1、第4课时余弦定理、正弦定理应用举例课后篇巩固提升 基础达标练1.如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是()A.角A,B和边ACB.角A,B和边BCC.边BC,AC和角CD.边BC,AC和角A解析根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.答案D2.如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12 m,借助测角仪测得CAB=45,CBA=60,则C处河面宽CD为()A.6(3+)mB.6(3-)mC.6(3+2)mD.6(3-2)m解析由AB=AD+BD=CD=12CD=6(3-
2、)m,故选B.答案B3.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是,(),则点A离地面的高度AB等于()A.B.C.D.解析在ADC中,DAC=-.由正弦定理,得,AC=,AB=ACsin =.答案A4.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30的方向,且与它相距8 n mile, 之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75的方向,则此船的航速是()A.8()n mile/hB.8()n mile/hC.16()n mile/hD.16()n mile/h解析由题意,得在SAB中,BAS=30,SBA=
3、180-75=105,BSA=45.由正弦定理,得,即,解得AB=8(),故此船的航速为=16()(n mile/h).答案D5.如图,地平面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB=20 m,在A处测得点P的仰角OAP=30,在B处测得点P的仰角OBP=45,又测得AOB=60,则旗杆的高度为()A.20()mB. mC. mD.10()m解析由已知,得AO=h,BO=h,则在ABO中,由余弦定理,得AB2=AO2+BO2-2AOBOcos 60,即400=3h2+h2-h2,解得h=(m).答案C6.如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40 n mil
4、e 的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30,相距20 n mile 的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援,则cos 等于()A.B.C.D.解析在ABC中,AB=40,AC=20,BAC=120.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800,所以BC=20.由正弦定理,得sinACB=sinBAC=.由BAC=120,得ACB为锐角,故cosACB=.故cos =cos(ACB+30)=cosACBcos 30-sinACBsin 30=.答案B7.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西
5、60方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为 n mile,则x的值为.解析在ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,即x2+9-2x3cos 30=()2,即x2-3x+6=0,解得x=2或x=.答案或28.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10 n mile,甲船以4 n mile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6 n mile/h的速度向北偏东60的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是h.解析如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为t h,距离为s n mile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(10-4t)n mile
6、,乙船距离B岛6t n mile,所以由余弦定理,得cos 120=-,化简,得s2=28t2-20t+100,所以当t=时,s2取最小值,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是 h.答案9.某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30方向.此人沿北偏西70方向行走了3 km后到达C,则见A在其北偏东56方向上,B在其北偏东74方向上,试求这两个建筑物间的距离.解如图,在BCO中,BOC=70-30=40,BCO=(180-70)-74=36,CBO=180-40-36=104.OC=3,由正弦定理,得,则BO=.在ACO中,AOC=70,CAO=56,则ACO=54.由正弦定理
7、,得,则AO=.在ABO中,由余弦定理,得AB=1.630(km)=1 630(m).故这两个建筑物间的距离约为1 630 m.能力提升练1.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15,向山顶前进100 m 到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45,若CD=50 m,山坡的坡角为,则cos =()A.B.-1C.2-D.解析在ABC中,由正弦定理,得BC=50()(m).在BCD中,由正弦定理,得sinBDC=-1.由题图知cos =sinADE=sinBDC=-1,故选B.答案B2.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别
8、为45与60,且两条船与炮台底部的连线成30角,则两条船之间的距离为m.解析设炮台顶部为A,两条船分别为B,C,炮台底部为D(如图),则BAD=45,CAD=30,BDC=30,AD=30 m.在RtABD与RtACD中,tan 45=,tan 30=,则DB=30 m,DC=10 m.在DBC中,由余弦定理,得BC2=DB2+DC2-2DBDCcos 30,即BC2=302+(10)2-23010,解得BC=10 m.答案103.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60方向相距20(+1)n mile的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以10 n mile/h
9、的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(+1)h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.解如图,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20 n mile,AC=20 n mile.由题意,得AB=20(+1)n mile,DC=20 n mile,BC=10+1)n mile.在ADC中,DC2=AD2+AC2,DAC=90,ADC=45.在ABC中,由余弦定理,得cosBAC=.BAC=30.B位于A的南偏东60方向,且60+30+90=180,D位于A的正北方向.又ADC=45,台风
10、移动的方向为向量的方向,即北偏西45方向.4.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75,30,于C处测得点B和点D的仰角均为60,AC=1 km,求点B,D间的距离.解(方法一)在ACD中,ADC=60-DAC=60-30=30.由正弦定理,得AD=.在ABC中,ABC=75-60=15,ACB=60,由正弦定理,得AB=.在ADB中,BAD=180-75-30=75,由余弦定理,得BD=.即点B,D间的距离为 km.(方法二)如图,记AD与BC的交点为M.由外角定理,得CDA=60-DAC=60-30=30,所以AC=DC.又易知MCD=MCA=60,所以AMCDMC,所以M为AD的中点,所以BA=BD.又AB=,所以BD=.所以点B,D间的距离为 km.