x2）7的二项展开式中，x5项的系数为280【考点】二项式定理的应用【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于5，求出r的值，即可求得x5项的系数【解答】解：在（x2）7的二项展开式Tr+1=（2）rx143r 中，令143r=5，求得r=3，可得x5项的系数为8=280，故答案为：2805已知地球的半径为6371千米，上海位于约东经121，北纬31，台北的位置约为东经121，北纬25，则两个城市之间的球面距离约为667千米（结果精确到1千米）【考点】球面距离及相关计算【分析】由于上海A、台北B两点都在东经121，
10、计算它们的纬度差，然后求两地的大圆劣弧的长即为上海A、台北B两点的球面距离【解答】解：上海A、台北B两点都在东经121，纬度差是6，所以A、B两地的球面距离是过A、B 的大圆的劣弧的长，故劣弧的长为667故答案为：6676直线l的方程为=0，则直线l的倾斜角为arctan【考点】直线的倾斜角【分析】求出直线方程，得到直线的斜率，从而求出直线的倾斜角【解答】解：直线l的方程为=0，直线方程是：2x+4y1=0，直线的斜率是：，则直线l的倾斜角为：arctan，故答案为：arctan7已知=，cos+cos=，则cos=【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦【分析】由条件利用和差化积公式求得c
11、os的值【解答】解：=，cos+cos=2coscos=2coscos=，cos=，故答案为：8已知递增的等差数列an的公差为d，又a2，a3，a4，a5，a6这5个数列的方差为3，则d=【考点】极差、方差与标准差【分析】根据等差数列的定义与性质，利用平均数与方差的公式，即可求出d的值【解答】解：等差数列an中，公差d0，又a2，a3，a4，a5，a6的平均数为：=（a2+a3+a4+a5+a6）=a4，方差为s2= +=2d2=3，解得d=，应取d=故答案为：9已知直线经过点P（2，0），且被圆（x3）2+（y2）2=4截得的弦长为2，则这条直线的方程为x=2和3x4y6=0【考点】直线与圆
12、的位置关系【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可【解答】解：圆心（3，2），半径r=2，弦长m=2，设弦心距是d，则由勾股定理r2=d2+（）2得d=1若l斜率不存在，是x=2圆心和x=2距离是1，满足题意y=k（x4），kxy4k=0，则d=1，k2+4k+4=k2+1，k=，所以x=2和3x4y6=0，故答案为：x=2和3x4y6=010设函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，它在区间0，1上的图象为如图所示的线段AB，则方程f（x）2=x的最大实数根的值为【考点】函数
13、的零点与方程根的关系【分析】根据条件求出函数f（x）的解析式，利用函数与方程的关系进行转化求解即可【解答】解：由图象知，直线方程设y=kx+b，则，即，则AB的方程为y=x+1，0x1，函数f（x）是偶函数，当1x0时，0x1，则f（x）=f（x）=x+1，1x0，当x0时，由f（x）2=x得f（x）=，函数y=f（x）是最小正周期为2的偶函数，作出函数f（x）和g（x）=的图象如图，由图象知f（5）=f（3）=f（1）=2，g（3）=2，g（5）=2，则当3x4时，方程f（x）=取得最大根，当3x4时，1x40，则f（x）=f（x4）=（x4）+1=x+5，由f（x）=得x+5=，平方得x2
14、10x+25=x，即x211x+25=0，得x=（舍）或x=故答案为：11等比数列an的公比为q，前n项积为Tn，且满足a11，a2015a20161，（a20151）（a20161）0，给出以下四个命题：q1；a2015a20171；T2015为Tn的最大值；使Tn1成立的最大的正整数4031，则其中正确的命题序号为【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用等比数列的性质可知a20151，a20161，得出q1，进而判断即可【解答】解：等比数列an的公比为q，且满足a11，a2015a20161，（a20151）（a20161）0，a20151，a20161，q1，故错误；a2015a2017
15、=a2016a20161，故正确；a20151，a20161，a11，q1，前n项积为Tn的最大值为T2015故正确；T4030=a1a2a4030=（a1a4030）（a2a4029）（a2015a2016）=（a2014a2015）20151，T4031=a1a2a4031=（a1a4031）（a2a4030）（a2015a2017）a20161，故成立的最大的正整数4030，故错误故答案为：12已知，为空间三个向量，又，是两个相互垂直的单位向量，向量满足|=3， =2， =1，则对于任意实数x，y，|xy|的最小值为2【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知可得，展开，利用配方法求其最
16、小值，则|xy|的最小值可求【解答】解：由题意可知：，又|=3， =2， =1，=9+x2+y24x2y=（x2）2+（y1）2+4，当且仅当x=2，y=1时，|xy|的最小值为2故答案为：213在极坐标下，定义两个点（1，1）和（2，2）（1，20，01，22）的“极坐标中点“为（，），设点A、B的极坐标为（4，）与（8，），设M为线段AB的中点，N为点A、B的“极坐标中点”，则线段MN的长度的平方为5636【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】取出M，N的直角坐标，代入两点间的距离公式计算【解答】解：A的直角坐标为A（4cos，4sin），B的直角坐标为B（8cos，8sin），即B（8si
17、n，8cos）AB的中点坐标为M（2cos4sin，2sin+4cos），AB的极坐标中点为N（6，）N的直角坐标为N（6cos，6sin）|MN|2=（2cos4sin6cos）2+（2sin+4cos6sin）2=4+16+3616cossin24coscos+48sincos+16cossin24sinsin48cossin=5624cos+48sin（）=5636故答案为563614先阅读参考材料，再解决此问题：参考材料：求抛物线弧y=x2（0x2）与x轴及直线x=2围成的封闭图形的面积解：把区间0，2进行n等分，得n1个分点A（，0）（i=1，2，3，n1），过分点Ai，作x轴的垂线
18、，交抛物线于Bi，并如图构造n1个矩形，先求出n1个矩形的面积和Sn1，再求Sn1，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为，第i个矩形的高为（）2，所以第i个矩形的面积为（）2；Sn1= += 12+22+32+（n1）2= 所以封闭图形的面积为=阅读以上材料，并解决此问题：已知对任意大于4的正整数n，不等式+an恒成立，则实数a的取值范围为，+）【考点】数列与函数的综合【分析】作出f（x）=（0x1）的图象，可得为以O为原点，1为半径的圆把区间0，1进行n等分，得n1个分点Ai（，0）（i=1，2，3，n1），过分点Ai，作x轴的垂线，交图象于Bi，并如图构造n1个矩形，先求出n1个矩形的面积
19、和Sn1，再求Sn1，即是封闭图形的面积，运用圆的面积公式结合恒成立问题的解法，即可得到a的范围【解答】解：作出f（x）=（0x1）的图象，可得为以O为原点，1为半径的圆把区间0，1进行n等分，得n1个分点Ai（，0）（i=1，2，3，n1），过分点Ai，作x轴的垂线，交图象于Bi，并如图构造n1个矩形，先求出n1个矩形的面积和Sn1，再求Sn1，即是封闭图形的面积，又每个矩形的宽为，第i个矩形的高为，所以第i个矩形的面积为；Sn1= +，则封闭图形的面积为=Sn1=12=由a +恒成立，可得a的范围是a故答案为：，+）二、选择题15函数y=f（x）是实数集R上的偶函数，且在（，0上是单调递增
20、函数，若f（a）f（2），则实数a的取值范围是（）Aa2Ba2或a2C2a2Da2【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】根据条件可知f（x）在0，+）上单调递减，而根据f（x）为偶函数可得到f（|a|）f（2），从而便有|a|2，解该不等式即可得出实数a的取值范围【解答】解：由题意得，f（x）在0，+）上单调递减；f（x）为R上的偶函数；由f（a）f（2）得，f（|a|）f（2）；|a|2；a2，或a2故选：B16复数z满足z+z+=17，则|z+2i|的最小值为（）A2B3C4D5【考点】复数求模【分析】利用复数模的几何意义，求得满足z+z+=17，的复数z在复平面上的对应点z的轨迹，|z+2
21、i|表示z与（2，1）的距离，显然点到直线的距离最小，即可得出结论【解答】解：设复数z在复平面上的对应点为Z（x，y），则z+z+=17，可得x2+y2+2x=17，即：（x+1）2+y2=18，点Z的轨迹是以（1，0）为圆心，3为半径的圆|z+2i|的最小值为半径减去圆心与（2，1）的距离，最小值为： =2故选：A17给定正三棱锥PABC，M点为底面正三角形ABC内（含边界）一点，且M到三个侧面PAB、PBC、PAC的距离依次成等差数列，则点M的轨迹为（）A椭圆的一部分B一条线段C双曲线的一部分D抛物线的一部分【考点】轨迹方程【分析】先设点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离为da，d，
22、d+a，正三棱锥PABC中各个侧面的面积为S，体积为V，用等体积法可得d为常数，作平面面PBC且它们的面面距离为d，则与面ABC的交线即为点M的轨迹【解答】解：设点M到三个侧面PAB、PBC、PCA的距离为da，d，d+a正三棱锥PABC中各侧面的面积为S，体积为V，则S（da）+d+（d+a ）=V，即Sd=V，所以d为常数作平面使面PBC且它们的距离为d，则与面ABC的交线即为点M的轨迹易知M的轨迹为一条线段故选：B18某年数学竞赛请来一位来自X星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题就作答，遇到不会的题目先跳
23、过（允许跳过所有的题目），一直看到第1题；然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个答案，遇到先前已答的题目则跳过（例如，他可以按照9，8，7，4，3，2，1，5，6，10的次序答题），这样所有的题目均有作答，设这位选手可能的答题次序有n种，则n的值为（）A512B511C1024D1023【考点】排列、组合的实际应用【分析】由于每道题的都有两种情况，答或者不答，故根据分步计数原理可得【解答】解：每道题的都有两种情况，答或者不答，从109，有两种选择，从98也有两种选择，以此类推87，76，65，54，43，32，21，而从1题到第10道题只有一种选择，故有129=512种，故选
24、：A三、解答题：本大题共5小题，满分66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤19在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB（1）求cosB的值；（2）若，且，求a和c的值【考点】余弦定理的应用；三角函数的恒等变换及化简求值【分析】（1）由条件得sin（B+C）=3sinAcosB，再由sin（B+C）=sinA0，可得（2）由两个向量的数量积的定义得到ac=6，再由余弦定理可得a2+c2=12，解方程组可求得a和c的值【解答】解：（1）由sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，得sin（B+C）=3sinAco
25、sB，因为A、B、C是ABC的三内角，所以sin（B+C）=sinA0，因此（2），即ac=6，由余弦定理得b2=a2+c22accosB，所以a2+c2=12，解方程组，得20（理）在长方体ABCDABCD中，AB=2，AD=1，AA=1求：（1）顶点D到平面BAC的距离；（2）二面角BACB的大小（结果用反三角函数值表示）【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算【分析】（1）利用空间向量来求点到平面的距离，必须先建立空间直角坐标系，找到已知点坐标，求出平面的法向量，再借助点到平面的距离公式来计算，其中为平面的法向量，为点D与平面上任意一点的向量（2）欲求二面角的大小，只
26、需求出两个平面的法向量的夹角，再借助图形判断，法向量的夹角是二面角的夹角，还是其补角【解答】解：（1）如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为A（1，0，0）、D（0，0，0）、C（0，2，0）、A（1，0，1）、B（1，2，1）、D（0，0，1）设平面BAC的法向量为，则，因为，所以解得u=2v，w=2v，取v=1，得平面BAC一个法向量，且在平面BAC取一点A，可得，于是顶点D到平面BAC的距离，所以顶点D到平面BAC的距离为，（2）因为平面ABC的一个法向量为，设与的夹角为，则，结合图形可判断得二面角BACB是一个锐角，它的大小为21已知f1（x）=|3x1|，f2（x）=|a3x9
27、|，xR，且f（x）=（1）当a=1时，请写出f（x）的单调递减区间；（2）当2a9时，设f（x）=f2（x）对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间m，n的长度定义为nm）求l关于a的表达式，并求出l的取值范围【考点】函数与方程的综合运用【分析】（1）运用指数不等式的解法和绝对值的含义，可得f（x）的解析式，再由指数函数的单调性，即可得到所求单调区间；（2）由题意可得f2（x）f1（x），即为|a3x9|3x1|，结合条件，化简整理可得log3xlog3，可得l=log3log3，运用对数的运算性质，化简整理，再由对数函数的单调性，可得l为关于a的减函数，进而得到l的范围【解答】解：（1）当a
28、=1时，f2（x）=|a3x9|=|3x9|，当|3x9|3x1|，可得（23x10）（8）0，即为3x5，即xlog35，可得f（x）=|3x1|，xlog35，当0xlog35时，f（x）=3x1；当x0时，f（x）=13x；当xlog35，f（x）=|3x9|，当x2时，f（x）=3x9，当log35x2时，f（x）=93x则x0时，f（x）=13x递减；log35x2时，f（x）=93x递减综上可得，f（x）的单调递减区间为（，0），（log35，2）；（2）由题意可得f2（x）f1（x），即为|a3x9|3x1|，平方可得（a3x9）2（3x1）2，即有（a1）3x8（a+1）3x1
29、00，由2a9，可得（3x）（3x）0，又=0，则3x，即有log3xlog3，可得l=log3log3=log3=log3+log3=log3+log3（1+），由2a9，可得l是关于a的递减函数，即有0llog3则l的取值范围的范围是（0，log322已知椭圆： +=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点T（2，）在椭圆上，且|TF1|+|TF2|=8（1）求椭圆的方程；（2）点P，Q在椭圆上，O为坐标原点，且直线OP，OQ的斜率之积为，求证：|OP|2+|OQ|2为定值；（3）直线l过点（1，0）且与椭圆交于A，B两点，问在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出点M坐标以及此
30、常数的值；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）由点T（2，）在椭圆上，且|TF1|+|TF2|=8，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆的方程（2）设直线OP：y=kx，联立，求出|OP|2，同理求出|OQ|2，由此能证明|OP|2+|OQ|2为定值（3）当直线l与x轴不垂直时，设l：y=k（x+1），由，得（1+4k2）x2+8k2x+（4k216）=0，推导出=，当l与x轴垂直时，l：x=1，A（1，），B（1，），从而=，由此能求出结果【解答】解：（1）椭圆： +=1（ab0）的左右焦点分别为F1，F2，点T（2，）在椭圆上，且|TF1|+|TF2|=8，解
31、得a=4，b=2，椭圆的方程为=1证明：（2）设直线OP：y=kx，联立方程组，得x=，|OP|2=，又直线OQ：， 同理，得|OQ|2=，|OP|2+|OQ|2=20，为定值解：（3）当直线l与x轴不垂直时，设l：y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），M（t，0），由，得（1+4k2）x2+8k2x+（4k216）=0，又=（x1t，y1），=（x2t，y2），=（x1t）（x2t）+y1y2=（x1t）（x2t）+k（x1+1）k（x2+1）=（1+k2）x1x2+（k2t）（x1+x2）+（k2+t2）=，令，得t=，此时=，当l与x轴垂直时，l：x=1，A（1，），B
32、（1，），又M（，0），=，综上，M（，0），=23已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当nyn+1（n=0，1，2，）时，该图象是斜率为bn的线段，其中常数b0且b1，数列xn由f（xn）=n（n=0，1，2）定义（1）若b=3，求x1，x2；（2）求xn的表达式及f（x）的解析式（不必求f（x）的定义域）；（3）当b1时，求f（x）的定义域，并证明y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的公共点【考点】数列与函数的综合【分析】（1）由f（0）=0，运用直线的斜率公式，f（xn）=n，可得x1，x2；（2）由x1=1，x2=1+，xn=x1+（x2x1）+（x3x2）+
33、（xnxn1），运用等比数列的求和公式，即可得到所求；再由直线的斜率公式可得f（x）的解析式；（3）当b1时， xn=，f（x）的定义域为0，），证明b1，1x时，恒有f（x）x成立运用f（x）的解析式，结合不等式的性质即可得到结论【解答】解：（1）依题意f（0）=0，又由f（x1）=1，当0y1时，函数y=f（x）的图象是斜率为b0=1的线段，故由=1，得x1=1又由f（x2）=2，当1y2时，函数y=f（x）的图象是斜率为b的线段，故由=b，即x2x1=，解得x2=；（2）由（1）可得x1=1，x2=1+，由函数y=f（x）图象中第n段线段的斜率为bn1，故得=bn1，又f（xn）=n，f
34、（xn1）=n1，xnxn1=（）n1，由此知数列xnxn1为等比数列，其首项为1，公比为，因b1，得xn=x1+（x2x1）+（x3x2）+（xnxn1）=1+（）2+=（）n1=，对n=1也成立，故xn=；当nyn+1时， =bn，f（x）=f（xn）+（xxn）bn=n+（xxn）bn（n=0，1，2，）：（3）当b1时， xn=，f（x）的定义域为0，），下面证明b1，1x时，恒有f（x）x成立事实上，对1x时，存在xn，使xnxxn+1，于是由b1时，f（x）=f（xn）=bn（xxn）xxn，进而f（x）xf（xn）xn=nxn，当b1时，xn=1+n，即nxn0，可得f（x）x综上知，y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的公共点2016年9月20日