1、类型一 展示问题解决，逐步推进，探究解题过程专题七 实践、操作与探究 目 录 类型二 展示操作过程，在操作中探究解题过程展示问题解决，逐步推进，探究解题过程 一 探索研究性问题往往需要仔细理解题意,问题安排由易到难,解题方法承上启下,逐步引导学生思考新的问题,大胆进行分析、推理和归纳,即从特殊到一般去探究,以特殊去探究一般,从而获得结论,有时还要用已学的知识加以论证、探究所得结论.操作性问题是让学生按题目要求进行操作,考查学生的动手能力、想象能力和概括能力.题型讲解 方法点拨 解决这类问题,注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法,灵活地解决问题.在平时的学习中,要注重操作类习题的解
2、题训练,提高思维的开放性,培养创新能力.此类问题解决一般有这样的几个步骤:第一步:审清题意,找准解题的切入点.第二步:建立数学模型,运用数学知识去分析、抽象、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并转化为我们所熟悉的数学问题.第三步:按照所建立的数学模型,综合运用相关知识和数学思想方法解决实践操作性问题.解题技巧(2020西安模拟)问题提出:如图,在RtABC中,AB=AC,D为边BC上一点(不与点B,C重合),将线段AD绕点A逆时针旋转90得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为 .例题1问题探索:如图,在RtABC与RtADE中,AB=AC,AD=AE,将ADE绕点A
3、旋转,使点D落在BC边上,试探索线段AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论;问题应用:如图,在四边形ABCD中,ABC=ACB=ADC=45.若BD=9,CD=3,求AD的长.分析：(1)易证BADCAE,得BD=CE;(2)连接EC,先证BADCAE,得ACE=ABC=45,再根据勾股定理,在RtECD中ED2=CE2+DC2得解;(3)作AEAD,交DC的延长线于点E,连接BE,证明DE=AD,BE=CD,BECD,在RtBED中,利用勾股定理求解即可.解析：问题提出:DC+EC=BC.问题探索:线段AD,BD,CD之间满足的等量关系是BD2+CD2=2AD2证明:如图,连接E
4、C,BAC=BAD+DAC=90,AB=AC,ABC=ACB=45.DAE=CAE+DAC=90,BAD=CAE.在BAD和CAE中,=,=,=,BADCAE(SAS),BD=CE,ACE=ABC=45,CEDC.DAE=90,AD=AE,DE=AD,在RtECD中,ED2=CE2+DC2,BD2+CD2=2AD2.问题应用:如图,作AEAD,交DC的延长线于点E,连接BE,ABC=ACB=ADC=45,EAD=90,BAC=90,AB=AC,AE=AD,DE=AD,同理可证:BE=CD,BECD,在RtBED中,BD2=BE2+DE2,2AD2=BD2-CD2.BD=9,CD=3,2AD2=
5、92-32=72,AD=6.【高分点拨】仔细阅读题目条件,简单了解问题并思考问题的解决方案,然后利用转化思想将复杂问题简单化,进而解决问题.当堂检测1问题提出(1)如图,在ABC中,A=120,AB=AC=5,则ABC的外接圆半径R的值为 ;(1)解:设点O是ABC外接圆的圆心,如图.OA=OB=OC.AB=AC,AO垂直平分BC.A=120,BAO=CAO=60,ABO是等边三角形.AB=OA=OB=5.图问题探究(2)如图,O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是O上一动点,求PM的最大值;(2)当PMAB时,此时PM最大,连接OA,如图,由垂径定理可知AM=AB=12.OA=1
6、3,在RtAOM中,由勾股定理可知OM=5,PM=OM+OP=18.图问题解决（3）如图所示,AB,AC,是某新区的三条规划路,其中AB=6 km,AC=3 km,BAC=60,所对的圆心角为60.新区管委会想在 路边建物资总站点P,在AB,AC路边分别建物资分站点E,F,也就是,分别在,线段AB和AC上选取点P,E,F.由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按PEFP的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE,EF和FP.为了快捷、环保和节约成本.要使得线段PE,EF,FP之和最短,试求PE+EF+FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计).图设 所在圆的
7、圆心为O,连接AP,OP,分别以AB,AC所在的直线为对称轴,作出点P关于AB的对称点M,点P关于AC的对称点N,连接MN,交AB于点E,交AC于点F,连接PE,PF,如图,图AM=AP=AN,MAB=PAB,NAC=PAC,BAC=PAB+PAC=MAB+NAC=60.MAN=120.设AP=r,解三角形易得MN=r.PE=ME,PF=FN,PE+EF+PF=ME+EF+FN=MN=r.当AP最小时,PE+EF+PF可取得最小值.AP+OPOA,APOA-OP,即点P在OA上时,如图,AP可取得最小值.设AB的中点为Q,连接CQ,CB,如图,图图AQ=BQ=3 km=AC.BAC=60,AQ
8、C是等边三角形.AQ=QC=AC=BQ=3km,AQC=ACQ=60.ABC=QCB=30.ACB=ACQ+QCB=90.在RtABC中,由勾股定理可知BC=3 km.由题意可知BOC=60,OB=OC,OBC是等边三角形.OBC=60,OB=OC=BC=3 km.ABO=ABC+CBO=90在RtABO中,由勾股定理可知OA=3 km.此时,如图,OP=OB=3 km,AP=OA-OP=(3-3)km.PE+EF+PF=MN=r=(3-9)km,即PE+EF+PF的最小值为(3-9)km.图展示操作过程，在操作中探究解题过程 二 实践操作类题目为考生创设了动手实验、操作探究的空间,有效地考查
9、了实践、创新能力,为考生提供了展示个性思维及发散创新的平台,是中考命题改革的一道亮丽风景线.实践操作问题主要包括剪纸、折叠、展开、拼图、作图(不包括统计图表的制作)、称重、测量、空间想象等,这类试题题目灵活、新颖.题型讲解 方法点拨 解答操作性试题,关键是审清题意,学会运用图形的平移变换、翻折变换、旋转变换和位似变换,注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法.在平时的学习中,要注重操作性习题的解题训练,提高思维的开放性,培养创新能力,要学会运用数学知识去分析、抽象、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并将其转化为我们所熟悉的数学问题.解题技巧 折纸是一项有趣的活动,同学们小时候都玩过
10、折纸,可能折过小动物、小花、飞机、小船等,折纸活动也伴随着我们初中数学的学习.在折纸过程中,我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等,进一步发展空间观念,在经历借助图形思考问题的过程中,我们会初步建立几何直观.折纸往往从矩形纸片开始,今天,就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸,看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论.例题2实践操作如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B落在矩形ABCD所在平面内,BC和AD相交于点E,连接BD.解决问题(1)在图中,BD和AC的位置关系为 ;将AEC剪下后展开,得到的图形是 ;(2)若图中的矩形变为平行四边形(ABBC),如图,(1)中的结论
11、和结论是否成立?若成立,请挑选其中的一个结论加以证明,若不成立,请说明理由;(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片,发现所得图形是轴对称图形,沿对称轴再次折叠后,得到的仍是轴对称图形,则小红折叠的矩形纸片的长、宽之比为 .拓展应用(4)在图中,若B=30,AB=4,当ABD恰好为直角三角形时,BC的长度为 .分析：(1)由矩形及轴对称的性质可得ACE是等腰三角形,进而得出BED也是等腰三角形,再根据两等腰三角形的顶角相等得出底角也相等,从而由ADB=DAC得到BDAC;由四边形ABCD是矩形可得CFAE,得DAC=ACF,由折叠可得ACE=ACF,则DAC=ACE,可得AE=CE,则CE=AF=A
12、E=CF,得四边形AECF是菱形.(2)思路与(1)类似.(3)根据折叠的方式进行分类讨论,当第一次折叠时ACB与ACD可能重合也可能不重合,画图,由轴对称的性质解决问题.(4)当ABD为直角三角形时,所以根据哪个角为直角分类讨论,画出图形利用30角分别计算.解析：(1)BDAC,理由:矩形ABCD,ADBC,AD=BC,EAC=ACB,由翻折可得BC=BC,BCA=ECA,EAC=ECA=(180-AEC),AD=BC,AE=CE,BE=DE.CBD=ADB=(180-BED),又由AEC=BED,ADB=DAC,即BDAC.菱形.理由:如图,设展开后点E的对应点为F,四边形ABCD是矩形,
13、CFAE,DAC=ACF,由折叠可得ACE=ACF,DAC=ACE,AE=CE,又AF=AE,CE=CF,CE=AF=AE=CF,四边形AECF是菱形.(2)结论仍成立.若选择证明:BC=AD,AE=CE,BE=DE.CBD=ADB.AEC=BED,ACB=CAD,ADB=DAC.BDAC.若选择证明:如图,设展开后点E的对应点为F,四边形ABCD是平行四边形,CFAE,DAC=ACF.由折叠可得ACE=ACF,CE=CF,DAC=ACE.AE=CE,AE=CF,四边形AECF是菱形.(3)如图,沿对角线AC折叠时,当AB在射线AD上时,可得BAC=DAC=45,AB=AD,四边形ABCD是正
14、方形,矩形长、宽之比为11.如图,沿对角线AC折叠时,当AB在射线AD上时,依题意得DAC=FAE=30,设EF=ED=a,则AF=AB=a,AE=2a,所以AD=AE+ED=3a,矩形长、宽之比为1.小红折叠的矩形纸片的长、宽之比为11或 1.(4)如图,ABD=90时,BAD=30,BA=4,则BC=AD=AB=8.如图,BAD=90时,BDA=30,BC=AD=AB=12.如图,BAD=90时,ABD=30,BC=AD=AB=4.如图,ADB=90时,BAD=30,BC=AD=AB=6.BC的长度为4或6或8或12.【高分点拨】本题考查四边形的折叠、轴对称图形的性质等知识,解题的关键是正
15、确理解和灵活运用图形折叠的性质,属于中考常考题型.当堂检测2问题背景数学活动课上,老师将一副三角尺按图所示位置摆放,分别作出AOC,BOD的平分线OM,ON,然后提出如下问题:求出MON的度数.特例研究“兴趣小组”的同学决定从特例入手探究老师提出的问题,他们将三角尺分别按图、图所示的方式摆放,OM和ON仍然是AOC和BOD的平分线.其中,按图方式摆放时,可以看成是ON,OD,OB在同一直线上.按图方式摆放时,AOC和BOD相等.图(1)请你帮助“兴趣小组”进行计算:图中MON的度数为 .图中MON的度数为 .发现感悟解决完图、图所示问题后,“兴趣小组”又对图所示问题进行了讨论.小明:由于图中A
16、OC和BOD的和为90,所以我们容易得到MOC和NOD的和,这样就能求出MON的度数.小华:设BOD为x,我们就能用含x的式子分别表示出NOD和MOC度数,这样也能求出MON的度数.(2)请你根据他们的谈话内容,求出图中MON的度数.图图2.解:(1)图中MON=90+90=135,图中MON=AOC+BOD+COD=(AOC+BOD)+90=90+90=135.故答案为135,135.(2)COD=90,AOC+BOD=180-COD=90.OM和ON分别是AOC和BOD的平分线,MOC+NOD=AOC+BOD=(AOC+BOD)=45.MON=(MOC+NOD)+COD=45+90=135
17、.类比拓展受到“兴趣小组”的启发,“智慧小组”将三角尺按图所示方式摆放,分别作出AOC,BOD的平分线OM,ON,他们认为也能求出MON的度数.(3)你同意“智慧小组”的看法吗?若同意,求出MON的度数;若不同意,请说明理由.图(3)同意.设BOC=x,则AOC=180-x,BOD=90-x.OM和ON是AOC和BOD的平分线,MOC=AOC=(180-x)=90-x.BON=BOD=(90-x)=45-x,MON=MOC+BOC+BON=+x+=135.专题七 高效测评 1.(2021郑州模拟)【问题背景】(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说理证明A+B=C+D.【简单应用】(2)
18、如图2,AP,CP分别平分BAD,BCD,若ABC=20,ADC=26,求P的度数.可直接使用问题(1)中的结论【问题探究】(3)如图3,直线AP平分BAD的外角FAD,CP平分BCD的外角BCE,若ABC=36,ADC=16,猜想P的度数为 .【拓展延伸】(4)在图4中,若设C=x,B=y,CAP=CAB,CDP=CDB,试问P与C,B之间的数量关系为 (用x,y表示P).(5)在图5中,AP平分BAD,CP平分BCD的外角BCE,猜想P与B,D的关系,直接写出结论:.1.解:(1)证明:在AOB中,A+B+AOB=180,在COD中,C+D+COD=180,AOB=COD,A+B=C+D.
19、(2)如图2,AP,CP分别平分BAD,BCD,1=2,3=4,由(1)的结论得 +=+,+=+,+,得2P+2+3=1+4+B+D,P=(B+D)=23.(3)如图AP平分BAD的外角FAD,CP平分BCD的外角BCE,1=2,3=4,PAD=180-2,PCD=180-3.P+(180-1)=D+(180-3),P+1=B+4,2P=B+D,P=(B+D)=(36+16)=26.(4)同法可得P=x+y.(5)同法可得P=+2.(2020咸宁二模)我们定义:如图1,在ABC中,把AB绕点A顺时针旋转(0180)得到AB,把AC绕点A逆时针旋转得到AC,连接BC.当+=180时,我们称ABC
20、是ABC的“旋补三角形”,ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.特例感知:(1)在图2,图3中,ABC是ABC的“旋补三角形”,AD是ABC的“旋补中线”.如图2,当ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC;如图3,当BAC=90,BC=8时,则AD长为 .猜想论证:(2)在图1中,当ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.2.解:(1)如图1,当ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD=BC.理由:ABC是等边三角形,AB=BC=AC=AB=AC.DB=DC,ADBC.BAC=60,BAC+BAC=180,BAC=1
21、20,B=C=30,AD=AB=BC.故答案为.如图2,当BAC=90,BC=8时,则AD长为4.理由:BAC=90,BAC+BAC=180,BAC=BAC=90.又AB=AB,AC=AC,BACBAC(SAS),BC=BC.BD=DC,AD=BC=BC=4.故答案为4.(2)猜想AD=BC.证明:如图3,延长AD至点Q,使QD=AD,则DQBDAC,QB=AC,QBAC,QBA+BAC=180.BAC+BAC=180,QBA=BAC,又由题意得到QB=AC=AC,AB=AB,AQBBCA(SAS),AQ=BC=2AD,即AD=BC.3.(2020烟台模拟)【问题探究】(1)如图1,ABC和D
22、EC均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90,点B,D,E在同一直线上,连接AD,BD.请探究AD与BD之间的位置关系:;若AC=BC=,DC=CE=,则线段AD的长为 ;【拓展延伸】(2)如图2,ABC和DEC均为直角三角形,ACB=DCE=90,AC=,BC=,CD=,CE=1.将DCE绕点C在平面内顺时针旋转,设旋转角BCD为(0360),作直线BD,连接AD,当点B,D,E在同一直线上时,画出图形,并求线段AD的长.3.解:(1)ABC和DEC均为等腰直角三角形,AC=BC,CE=CD,ABC=DEC=45=CDE.ACB=DCE=90,ACD=BCE,且AC=BC,CE=CD,ACD
23、BCE(SAS),ADC=BEC=45,ADE=ADC+CDE=90,ADBD.故答案为ADBD.如图1,过点C作CFAD于点F,ADC=45,CFAD,CD=,DF=CF=1,AF=3,AD=AF+DF=4,故答案为4.(2)若点D在BC右侧,如图2,过点C作CFAD于点F,ACB=DCE=90,AC=,BC=,CD=,CE=1,ACD=BCE,=,ACDBCE,ADC=BEC.CD=,CE=1,DE=+=2.ADC=BEC,DCE=CFD=90,DCECFD,=,即=,CF=,DF=,AF=,AD=DF+AF=3.若点D在BC左侧,如图3,过点C作CFAD的延长线于F,ACB=DCE=90
24、,AC=,BC=,CD=,CE=1,ACD=BCE,=,ACDBCE,ADC=BEC,CED=CDF.CD=,CE=1,DE=+=2.CED=CDF,DCE=CFD=90,DCECFD,=,即=,CF=,DF=,AF=,AD=AF-DF=2.4.(2020苏州模拟)如图,在ABC中,AB=AC=3,BAC=100,D是BC的中点.小明对图进行了如下探究:在线段AD上任取一点P,连接PB.将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80,点B的对应点是点E,连接BE,得到BPE.小明发现,随着点P在线段AD上位置的变化,点E的位置也在变化,点E可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧
25、.请你帮助小明继续探究,并解答下列问题:(1)当点E在直线AD上时,如图所示.BEP=;连接CE,直线CE与直线AB的位置关系是 ;(2)请在图中画出BPE,使点E在直线AD的右侧,连接CE,试判断直线CE与直线AB的位置关系,并说明理由;(3)当点P在线段AD上运动时,求AE的最小值.解:(1)如图1中,BPE=80,PB=PE,BEP=PBE=50.结论:ABEC.理由:AB=AC,BD=DC,ADBC,BDE=90,EBD=90-50=40.AE垂直平分线段BC,EB=EC,ECB=EBC=40.AB=AC,BAC=100,ABC=ACB=40,ABC=ECB,ABEC.故答案为50,A
26、BEC.(2)如图2中,以P为圆心,PB为半径作P,连接PC.AD垂直平分线段BC,PB=PC,BCE=BPE=40.又ABC=40,ABEC.(3)如图3中,作AHCE于H,点E在射线CE上运动,点P在线段AD上运动,当点P运动到与点A重合时,AE的值最小,此时AE的最小值为AB=3.5.(2021青岛二模)问题背景:在ABC中,边AB上的动点D由A向B运动(与A,B不重合),点E与点D同时出发,由点C沿BC的延长线方向运动(E不与C重合),连接DE交AC于点F,点H是线段AF上一点.(1)初步尝试:如图1,若ABC是等边三角形,DHAC,且点D,E的运动速度相等,求证:HF=AH+CF.小
27、王同学发现可以由以下两种思路解决此问题:思路一:过点D作DGBC,交AC于点G,先证GH=AH,再证GF=CF,从而证得结论成立;思路二:过点E作EMAC,交AC的延长线于点M,先证CM=AH,再证HF=MF,从而证得结论成立.请你任选一种思路,完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答,则以第一种方法评分).(2)类比探究:如图2,若在ABC中,ABC=90,ADH=BAC=30,且点D,E的运动速度之比是 1,求的值.(3)延伸拓展:如图3,若在ABC中,AB=AC,ADH=BAC=36,记=m,且点D,E的运动速度相等,试用含m的代数式表示(直接写出结果,不必写解答过程).解:(1)证
28、明(选择思路一):过点D作DGBC,交AC于点G,如图1,则ADG=B,AGD=ACB,ABC是等边三角形,A=B=ACB=60,ADG=AGD=A,ADG是等边三角形,GD=AD=CE.DHAC,GH=AH.DGBC,GDF=CEF,DGF=ECF.在GDF和CEF中,=,=,=,GDFCEF(ASA),GF=CF,GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF.(2)过点D作DGBC,交AC于点G,如图2,则ADG=B=90,BAC=ADH=30,HGD=HDG=60,AH=GH=GD,AD=GD,根据题意得AD=CE,GD=CE.DGBC,GDF=CEF,DGF=ECF.在GDF和CEF中,
29、=,=,=,GDFCEF(ASA),GF=CF,GH+GF=AH+CF,即HF=AH+CF,=2.(3)=+,理由如下:过点D作DGBC,交AC于点G,如图3,则ADG=B,AGD=ACB,AB=AC,BAC=36,ACB=B=ADG=AGD=72.ADH=BAC=36,AH=DH,DHG=72=AGD,DG=DH=AH,ADGABC,ADGDGH,=m,=m,DGHABC,=m,=m.DGBC,DFGEFC,=m,+=m,即+=m,+=,=+=+1=+.6.(2021南京模拟)(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:当点A位于 时,线段AC的长取得最大值,且最
30、大值为 (用含a,b的式子表示).(2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE.请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;直接写出线段BE长的最大值.(3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,BPM=90,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.解:(1)点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b.故答案为:CB的延长线
31、上,a+b.(2)CD=BE,理由:ABD与ACE是等边三角形,AD=AB,AC=AE,BAD=CAE=60,BAD+BAC=CAE+BAC,即CAD=EAB.在CAD与EAB中,=,=,=,CADEAB(SAS),CD=BE.线段BE长的最大值=线段CD的最大值,由(1)知,当线段CD的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,线段BE长的最大值为BD+BC=AB+BC=5.(3)如图1,将APM绕着点P顺时针旋转90得到PBN,连接AN,则APN是等腰直角三角形,PN=PA=2,BN=AM.A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),OA=2,OB=6,AB=4,线段AM长的最大值=线段BN
32、长的最大值,当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,最大值=AB+AN.AN=AP=2,最大值为2+4.如图2,过P作PEx轴于E,APN是等腰直角三角形,PE=AE=,OE=BO-AB-AE=6-4-=2-,P(2-,).如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限,P(2-,-)时,也满足条件.综上所述,满足条件的点P坐标(2-,)或(2-,-),AM的最大值为2+4.7.问题:已知,均为锐角,tan=,tan=,求+的度数.探究:(1)用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为1),请借助这个网格图求出+的度数;延伸:(2)设经过图中M,P,H三点的圆弧与AH交于R,求 的弧长.解:(1)如图,连接AM,MH,由网格图可知:AMH是等腰直角三角形,即AM=MH,MHP=,MHA=+,在RtAMH中,tanMHA=tan(+)=1,+=45.(2)如图,连接MR,过点R作RTMH于点T,由图可得MPH=90,MH是经过M,P,H三点的圆弧所在圆的直径,MRH=90.又+=45,即MHA=45,RTMH,MRH,MTR,HTR都是等腰直角三角形,MT=HT=TR=MH,MTR=90,在RtMPH中,MP=1,PH=2,由勾股定理,得MH=,MT=,=.答:的弧长为.
