1、专题二 三角变换与平面向量、复数 sin()cos().1,1sin2()12()1cos2()12()1.sinco1232sin(1s2yx xyxxyxxkkyxkkyyxxkkyxkkyyxyxf xAxRRRZZZZ正弦函数、余弦函数的性质：定义域：值域：对于，当时，取最大值；当时，取最小值；对于，当时，取最大值；当时，取最小值周期性：、的最小正周期都是；)cos().2|f xAxT和的最小正周期都是 sin()(0)()()cos()(0)()()sin22()2222()c2os222534yx xkkxkkyx xkkxkkyxkkkkkkyxkRZZRZZZZ奇偶性与对称性
2、：正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线；余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线单调性：在区间，上单调递增，在，上单调递减；在2()22()kkkkkZZ，上单调递增，在，上单调递减 tan|.(0)()()()sin()123sin24222325yxx xkkkkkkkyAxkyxZRZZ正切函数的图象和性质：定义域：，值域是，在上面定义域内无最大值也无最小值周期性：周期是奇偶性与对称性：奇函数，对称中心是，单调性：正切函数在，内都是增函数函数的图象与的图象的关系：sin(0)(0)|sin()sin()sin()sin()sin()sin()12341yxyxyxyxyxAyAx
3、yAx函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标向左或向右平移个单位长度得的图象；函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象；函数的图象上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍，得到函数的图象；函数的图象上各点00sin()kkkyAxk的横坐标不变，纵坐标向上或向下平移个单位长度，得到的图象 1()11sin af xaax已知 是一、三角函数的图象及其变【例】实数，则函数的图象不可换，能是三角函数解析 式 sin()(00|)2cos2202f xAxAwf xg xf xxg x函数，的部分图象如图所示求的最小正周期及解析式；设，求函数在区间，上的最大值和最小值 2|21
4、211.12D1362.2.1sin(2)1.66|26sin(2)226.DTaaTATxf xTf xx由图可得，所以所以当时，可得因对于振幅大于 时，三角函数的周期因为，所以，而 不符合要求，它的振幅大于，但周期反而大于，为，所以，所所以选以解析：cos2sin(2)cos26sin2 coscos2 sincos26631sin2cos2sin(2)2226502.266662312066 1.2 xxg xxxgg xf xxxxxxxxxxxxx因为当，即时，有最大值，最大值为；当，即时，有最小值，最小值为，所以 12给出三角函数的图象求解析式的题型，要从图中找振幅、周期，进而根据
5、相位求初相本题主要考查综合运用三角函数公式，三角函数图象的平移变换和三角函数的性质进行运算、变形、转换和求解的能力三角函数的图象和性质是高考重点考查的知识点，基本思想是化归【点评】与转化 2sin()(0)()0312()A 2 B 4 C 6 D 8f xxxf 已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值例2为 二、三角函数的性质：sin()(00,0)(2)012232312Rf xAxxAMf xfxxf xhf xhg x二、三角函已知函数，其中，的周期为，且图象上一个最低点为，求的解析式，并求的单调递减区间；当，时，求的最值；求最小正实数，使得函数的图象向右平移个单位长度后所对应的函
6、例2：数是数的性质奇函数 (2)2.22sin(2)(2)23222344334321162sin()2sin()12 p2.1 ZZMATf xxMkkkkT由最低点为，得由，得，所以由点，在图象上，得，即，所以，即，解析：(0)2sin(226666)2sin(262632)2sin(2)22.632 ZZZf xxfxxxkxkkkkxkkxkfk所又，所以，所以，所以由，解得以的单调递减区间为，12sin(2)02261266 3666303.21212 f xxxxxxf xxxf x由知，因为，所以，所以，当，即时，取得最小值；当，即时，取得最大值 2sin22si3n(22)66
7、622.1212 ZZhf xhg xxhxhg xhkkhkk的图象向右平移 个单位长度后所对应的函数为所以最小因为为奇函数，所以，正实数 为，所以，求三角函数的单调区间时，首先要看 是否为正，若为负，则应先使用诱导公式化为正，然后再根据整体代换法求出单【点评】调区间 2(sin()cos()22(cos()3cos()3.22021123mnm n xxxxf xf xf xf xxx已知向量，设求函数的周期；若，试求出使为偶函数时的 的值；在成立的条件下，求三、平面向量、三角函数例3的图像和性质的满足且，的：综合运用的集合 sin(2)31 cos(2)3 sin(2)3cos(2)2s
8、.in()312f xxxxf xxx因为所以函数的：周期为解析 sin()cos()01f xAxAxfxf xf xf xx 通过和角公式与降次方法以及辅助角公式可将化简为形如或的函数，再根据题设与，可确定 的值，利用的单调性或图象法，可得出简单的不等【分析】式且，的解集 .320122122225.66655663662fxf xkksinxcos xxxkxkkxf xx ZZ依题意，所以，又，所以由即解所以满足题意的 的集合时，为偶函数，为sin()yAx本题主要考查可化为的函数的性质，熟练地进行三角函数式的化简，会运用函数的奇偶性、单调性解决问题是此题获解【点评】的关键 22333
9、31sincoscos.si2n()f xf xxxAxABCabcbacbxxf xx已知函数将写成的形式，并求其图象的对称中心的横坐标；如果的三边、满足，且边所对的角为，试求 的范围及此备选函数题时的值域 1232232312323232322333sin(1 cos)sincossin32223333().sin()0()311(1()22)ZZZxxxxxf xkkkkxkxkx先化简函数解析式，由正、余弦函数图象的对称由，即，得，即对称中心的中心求解解三角形中的三角问题时，注意正、余弦定理的应用横为分析：坐标 22222221222212523 33395329coscos10.|s
10、insin()1sin()122333233333223(1(0323(31223acbacacacacacacbacxxxf xxf xacxxx 由已知，所以，得，因为，所以，所以，即的值域为，综上所述，且域，的值为本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识，还需要利用数形结合的思想来解决函数值域问题，有利于考查学生的运算能力，以及对知识进行整合【点评】的能力()1三角函数的图象，可以利用三角函数线用几何法作出在精确度要求不高时，常用五点法作图，要特别注意“五点”的取法三角函数的定义域是研究三角函数的其他一切性质的前提求三角函数的定义域实际上就是解最简单的三角不等式 组 通常可用三
11、角函数的图象或三角函数线来求解注意数形结合思想的应用sin()(cos()sin(cos2)yAxyAxxx三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题常用的方法有化为或的值域或化为关于或的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为求二次函数在限定区间上的值域 sin(3)(00)()22()22()cos(12)22322yAxAwxkxkkxkxkkxyAxZZ三角函数的单调性函数，的单调区间的确定，基本思想是把看作一个整体比如，由解出 的范围，所得区间即为增区间；由解出 的范围，所得区间即为减区间对于函数的单调性的讨论与上类似比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名三角函数值，再利用单调性比较0,0,sin()(00)sin()“”00.sin(456)(00)()0(2kkkkyAxAyAxxAxyAxAwxxxkkxxkZ熟练掌握关于，的图象的变换由图象求解析式首先确定 五点法 中的第一个零点需根据图象的升降情况准确判定第一个零点的位置易求、，再由得图象的对称性，的图象关于直线，成轴对称图形，关于点)kZ，成中心对称图形