1、63平面向量线性运算的应用第32课时平面向量线性运算的应用对应学生用书P631掌握向量在平面几何中的应用2掌握向量在物理中的简单应用基础达标一、选择题1已知三个力F1(2，1)，F2(3,2)，F3(4，3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于()A(1，2)B.(1，2)C(1,2)D.(1,2)解析F4(F1F2F3)(2，1)(3,2)(4，3)(1,2)，故选D.答案D2点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v(4，3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度)，设开始时点P的坐标为(10,10)，则5 s后点P的坐标为()A(2
2、,4)B.(30,25)C(10，5)D.(5，10)解析设5 s后点P对应的坐标为P(x，y)，由题意易知5v(20，15)又(x10，y10)，解得P(10，5)，故选C.答案C3已知O是四边形ABCD所在平面上任一点，且|，则四边形ABCD一定为()A菱形B.任意四边形C平行四边形D.矩形解析由|，得|，即四边形ABCD中ABCD，又，即四边形ABCD中有一组对边平行且相等，所以四边形ABCD为平行四边形，故选C.答案C4已知A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心B.内心C重心D.垂心解析表示以A为起点，分别与，方向相同的两个单位向量
3、的和，向量的起点为A，终点必定在BAC的平分线上，0，)，向量与向量在同一条直线上，因此，动点P在BAC的平分线上A、B、C是平面上不共线的三个点，P的轨迹一定通过ABC的内心，故选B.答案B5若O是ABC所在平面内一点，且满足|2|，则ABC的形状是()A等腰三角形B.直角三角形C等腰直角三角形D.等边三角形解析设点M为BC边的中点，由题意可得|，又因为|2|22|2|，所以CB2AM，所以ABC的形状是直角三角形，故选B.答案B6已知点O是ABC内部一点，并且满足230，BOC的面积为S1，ABC的面积为S2，则()A.B.C.D.解析因为230，所以2()分别取AC，BC的中点D，E，则
4、2，2，所以2，即O，D，E三点共线且|2|，如图所示，则SOBCSDBC.由于D为AC中点，所以SDBCSABC，所以SOBCSABC，故选A.答案A7过ABC内一点M任作一条直线l，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若0恒成立，则点M是ABC的()A垂心B.重心C外心D.内心解析因为过ABC内一点M任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则0，有0，如图，则直线AM经过BC的中点，同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，所以点M是ABC的重心，故选B.答案B8已知点O是ABC内一点，满足2m，则实数m为()A2B.2C4D.4解析由2m，得.设，则，A，
5、B，D三点共线，如图所示：与反向共线，m4，故选D.答案D二、填空题9已知ABC和点P满足20，则PBC与ABC的面积之比为_解析由20，得()，故设()，根据向量加法的平行四边形法则，O为线段AC的中点，则P为线段BO的中点，SPBCSBCO12，SBCOSABC12，所以SPBCSABC14.答案1410ABC所在平面上一点P满足m(m0，m为常数)，若ABP的面积为6，则ABC的面积为_解析取AC的中点O，m(m0，m为常数)，m2，C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故SABC2SABP12.答案12三、解答题11如图，已知AC，BD是梯形ABCD的对角线，E，F分别是BD
6、，AC的中点，求证：EFBC.证明设a，b，则ba.，b.E为BD的中点，(ba)连接BF，F是AC的中点，()()()(ba)，(ba)(ba)b.又E，F，B，C四点不共线，即EFBC.12求证：三角形的重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍解已知：如图，在ABC中，G为其重心，连接AG并延长交BC于D.求证：AG2GD.证明：连接BG并延长交AC于E，连接CG并延长交AB于F，设b，a，则ba，ab.A，G，D共线，B，G，E共线，可设，则ba，ba，bba，ab0.a，b不平行，解得所以，即AG2GD.素养提升13已知A、B、C是平面上不共线的三点，O为ABC的外心，动点P满足(
7、R)，点P的轨迹一定过ABC的()A内心B.垂心C重心D.AC边的中点解析设ABC的重心为G，3，()，G、P、C三点共线，故选C.答案C14已知OAB，如图，(1)若xy，且点P在AB所在的直线上，则x，y应满足什么条件？(2)若正实数x，y满足xy1，且有xy，试说明点P必在OAB内部解(1)xy，由点P在AB所在的直线上，所以存在唯一一个实数，使，即()，故(1).在OAB中，不共线，所以x1，y，故xy(1)1.(2)设xyt，t(0,1)，则1.设P为平面内一点，且，则()，所以与共线，P在直线AB上又(0,1)，所以P在线段AB上另xyt，t(0,1)，即P在线段OP上，所以点P必在OAB内部