1、13.4 函数的连续性及极限的应用知识梳理1.函数的连续性.一般地，函数f（x）在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：（1）函数f（x）在点x=x0处有定义；（2）f（x）存在；（3）f（x）=f（x0）.如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，而且f（x）=f（x0）,就说函数f（x）在点x0处连续.2.如果f（x）是闭区间a,b上的连续函数，那么f（x）在闭区间a,b上有最大值和最小值.3.若f（x）、g（x）都在点x0处连续,则f（x）g（x）,f（x）g（x）,（g（x）0）也在点x0处连续.若u（x）在点x0处连续,且f（u）在u0=u（x0）处连续,则复合函数fu（x）
2、在点x0处也连续.特别提示 （1）连续必有极限,有极限未必连续.（2）从运算的角度来分析,连续函数在某一点处的极限运算与函数关系“f”是可以交换顺序的.点击双基1.f（x）在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的_条件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要解析：f（x）在x=x0处有定义不一定连续.答案：A2.f（x）=的不连续点为A.x=0B.x=（k=0,1,2,）C.x=0和x=2k（k=0,1,2,）D.x=0和x=（k=0,1,2,）解析：由cos=0,得=k+（kZ）,x=.又x=0也不是连续点,故选D答案：D3.下列图象表示的函数在x=x0处连续的是
3、A. B. C. D.答案：A4.四个函数:f（x）=;g（x）=sinx;f（x）=|x|;f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是_.（把你认为正确的代号都填上）答案：典例剖析【例1】 （1）讨论函数f（x）=（2）讨论函数f（x）=在区间0,3上的连续性.剖析：（1）需判断f（x）=f（x）=f（0）.（2）需判断f（x）在（0,3）上的连续性及在x=0处右连续,在x=3处左连续.解:（1）f（x）=1, f（x）=1,f（x）f（x）,f（x）不存在.f（x）在x=0处不连续.（2）f（x）在x=3处无定义,f（x）在x=3处不连续.f（x）在区间0,3上不连续.
4、【例2】 设f（x）=当a为何值时,函数f（x）是连续的.解:f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时, f（x）=f（0）,即说明函数f（x）在x=0处连续,而在x0时,f（x）显然连续,于是我们可判断当a=1时,f（x）在（,+）内是连续的.评述：分段函数讨论连续性,一定要讨论在“分界点”的左、右极限,进而断定连续性.【例3】 如右图,在大沙漠上进行勘测工作时,先选定一点作为坐标原点,然后采用如下方法进行:从原点出发,在x轴上向正方向前进a（a0）个单位后,向左转90,前进a r（0r1个单位,再向左转90,又前进a r2个单位,如此连续下去.（1）若
5、有一小分队出发后与设在原点处的大本营失去联系,且可以断定此小分队的行动与原定方案相同,则大本营在何处寻找小分队?（2）若其中的r为变量,且0r1,则行动的最终目的地在怎样的一条曲线上?剖析：（1）小分队按原方案走,小分队最终应在运动的极限位置.（2）可先求最终目的地关于r的参数形式的方程.解:（1）由已知可知即求这样运动的极限点,设运动的极限位置为Q（x,y）,则x=aar2+ar4=,y=arar3+ar5=,大本营应在点（,）附近去寻找小分队.（2）由消去r得（x）2+y2=（其中x,y0）,即行动的最终目的地在以（,0）为圆心,为半径的圆上.闯关训练夯实基础1.函数f（x）=则有A.f（
6、x）在x=1处不连续B.f（x）在x=2处不连续C.f（x）在x=1和x=2处不连续D.f（x）处处连续解析：f（x）=0, f（x）=1,f（x）在x=1处不连续.答案：A2.若f（x）在定义域a,b上有定义,则在该区间上A.一定连续B.一定不连续C.可能连续也可能不连续D.以上均不正确解析：有定义不一定连续.答案：C3.已知函数f（x）=函数f（x）在哪点连续A.处处连续 B.x=1C.x=0 D.x=解析：f（x）= f（x）=f（）.答案：D4.有以下四个命题:f（x）=在0,1上连续;若f（x）是（a,b）内的连续函数,则f（x）在（a,b）内有最大值和最小值;=4;若f（x）=则f
7、（x）=0.其中正确命题的序号是_.（请把你认为正确命题的序号都填上）答案：5.抛物线y=b（）2、x轴及直线AB:x=a围成了如图（1）的阴影部分,AB与x轴交于点A,把线段OA分成n等份,作以为底的内接矩形如图（2）,阴影部分的面积为S等于这些内接矩形面积之和当n时的极限值,求S.解：S=b（）2+b（）2+b（）2+b（）22=ab=ab=ab.培养能力6.求y=f（x）=的不连续点.解：易求f（x）的定义域为x|x1,0,1,所以f（x）的不连续点为x=1,x=0和x=1.7.某公司全年的纯利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工,奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不
8、相同）从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金元，然后将余额除以n发给第2位职工，按此方案将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.（1）设ak（1kn）为第k位职工所得奖金额，试求a2、a，并用k、n和b表示ak（不必证明）;（2）证明：akak1（k1，2，n1），并解释此不等式关于分配原则的实际意义；（3）发展基金与n和b有关，记为Pn（b）对常数b，当n变化时，求Pn（b）（可用公式 （1）n=）. （1）解：a1，a2（1）b，a3（1）2b，ak（1）k1b.（2）证明:akak1（1）k1b，此奖金分配方案体现了按劳分配的原则.（3）解:设fk（b）表示发给第k位
9、职工后所剩余额，则f1（b）（1）b，f2（b）（1）2b，f k（b）（1）kb，得n（b）fn（b）（1）nb,故n（b）.探究创新8.如图，在边长为l的等边ABC中，圆O1为ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB、BC相切,圆On+1与圆On外切，且与AB、BC相切，如此无限继续下去,记圆On的面积为an（nN*）.（1）证明an是等比数列；（2）求（a1+a2+an）的值.（1）证明:记rn为圆On的半径，则r1=tan30=l.=sin30=,rn=rn1（n2）.于是a1=r12=,=（）2=,an成等比数列.（2）解：因为an=（）n1a1（nN*）,所以（a1+a2+an
10、）=.思悟小结1.函数f（x）在点x0处连续反映到函数f（x）的图象上是在点x=x0处是不间断的.一般地,函数f（x）在点x0处不连续（间断）大致有以下几种情况（如下图所示）.图甲表示的是f（x）在点x0处的左、右极限存在但不相等,即f（x）不存在.图乙表示的是f（x）在点x0处的左极限存在,而右极限不存在,也属于f（x）不存在的情况.图丙表示的是f（x）存在,但函数f（x）在点x0处没有定义.图丁表示的是f（x）存在,但它不等于函数在这一点处的函数值f（x0）.教师下载中心教学点睛1.函数f（x）在点x0处连续与f（x）在点x 0处有极限的联系与区别:其联系是:f（x）在点x0处连续是依据f
11、（x）在点x0处的极限来定义的,它要求f（x）存在.其区别是:函数在某点处连续比在此点处有极限所具备的条件更强.首先,f（x）在点x0处有极限,对于点x0而言,x0可以属于f（x）的定义域,也可以不属于f（x）的定义域,即与f（x0）是否有意义无关,而f（x）在点x0处连续,要求f（x）在点x0及其附近都有定义;其次,f（x）在点x0处的极限（值）与f（x）在点x0处的函数值f（x0）可以无关,而f（x）在点x0处连续,要求f（x）在点x0处的极限（值）等于它在这一点的函数值f（x0）.我们通常说“连续必有极限,有极限未必连续”,正是针对上述事实而言的.2.函数f（x）在点x0处连续必须具备以
12、下三个条件:函数f（x）在点x=x0处有定义;函数f（x）在点x=x0处有极限;函数f（x）在点x=x0处的极限值等于在这一点x0处的函数值,即f（x）=f（x0）.这三个条件缺一不可,是我们判断函数在一点处是否连续的重要工具.拓展题例【例题】 一弹性小球自h0=5 m高处自由下落,当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的,不计每次碰撞时间,计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间.解：设小球第一次落地时速度为v0,则有v0=10（m/s）,那么第二,第三,第n+1次落地速度分别为v1=v0,v2=（）2v0,vn=（）nv0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h0=5 m,小球
13、第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L1=2=10（.小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L2,则L2=2=10（）4.由数学归纳法可知,小球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程为Ln=10（）2n.故从第一次到第n+1次所经过的路程为Sn+1=h0+L1+L2+Ln,则整个过程总路程为S=Sn+1=5+10=5+10=20.3（m）,小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t0=1（s）.小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t1=2=2,同理可得tn=2（）n,tn+1=t0+t1+t2+tn,则t=tn+1=1+2=8（s）.上例是借助数学工具来解决物理问题,这样有利于学生对数学知识的进一步理解,增强学生对数学的应用意识,培养学生的数学应用能力.
