1、专题三 规律与猜想 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重.这类题要求根据题目中的图形或者数字,通过分析归纳,发现共同特征或者发展变化的趋势,据此去预测它的规律或者其他相关结论,使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合,从而体现出猜想的实际意义.因为猜想本身就是一种重要的数学方法,也是人们探索发现新知的重要手段,非常有利于培养创造性思维能力,所以备受命题专家的青睐,逐步成为中考的持续热点.类型一 数的规律目 录 类型三 图形的规律类型二 算式的规律类型四 点坐标变换的规律 通常按照一定的顺序给定一列数或代数式,要求我们根据这些已知的量,猜想其中蕴含的规律.表示或揭示这些规律时,常常包含着
2、这个数字或代数式的序列号.一般解法是先写出数式的基本结构,然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征,改写成要求的格式.数的规律 一 题型讲解 方法点拨 1.将所给的每个数据化为有规律的代数式；2.按规律顺序排列这些式子；3.将发现的规律用代数式表示出来；4.用题中所给数据验证规律的正确性.我们需要熟记的数字规律有：(1)自然数列规律：0,1,2,3,n(n0).(2)正整数列规律：1,2,3,n-1,n(n1).解题技巧 数的规律 一(3)奇数列规律：1,3,5,2n-1(n1).(4)偶数列规律：2,4,6,2n(n1).(5
3、)正整数和：1+2+3+4+5+n=n(n+1)2(n1).(6)正整数平方：1,4,9,16,n2(n1).(7)正整数平方加1：2,5,10,17,n2+1(n1).(8)正整数平方减1：0,3,8,15,n2-1(n1).数的规律 一 我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形,我们称之为“杨辉三角”,从图中取一列数：1,3,6,10,记a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,那么a9+a11-2a10+10的值是.分析：根据数字规律得出an=n(n+1)2,分别求出各项,再计算a9+a11-2a10+10即可得出 结论.解析：a1=1,a2=3=1+2,a3=6=1+2+3,a4=10
4、=1+2+3+4,返回主目录 11例题1a5=15=1+2+3+4+5,an=1+2+3+n=n(n+1)2,a9=9102=45,a10=10112=55,a11=11122=66,则a9+a11-2a10+10=45+66-255+10=11.【高分点拨】这种找规律的题目,都会涉及一个或者几个变化的量.所谓找规律,多数情况下,是指变量的变化规律.所以,抓住了变量,就等于抓住了解决问题的关键.返回主目录 观察如图中正方形四个顶点处所标的数的规律可知数2 021应标在()A.第505个正方形的右上角 B.第505个正方形的左下角 C.第506个正方形的右上角 D.第506个正方形的左下角 返回
5、主目录 C当堂检测1解析：观察题中给出的几个正方形可知,每个正方形对应4个数,第一个正方形中最小的数是0,0在右下角,其余数按逆时针由小到大排列,2 0214=5051,第504个正方形中最大的数是2 015,第505个正方形中最大的数是2 019,第506个正方形中最小的数是2 020,2 021位于正方形的右上角.返回主目录 算式规律的问题,即用运算符号将按一定规律排列的数字连接起来的等式或不等式问题,这类问题往往给出了一组变化的等式或不等式,要求通过观察、分析,猜想出序号与各个算式之间蕴含的规律.1.观察构成每个等式或不等式的数据的变化规律,并用关于序号的代数式表示出来；2.按规律顺序将
6、这些代数式排列出来；3.用题中所给式子验证规律的正确性.返回主目录 算式的规律 二 题型讲解 方法点拨 观察等式两边的数的特点,用n表示其规律.返回主目录 解题技巧 算式的规律 二 例题2(2020石家庄新华区一模)(1)观察下列算式,并完成填空：1=12；1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+(2n-1)=.(n是正整数)分析：观察算式规律,1+3+5+(2n-1)=n2.解析：观察算式规律,1+3+5+(2n-1)=n2,故答案为n2.(2)如图是某市一广场用正六边形、正方形和正三角形地板砖铺设的图案,图案中央是一块正六边形地板砖,周围是正方形和正
7、三角形的地板砖.从里向外第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖；第二层包括6块正方形和18块正三角形地板砖；以此递推.返回主目录 n2第3层中分别含有 块正方形和 块正三角形地板砖；第n层中含有 块正三角形地板砖(用含n的代数式表示).分析：第一层有6块正方形和6块正三角形地板砖,第二层有6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖,第三层有6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖；第一层有6=61=6(21-1)块正三角形地板砖,第二层有18=63=6(22-1)块正三角形地板砖,第三层有30=65=6(23-1)块正三角形地板砖,第n层有6(2n-1)块 正三角形地板砖.返回主目录 6
8、306(2n-1)/12n-6返回主目录 解析：第一层包括6块正方形和6块正三角形地板砖,第二层包括6块正方形和6+12=18块正三角形地板砖,第三层包括6块正方形和18+12=30块正三角形地板砖.故答案为6,30.第一层有6=61=6(21-1)块正三角形地板砖,第二层有18=63=6(22-1)块正三角形地板砖,第三层有30=65=6(23-1)块正三角形地板砖,第n层有6(2n-1)块正三角形地板砖.故答案为6(2n-1)或12n-6.应用 该市打算在新建一个广场中央,采用如图样式的图案铺设地面,现有1块正六边形、150块正方形和420块正三角形地板砖.问：铺设这样的图案,最多能铺多少
9、层？请说明理由.分析：150块正方形地板砖可以铺设这样的图案1506=25(层),铺设n层需要正三角形地板砖的数量为61+3+5+(2n-1)=6n2,6n2=420,n2=70,n=,8n9,所以420块正三角形地板砖最多可以铺设这样的图案8层.因此铺设这样的图案,最多能铺8层.解析：铺设这样的图案,最多能铺8层.返回主目录 理由如下：1506=25(层),150块正方形地板砖可以铺设这样的图案25层.铺设n层需要正三角形地板砖的数量为61+3+5+(2n-1)=6n2,6n2=420,n2=70,n=70.又8709,即8n0,n是正整数,请写出计算过程).解：设S=1+a+a2+a3+a4+an,则aS=a+a2+a3+a4+an+,-,得(a-1)S=an+1-1,当a=1时,不能直接除以a-1,此时S=n+1；当a1时,a-1才能做分母,S=an11a1.综上,1+a+a2+a3+a4+an=&n+1 a=1，&an11a1(a0且a1).返回主目录